Функция Лиувилля

Лямбда -функция Лиувилля , обозначаемая λ( n ) и названная в честь Джозефа Лиувилля , является важной арифметической функцией . Его значение равно +1, если n — произведение четного числа простых чисел , и —1, если оно является произведением нечетного числа простых чисел.

Явно фундаментальная теорема арифметики утверждает, что любое положительное целое число n можно однозначно представить как произведение степеней простых чисел: $n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}$ где p ₁ < p ₂ < ... < p _k — простые числа, а a _j — положительные целые числа. (1 задается пустым произведением.) Простые омега-функции подсчитывают количество простых чисел с (Ω) или без (ω) кратностью:

ω ( п ) знак равно k ,

Ω( n ) = a ₁ + a ₂ + ... + a _k.

λ( n ) определяется по формуле

\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.

(последовательность A008836 в OEIS ).

λ полностью мультипликативен, поскольку Ω( n ) полностью аддитивен , т. е.: Ω( ab ) = Ω( a ) + Ω( b ). Поскольку у 1 нет простых делителей, Ω(1) = 0, значит, λ(1) = 1.

Это связано с функцией Мёбиуса µ ( n ). Запишите n как n = a ²b , где b не содержит квадратов , т.е. ω ( b ) = Ω( b ). Затем

\lambda (n)=\mu (b).

Сумма функции Лиувилля n является : характеристической функцией квадратов делителям по

\sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is a perfect square,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

Обращение Мёбиуса этой формулы дает

\lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).

Обратная функция Дирихле к функции Лиувилля представляет собой абсолютное значение функции Мёбиуса: $\lambda ^{-1}(n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n),$ характеристическая функция целых чисел без квадратов. У нас тоже есть такое $\lambda (n)\mu (n)=\mu ^{2}(n)$ .

Серия [ править ]

Ряд Дирихле для функции Лиувилля связан с дзета-функцией Римана соотношением

{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.

Также:

\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\ln n}{n}}=-\zeta (2)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}.

для Ряд Ламберта функции Лиувилля равен

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),

где $\vartheta _{3}(q)$ – тэта-функция Якоби .

суммирующих функциях Гипотезы о взвешенных

Сумматорная функция Лиувилля L ( n ) до n = 10 ⁴. Хорошо видимые колебания обусловлены первым нетривиальным нулем дзета-функции Римана.

Сумматорная функция Лиувилля L ( n ) до n = 10 ⁷. Обратите внимание на кажущуюся масштабную инвариантность колебаний.

Логарифмический график отрицательной суммирующей функции Лиувилля L ( n ) до n = 2 × 10 ⁹. Зеленый пик показывает саму функцию (а не ее отрицательную величину) в узкой области, где гипотеза Полиа терпит неудачу; синяя кривая показывает колебательный вклад первого нуля Римана.

Гармоническая суммирующая функция Лиувилля T ( n ) до n = 10 ³

Проблема Полиа — это вопрос, поднятый Джорджем Полиа в 1919 году. Определение

L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)

(последовательность A002819 в OEIS ),

проблема спрашивает, есть ли $L(n)\leq 0$ для n > 1. Ответ оказывается нет. Наименьший контрпример — n = 906150257, найденный Минору Танакой в 1980 году. С тех пор было показано, что L ( n ) > 0,0618672 √ n для бесконечного числа положительных целых чисел n , ^[1] в то время как теми же методами можно показать, что L ( n ) < -1,3892783 √ n для бесконечного числа положительных целых чисел n . ^[2]

Для любого $\varepsilon >0$ , предполагая гипотезу Римана, мы имеем, что суммирующая функция $L(x)\equiv L_{0}(x)$ ограничен

L(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left(C\cdot \log ^{1/2}(x)\left(\log \log x\right)^{5/2+\varepsilon }\right)\right),

где $C>0$ — некоторая абсолютная предельная константа. ^[2]

Определите соответствующую сумму

T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.

В течение некоторого времени было открыто, является ли T ( n ) ≥ 0 для достаточно большого n ≥ n ₀ (эту гипотезу иногда, хотя и ошибочно, приписывают Палу Турану ). Затем это было опровергнуто Хазельгроувом (1958) , который показал, что T ( n ) бесконечно часто принимает отрицательные значения. Подтверждение этой гипотезы о положительности привело бы к доказательству гипотезы Римана , как это показал Пал Туран .

Обобщения [ править ]

В более общем смысле мы можем рассматривать взвешенные суммирующие функции над функцией Лиувилля, определенной для любого $\alpha \in \mathbb {R}$ следующим образом для положительных целых чисел x , где (как указано выше) мы имеем особые случаи $L(x):=L_{0}(x)$ и $T(x)=L_{1}(x)$ ^[2]

L_{\alpha }(x):=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n^{\alpha }}}.

Эти $\alpha ^{-1}$ -взвешенные суммирующие функции относятся к функции Мертенса , или взвешенные суммирующие функции к функции Мебиуса . Фактически мы имеем, что так называемая невесовая, или обычная функция $L(x)$ точно соответствует сумме

L(x)=\sum _{d^{2}\leq x}M\left({\frac {x}{d^{2}}}\right)=\sum _{d^{2}\leq x}\sum _{n\leq {\frac {x}{d^{2}}}}\mu (n).

Более того, эти функции удовлетворяют аналогичным ограничивающим асимптотическим соотношениям. ^[2] Например, всякий раз, когда $0\leq \alpha \leq {\frac {1}{2}}$ , мы видим, что существует абсолютная константа $C_{\alpha }>0$ такой, что

L_{\alpha }(x)=O\left(x^{1-\alpha }\exp \left(-C_{\alpha }{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).

Применяя формулу Перрона или, что то же самое, ключевое (обратное) преобразование Меллина , мы получаем следующее:

{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {L_{\alpha }(x)}{x^{s+1}}}dx,

который затем можно инвертировать с помощью обратного преобразования , чтобы показать, что для $x>1$ , $T\geq 1$ и $0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}$

L_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\sigma _{0}-\imath T}^{\sigma _{0}+\imath T}{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{s}}ds+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T),

где мы можем взять $\sigma _{0}:=1-\alpha +1/\log(x)$ , а остальные члены определены так, что $E_{\alpha }(x)=O(x^{-\alpha })$ и $R_{\alpha }(x,T)\rightarrow 0$ как $T\rightarrow \infty$ .

В частности, если предположить, что Гипотеза Римана (RH) верна и что все нетривиальные нули, обозначаемые $\rho ={\frac {1}{2}}+\imath \gamma$ дзета - функции Римана просты , то для любого $0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}$ и $x\geq 1$ существует бесконечная последовательность $\{T_{v}\}_{v\geq 1}$ который удовлетворяет этому $v\leq T_{v}\leq v+1$ для всех v таких, что

L_{\alpha }(x)={\frac {x^{1/2-\alpha }}{(1-2\alpha )\zeta (1/2)}}+\sum _{|\gamma |<T_{v}}{\frac {\zeta (2\rho )}{\zeta ^{\prime }(\rho )}}\cdot {\frac {x^{\rho -\alpha }}{(\rho -\alpha )}}+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T_{v})+I_{\alpha }(x),

где для любого все более малого $0<\varepsilon <{\frac {1}{2}}-\alpha$ мы определяем

I_{\alpha }(x):={\frac {1}{2\pi \imath \cdot x^{\alpha }}}\int _{\varepsilon +\alpha -\imath \infty }^{\varepsilon +\alpha +\imath \infty }{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{(s-\alpha )}}ds,

и где остаток члена

R_{\alpha }(x,T)\ll x^{-\alpha }+{\frac {x^{1-\alpha }\log(x)}{T}}+{\frac {x^{1-\alpha }}{T^{1-\varepsilon }\log(x)}},

который, конечно, стремится к 0 , поскольку $T\rightarrow \infty$ . Эти точные разложения аналитических формул снова имеют те же свойства, что и те, которые соответствуют случаям взвешенной функции Мертенса . Кроме того, поскольку $\zeta (1/2)<0$ у нас есть еще одно сходство в виде $L_{\alpha }(x)$ к $M(x)$ поскольку доминирующий главный член в предыдущих формулах предсказывает отрицательное смещение значений этих функций по сравнению с положительными натуральными числами x .