функция Мёбиуса

Эта статья о теоретико-числовой функции Мёбиуса. О комбинаторной функции Мёбиуса см. «Алгебра инцидентности» . Для рациональных функций, определенных на комплексных числах , см. преобразование Мёбиуса .

функция Мёбиуса

Назван в честь	Август Фердинанд Мёбиус
Год публикации	1832
Автор публикации	Август Фердинанд Мёбиус
Количество известных терминов	бесконечный
Первые сроки	1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1
ОЭИС Индекс	А008683 Функция Мёбиуса (или Мебиуса) mu(n). мю(1) = 1; mu(n) = (-1)^k, если n — произведение k различных простых чисел; в противном случае mu(n) = 0.

Функция Мёбиуса µ ( n ) — мультипликативная функция в теории чисел, введенная немецким математиком Августом Фердинандом Мёбиусом (также транслитерируемая Мёбиусом ) в 1832 году. Она широко распространена в элементарной и аналитической теории чисел и чаще всего появляется как часть своей тезки, формулы обращения Мёбиуса . После работы Джан-Карло Роты в 1960-х годах в комбинаторику были введены обобщения функции Мёбиуса, которые также обозначаются μ ( x ) .

Определение

Для любого положительного целого числа n определите µ ( n ) как сумму примитивных корней n- й степени из единицы . Он имеет значения в {−1, 0, 1} в зависимости от разложения n простые на множители :

• µ ( n ) = +1 , если n — положительное целое число без квадратов с четным числом простых множителей.
• µ ( n ) = −1 , если n — положительное целое число без квадратов с нечетным числом простых множителей.
• µ ( n ) = − 0, если n имеет квадрат простого множителя.

Альтернативно функцию Мёбиуса можно представить как

$\mu (n)=\delta _{\omega (n)\Omega (n)}\lambda (n),$

где δ — дельта Кронекера , λ ( n ) — функция Лиувилля , ω ( n ) — количество различных простых делителей числа n , а Ω( n ) — количество простых делителей числа n , подсчитанных с кратностью.

Ее также можно определить как свертку Дирихле , обратную функции константы-1.

Ценности

Значения μ ( n ) для первых 50 положительных чисел равны

н	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
м ( н )	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1

н	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
м ( н )	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0

н	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
м ( н )	1	1	−1	0	0	1	0	0	−1	−1

н	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
м ( н )	−1	0	1	1	1	0	−1	1	1	0

н	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
м ( н )	−1	−1	−1	0	0	1	−1	0	0	0

Первые 50 значений функции показаны ниже:

The 50 first values of μ(n)

Большие значения можно проверить:

• Вольфрамальфа
• b-файл OEIS

Приложения

Математический ряд

Ряд Дирихле, порождающий функцию Мёбиуса , является (мультипликативной) обратной дзета-функцией Римана ; если s — комплексное число с действительной частью больше 1, мы имеем

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}.$

Это можно видеть из произведения Эйлера.

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots$

Также:

• $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}};$
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0;$
• $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1;$
• $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,$ где $\gamma$ - постоянная Эйлера .

Ряд Ламберта для функции Мёбиуса:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q,$

который сходится для | д | < 1 . Для простого числа α ≥ 2 мы также имеем

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.$

Алгебраическая теория чисел

Гаусс доказал, что для простого числа p сумма его примитивных корней конгруэнтна µ ( p − 1) (mod p ) .

Если F _q обозначает конечное поле порядка q (где q обязательно является степенью простого числа), то количество N монических неприводимых многочленов степени n над F _q определяется формулой:

$N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}.$

Функция Мёбиуса используется в формуле обращения Мёбиуса .

Физика

Функция Мёбиуса также возникает в примонного газа или свободного газа Римана модели суперсимметрии . В этой теории фундаментальные частицы или «примоны» имеют энергию log p . При вторичном квантовании рассматриваются многочастичные возбуждения; они задаются как log n для любого натурального числа n . Это следует из того, что факторизация натуральных чисел в простые числа единственна.

В свободном римановом газе может встречаться любое натуральное число, если примоны считать бозонами . Если их принять за фермионы , то принцип Паули исключает квадраты. Оператор (−1) ^Ф тогда то, что отличает фермионы и бозоны, есть не что иное, как функция Мёбиуса µ ( n ) .

Свободный газ Римана имеет ряд других интересных связей с теорией чисел, включая тот факт, что статистическая сумма является дзета-функцией Римана . Эта идея лежит в основе попытки Алена Конна доказать гипотезу Римана .

Характеристики

Функция Мёбиуса является мультипликативной (т. е. µ ( ab ) = µ ( a ) µ ( b ) ), если a и b просты взаимно .

Доказательство : даны два взаимно простых числа. $m\geq n$, мы вводим $mn$. Если $mn=1$, затем $\mu (mn)=1=\mu (m)\mu (n)$. В противном случае, $m>n\geq 1$, так $${\begin{aligned}0&=\sum _{d|mn}\mu (d)\\&=\mu (mn)+\sum _{d|mn;d<mn}\mu (d)\\&{\stackrel {\text{induction}}{=}}\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m;d'|n}\mu (d)\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m}\mu (d)\sum _{d'|n}\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+0\end{aligned}}$$

Сумма функции Мёбиуса по всем положительным делителям n (включая само n и 1) равна нулю, за исключением случаев, когда n = 1 :

$\sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1.\end{cases}}$

Вышеприведенное равенство приводит к важной формуле обращения Мёбиуса и является основной причиной того, почему µ имеет актуальность в теории мультипликативных и арифметических функций.

Другие приложения µ ( n ) в комбинаторике связаны с использованием теоремы нумерации Пойа в комбинаторных группах и комбинаторных перечислениях.

Существует формула для вычисления функции Мёбиуса, не зная непосредственно факторизации ее аргумента:

$\mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},$

т.е. µ ( n ) является суммой примитивных корней n-й степени из единицы . (Однако вычислительная сложность этого определения, по крайней мере, такая же, как и у определения произведения Эйлера.)

Другие тождества, которым удовлетворяет функция Мёбиуса, включают:

$\sum _{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \mu (k)=1$

и

$\sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}}\right)\mu (k)=1$.

Первый из них является классическим результатом, а второй был опубликован в 2020 году. Аналогичные тождества справедливы и для функции Мертенса .

Доказательство формулы суммы µ по делителям

Формула

$\sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1\end{cases}}$

Может быть записано с использованием свертки Дирихле как: $1*\mu =\varepsilon$где $\varepsilon$ тождество под сверткой .

Один из способов доказать эту формулу — отметить, что свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативна. Таким образом, достаточно доказать формулу для степеней простых чисел. Действительно, для любого простого числа p и любого k > 0:

$1*\mu (p^{k})=\sum _{d\mid p^{k}}\mu (d)=\mu (1)+\mu (p)+\sum _{1<m<=k}\mu (p^{m})=1-1+\sum 0=0=\varepsilon (p^{k})$,

в то время как для n =1:

$1*\mu (1)=\sum _{d\mid 1}\mu (d)=\mu (1)=1=\varepsilon (1)$.

Другие доказательства

Другой способ доказательства этой формулы — использовать тождество

$\mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},$

Приведенная выше формула является следствием того факта, что сумма корней n-й степени из единицы равна 0, поскольку каждый корень n- й степени из единицы является примитивным корнем d- й степени из единицы ровно для одного делителя d числа n .

Однако доказать это тождество можно и из первых принципов. Прежде всего отметим, что это тривиально верно, когда n = 1 . Предположим тогда, что n > 1 . Тогда существует биекция между факторами d числа n, для которых µ ( d ) ≠ 0, и подмножествами множества всех простых факторов числа n . Утверждаемый результат следует из того, что каждое непустое конечное множество имеет равное число подмножеств нечетной и четной мощности.

Последний факт легко показать индукцией по мощности | С | непустого конечного множества S . Во-первых, если | С | = 1 , существует ровно одно подмножество нечетной мощности S , а именно само S , и ровно одно подмножество четной мощности, а именно ∅ . Далее, если | С | > 1 , затем разделите подмножества S содержат они или нет некоторый фиксированный элемент x в S. на два подкласса в зависимости от того , Между этими двумя подклассами существует очевидная биекция, объединяющая в пары те подмножества, которые имеют одинаковое дополнение относительно подмножества { x } . Кроме того, один из этих двух подклассов состоит из всех подмножеств множества S \ { x } и, следовательно, по предположению индукции, имеет равное количество подмножеств нечетной и четной мощности. содержащим четную и нечетную мощность { x } Эти подмножества, в свою очередь, взаимно соответствуют подмножествам S, . Индуктивный шаг следует непосредственно из этих двух биекций.

Связанный результат состоит в том, что биномиальные коэффициенты имеют чередующиеся элементы нечетной и четной степени, которые суммируются симметрично.

Средний заказ

Среднее значение (в смысле средних порядков) функции Мёбиуса равно нулю. Это утверждение, по сути, эквивалентно теореме о простых числах .

м ( n ) секций

µ ( n ) = 0 тогда и только тогда, когда n делится на квадрат простого числа. Первые числа с этим свойством:

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, .. .(последовательность A013929 в OEIS ).

Если n простое число, то µ ( n ) = −1 , но обратное неверно. Первое непростое число n , для которого µ ( n ) = −1, равно 30 = 2 × 3 × 5 . Первые такие числа с тремя различными простыми делителями ( сфенические числа ) — это

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... (последовательность A007304 в OEIS ) .

и первые такие числа с 5 различными простыми делителями:

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 82, 9570, 9690, ...( последовательность A046387 в OEIS ).

Функция Мертенса

В теории чисел другой арифметической функцией, тесно связанной с функцией Мёбиуса, является функция Мертенса , определяемая формулой

$M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)$

для каждого натурального числа n . Эта функция тесно связана с положениями нулей дзета-функции Римана . См. статью о гипотезе Мертенса для получения дополнительной информации о связи между M ( n ) и гипотезой Римана .

Из формулы

$\mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},$

отсюда следует, что функция Мертенса определяется выражением:

$M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},$

где Fn _n — Фарея порядка последовательность .

Эта формула используется при доказательстве теоремы Франеля–Ландау .

Обобщения

Алгебры инцидентности

В комбинаторике каждому локально конечному частично упорядоченному множеству (ЧУУ) ставится в соответствие алгебра инцидентности . Одним из выдающихся членов этой алгебры является «функция Мёбиуса» этого ЧУМ. Классическая функция Мёбиуса, рассматриваемая в этой статье, по существу равна функции Мёбиуса множества всех натуральных чисел, частично упорядоченных по делимости . См. статью об алгебрах инцидентности для получения точного определения и нескольких примеров этих общих функций Мёбиуса.

функция Поповича

Константин Попович определил обобщенную функцию Мёбиуса µ _k = µ ∗ ... ∗ µ как k -кратную свертку Дирихле функции Мёбиуса с самой собой. Таким образом, это снова мультипликативная функция с

$\mu _{k}\left(p^{a}\right)=(-1)^{a}{\binom {k}{a}}\$

где биномиальный коэффициент принимается равным нулю, если a > k . Определение можно расширить до комплексного k , прочитав бином как полином от k .

Реализации

• Математика
• Максима
• geeksforgeeks C++, Python3, Java, C#, PHP, Javascript
• Розеттский кодекс
• Мудрец

См. также

• Функция Лиувилля
• Функция Мертенса
• Сумма Рамануджана
• Сфеническое число

Источники

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк; Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , МР   0434929 , Збл   0335.10001
• Бост, Ж.-Б.; Конн, Ален (1995), «Алгебры Гекке, факторы типа III и фазовые переходы со спонтанным нарушением симметрии в теории чисел» , Selecta Mathematica , New Series, 1 (3): 411–457, doi : 10.1007/BF01589495 , S2CID   116418599
• Делеглиз, Марк; Риват, Жоэль (1996), «Вычисление суммирования функции Мёбиуса» , Experimental Mathematics , 5 (4): 291–295, doi : 10.1080/10586458.1996.10504594 , S2CID   574146
• Эдвардс, Гарольд (1974), Дзета-функция Римана , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  0-486-41740-9
• Гаусс, Карл Фридрих (1965), Исследования по высшей арифметике (Disquisitiones Arithemeticae & Other Papers on Theory Theory) , Х. Мазер (немецкий переводчик) (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN  0-8284-0191-8
• Гаусс, Карл Фридрих (1986), Disquisitiones Arithemeticae , Артур А. Кларк (английский переводчик) (исправленное 2-е изд.), Нью-Йорк: Springer , ISBN  0-387-96254-9
• Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (1980) [первое издание опубликовано в 1938 году], Введение в теорию чисел (5-е изд.), Оксфорд: Oxford University Press , ISBN  978-0-19-853171-5 – через Интернет-архив
• Клайн, Джеффри (2020), «Единичные суммы функций Мёбиуса и Мертенса» (PDF) , Журнал целочисленных последовательностей , 23 (8): 1–17
• Джейкобсон, Натан (2009) [впервые опубликовано в 1985 г.], Основная алгебра I (2-е изд.), Dover Publications, ISBN  978-0-486-47189-1
• Климов, Н.И. (2001) [1994], «Функция Мёбиуса» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Мёбиус, А. Ф. (1832), «Об особом виде обращения ряда» , Журнал чистой и прикладной математики , 9 : 105–123.
• Пегг, Эд-младший (2003), «Функция Мёбиуса (и числа без квадратов)» , Математические игры Эда Пегга
• Поповичи, Константин П. (1963), «Обобщение функции Мёбиуса», Studii si Cercetări Matematice , 14 : 493–499, MR   0181602
• Шандор, Джозеф; Крстичи, Борислав (2004), Справочник по теории чисел II , Дордрехт: Kluwer Academic, ISBN  1-4020-2546-7 , Збл   1079.11001
• Шандор, Джозеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006), Справочник по теории чисел I , Дордрехт: Springer-Verlag , стр. 187–226, ISBN  1-4020-4215-9 , Збл   1151.11300

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Мёбиуса» . Математический мир .