Мультипликативная функция

В теории чисел мультипликативная функция — это арифметическая функция f ( n ) положительного целого числа n, обладающая тем свойством, что f (1) = 1 и $f(ab)=f(a)f(b)$ всякий раз, когда a и b взаимно просты .

Арифметическая функция f ( n ) называется полностью мультипликативной (или полностью мультипликативной ), если f (1) = 1 и f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) выполняется для всех натуральных чисел a и b , даже когда они не взаимнопросты.

Примеры

Некоторые мультипликативные функции определены для упрощения написания формул:

1( n ): постоянная функция, определяемая формулой 1( n ) = 1 (полностью мультипликативная)
Id( n ): тождественная функция , определяемая Id( n ) = n (полностью мультипликативная)
Id _k ( n ): степенные функции, определяемые Id _k ( n ) = n ^к для любого комплексного числа k (вполне мультипликативно). В качестве особых случаев мы имеем
- Id ₀ ( n ) = 1 ( n ) и
- Ид ₁ ( п ) = Ид ( п ).
ε ( n ): функция, определяемая как ε ( n ) = 1, если n = 1 и 0 в противном случае, иногда называемая единицей умножения для свертки Дирихле или просто единичной функцией (полностью мультипликативной). Иногда пишется как u ( n ), но не путать с µ ( n ).
1 _C ( n ), индикаторная функция множества C ⊂ Z , для некоторых C. множеств Индикаторная функция 1 _C ( n ) является мультипликативной именно тогда, когда множество C обладает следующим свойством для любых взаимно простых чисел и b : произведение ab находится в C тогда и только тогда, когда числа a и b сами находятся в C. a Это тот случай, если C — это набор квадратов, кубов или k -й степени, или если C — это набор чисел без квадратов .

Другие примеры мультипликативных функций включают множество важных функций в теории чисел, таких как:

gcd( n , k ): наибольший общий делитель n k и k как функция от n , где — фиксированное целое число.
$\varphi (n)$ : полная функция Эйлера $\varphi$ , считая положительные целые числа , взаимно простые (но не большие) n
µ ( n ): функция Мёбиуса , четность (−1 для нечетного, +1 для четного) количества простых делителей чисел без квадратов ; 0, если n не является свободным от квадратов
σ _k ( n ): функция делителя , которая представляет собой сумму k -ых степеней всех положительных делителей числа n (где k может быть любым комплексным числом ). Особые случаи у нас есть
- σ ₀ ( n ) = ( n ) количество положительных делителей n d ,
- σ ₁ ( n ) = σ ( n ), сумма всех положительных делителей n .
Сумма k -ых степеней унитарных делителей обозначается σ* _k ( n ):

\sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d^{k}.

a ( n ): количество неизоморфных абелевых групп порядка n .
λ ( n ): функция Лиувилля , λ ( n ) = (−1) ^{Ом ( п )} где Ω( n ) — общее количество простых чисел (с учетом кратности), делящих n . (полностью мультипликативный).
γ ( n ), определяемый формулой γ ( n ) = (−1) ^{на )}, где аддитивная функция ω ( n ) — это количество различных простых чисел, делящих n .
τ ( n ): тау-функция Рамануджана .
Все характеры Дирихле являются вполне мультипликативными функциями. Например
- ( n / p ), символ Лежандра , рассматриваемый как функция от n , где p — фиксированное простое число .

Примером немультипликативной функции является арифметическая функция r ₂ ( n ) — количество представлений n в виде суммы квадратов двух целых чисел, положительных , отрицательных или нулевых , где при подсчете количества способов происходит обращение заказ разрешен. Например:

1 = 1 ² + 0 ² = (−1) ² + 0 ² = 0 ² + 1 ² = 0 ² + (−1) ²

и, следовательно, r ₂ (1) = 4 ≠ 1. Это показывает, что функция не является мультипликативной. Однако r ₂ ( n )/4 мультипликативна.

В Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей последовательности значений мультипликативной функции имеют ключевое слово «мульт».

См. арифметическую функцию для некоторых других примеров немульпликативных функций.

Характеристики

Мультипликативная функция полностью определяется своими значениями в степенях простых чисел , что является следствием основной теоремы арифметики . Таким образом, если n является произведением степеней различных простых чисел, скажем, n = p ^а д ^б ..., затем ж ( п ) знак равно ж ( п ^а) f ( q ^б) ...

Это свойство мультипликативных функций значительно снижает необходимость вычислений, как в следующих примерах для n = 144 = 2. ⁴ · 3 ²: $d(144)=\sigma _{0}(144)=\sigma _{0}(2^{4})\,\sigma _{0}(3^{2})=(1^{0}+2^{0}+4^{0}+8^{0}+16^{0})(1^{0}+3^{0}+9^{0})=5\cdot 3=15$ $\sigma (144)=\sigma _{1}(144)=\sigma _{1}(2^{4})\,\sigma _{1}(3^{2})=(1^{1}+2^{1}+4^{1}+8^{1}+16^{1})(1^{1}+3^{1}+9^{1})=31\cdot 13=403$ $\sigma ^{*}(144)=\sigma ^{*}(2^{4})\,\sigma ^{*}(3^{2})=(1^{1}+16^{1})(1^{1}+9^{1})=17\cdot 10=170$

Аналогично у нас есть: $\varphi (144)=\varphi (2^{4})\,\varphi (3^{2})=8\cdot 6=48$

В общем случае, если f ( n ) — мультипликативная функция и a , b — любые два положительных целых числа, то

ж ( а ) · ж ( б ) знак равно ж ( НОД ( а , б )) · ж ( lcm ( а , б )).

Всякая вполне мультипликативная функция является и полностью гомоморфизмом моноидов определяется своим ограничением на простые числа.

Свертка

Если f и g — две мультипликативные функции, определяется новая мультипликативная функция. $f*g$ , Дирихле свертка f и g , по $(f\,*\,g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\,g\left({\frac {n}{d}}\right)$ где сумма распространяется на все положительные делители d числа n . При этой операции множество всех мультипликативных функций превращается в абелеву группу ; единичный элемент - ε . Свертка является коммутативной, ассоциативной и дистрибутивной по отношению к сложению.

Отношения между мультипликативными функциями, обсуждавшимися выше, включают:

$\mu *1=\varepsilon$ ( формула обращения Мёбиуса )
$(\mu \operatorname {Id} _{k})*\operatorname {Id} _{k}=\varepsilon$ (обобщенная инверсия Мёбиуса)
$\varphi *1=\operatorname {Id}$
$d=1*1$
$\sigma =\operatorname {Id} *1=\varphi *d$
$\sigma _{k}=\operatorname {Id} _{k}*1$
$\operatorname {Id} =\varphi *1=\sigma *\mu$
$\operatorname {Id} _{k}=\sigma _{k}*\mu$

Свертка Дирихле может быть определена для общих арифметических функций и дает кольцевую структуру, кольцо Дирихле .

Свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативна. Доказательством этого факта является следующее разложение для относительно простых $a,b\in \mathbb {Z} ^{+}$ : ${\begin{aligned}(f\ast g)(ab)&=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1}d_{2}}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\right)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\right)\\&=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{aligned}}$

Ряды Дирихле для некоторых мультипликативных функций

$\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}$
$\sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}$
$\sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}$
$\sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}$

Больше примеров показано в статье о сериях Дирихле .

Рациональные арифметические функции

Арифметическая функция f называется рациональной арифметической функцией порядка $(r,s)$ если существуют вполне мультипликативные функции g ₁ ,..., g _r , h ₁ ,..., h _таков , что $f=g_{1}\ast \cdots \ast g_{r}\ast h_{1}^{-1}\ast \cdots \ast h_{s}^{-1},$ где обратные относительно свертки Дирихле. Рациональные арифметические функции порядка $(1,1)$ известны как тотент-функции и рациональные арифметические функции порядка $(2,0)$ известны как квадратичные функции или, в частности, мультипликативные функции. функция Эйлера $\varphi (n)$ является тотентной функцией, а функция делителя $\sigma _{k}(n)$ является квадратичной функцией. Вполне мультипликативные функции — это рациональные арифметические функции порядка $(1,0)$ . Функция Лиувилля $\lambda (n)$ является полностью мультипликативным. Функция Мёбиуса $\mu (n)$ является рациональной арифметической функцией порядка $(0,1)$ .По соглашению, элемент идентификации $\varepsilon$ при свертке Дирихле является рациональной арифметической функцией порядка $(0,0)$ .

Все рациональные арифметические функции мультипликативны. Мультипликативная функция f — это рациональная арифметическая функция порядка $(r,s)$ тогда и только тогда, когда его ряд Белла имеет вид ${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}={\frac {(1-h_{1}(p)x)(1-h_{2}(p)x)\cdots (1-h_{s}(p)x)}{(1-g_{1}(p)x)(1-g_{2}(p)x)\cdots (1-g_{r}(p)x)}}}$ для всех простых чисел $p$ .

Понятие рациональной арифметической функции исходит от Р. Вайдьянатхасвами (1931).

Личности Буше-Рамануджана

Мультипликативная функция $f$ называется специально мультипликативнымесли существует вполне мультипликативная функция $f_{A}$ такой, что

f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}f(mn/d^{2})f_{A}(d)

для всех положительных целых чисел $m$ и $n$ или эквивалентно

f(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}f(m/d)f(n/d)\mu (d)f_{A}(d)

для всех положительных целых чисел $m$ и $n$ , где $\mu$ – функция Мёбиуса. Они известны как тождества Буше-Рамануджана. В 1906 г. Э. Буше констатировал тождество

\sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(mn/d^{2})d^{k},

а в 1915 г. С. Рамануджан дал обратную форму

\sigma _{k}(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(m/d)\sigma _{k}(n/d)\mu (d)d^{k}

для $k=0$ . С. Чоула дал обратную форму для общего $k$ в 1929 г. см. П. Дж. Маккарти (1986). Исследование идентичностей Буше-Рамануджана началось с попытки лучше понять особые случаи, приведенные Буше и Рамануджаном.

Известно, что квадратичные функции $f=g_{1}\ast g_{2}$ удовлетворить тождества Буше-Рамануджана с помощью $f_{A}=g_{1}g_{2}$ . Фактически квадратичные функции — это то же самое, что специально мультипликативные функции. Тотиенты удовлетворяют ограниченной идентичности Буше-Рамануджана. Подробнее см. Р. Вайдьянатхасвами (1931).

Мультипликативная функция над $F q [X]$

Пусть $A = F q [X]$ — кольцо полиномов над конечным полем с q элементами. A является областью главного идеала и, следовательно, A является уникальной областью факторизации .

Комплексная функция $\lambda$ на A называется мультипликативным, если $\lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)$ всякий раз, когда f и g взаимно просты .

Дзета-функция и ряд Дирихле в $F q [X]$

Пусть h — полиномиальная арифметическая функция (т.е. функция на множестве монических многочленов над A ). Соответствующий ему ряд Дирихле определяется как

D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},

где для $g\in A,$ набор $|g|=q^{\deg(g)}$ если $g\neq 0,$ и $|g|=0$ в противном случае.

Тогда полиномиальная дзета-функция будет равна

\zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.

Подобно ситуации в $N$ , каждый ряд Дирихле мультипликативной функции h имеет представление произведения ( произведение Эйлера ):

D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{-sn}\right),

где произведение пробегает все монические неприводимые полиномы P . Например, представление произведения дзета-функции такое же, как и для целых чисел:

\zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.

В отличие от классической дзета-функции , $\zeta _{A}(s)$ — простая рациональная функция:

\zeta _{A}(s)=\sum _{f}|f|^{-s}=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.

Аналогичным образом, если f и g — две полиномиальные арифметические функции, определяется f * g , свертка Дирихле f и g , по формуле

{\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{aligned}}

где сумма ведется по всем моническим делителям d числа m или, что то же самое, по всем парам ( a , b ) монических многочленов, произведением которых является m . Личность $D_{h}D_{g}=D_{h*g}$ все еще держится.

Многомерный

Многомерные функции могут быть построены с использованием средств оценки мультипликативной модели. Где матричная функция $A$ определяется как $D_{N}=N^{2}\times N(N+1)/2$

сумму можно распределить по товару $y_{t}=\sum (t/T)^{1/2}u_{t}=\sum (t/T)^{1/2}G_{t}^{1/2}\epsilon _{t}$

Для эффективной оценки Σ $(.)$ следующие две непараметрические регрессии : можно рассмотреть ${\tilde {y}}_{t}^{2}={\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}}}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(\epsilon _{t}^{2}-1),$

и $y_{t}^{2}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(g_{t}\epsilon _{t}^{2}-1).$

Таким образом, он дает оценочную стоимость $L_{t}(\tau ;u)=\sum _{t=1}^{T}K_{h}(u-t/T){\begin{bmatrix}ln\tau +{\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}\tau }}\end{bmatrix}}$

с локальной функцией правдоподобия для $y_{t}^{2}$ с известными $g_{t}$ и неизвестный $\sigma ^{2}(t/T)$ .

Обобщения

Арифметическая функция $f$ является квазимультипликативный, если существует ненулевая константа $c$ такой, что $c\,f(mn)=f(m)f(n)$ для всех положительных целых чисел $m,n$ с $(m,n)=1$ . Эта концепция исходит от Лахири (1972).

Арифметическая функция $f$ является полумультипликативным если существует ненулевая константа $c$ , положительное целое число $a$ имультипликативная функция $f_{m}$ такой, что $f(n)=cf_{m}(n/a)$ для всех положительных целых чисел $n$ (в соответствии с соглашением, что $f_{m}(x)=0$ если $x$ не является целым положительным числом.) Эта концепция принадлежит Дэвиду Ририку (1966).

Арифметическая функция $f$ является мультипликативным по Сельбергу, если для каждого простого числа $p$ существует функция $f_{p}$ на неотрицательных целых числах с $f_{p}(0)=1$ длявсе, кроме конечного числа простых чисел $p$ такой, что $f(n)=\prod _{p}f_{p}(\nu _{p}(n))$ для всех положительных целых чисел $n$ , где $\nu _{p}(n)$ является показателем $p$ в канонической факторизации $n$ .

Известно, что классы полумультипликативных и мультипликативных функций Сельберга совпадают. Оба они удовлетворяют арифметическому тождеству $f(m)f(n)=f((m,n))f([m,n])$ для всех положительных целых чисел $m,n$ . См. Хаукканен (2012).

Хорошо известно и легко видеть, что мультипликативные функции — это квазимультипликативные функции с $c=1$ а квазимультипликативные функции — полумультипликативные функции с $a=1$ .

См. также

Ссылки

См. главу 2 Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , МР 0434929 , Збл 0335.10001
П. Дж. Маккарти, Введение в арифметические функции, Universitext. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1986.
Хафнер, Кристиан М.; Линтон, Оливер (2010). «Эффективная оценка многомерной мультипликативной модели волатильности» (PDF) . Журнал эконометрики . 159 (1): 55–73. doi : 10.1016/j.jeconom.2010.04.007 . S2CID 54812323 .
П. Хаукканен (2003). «Некоторые характеристики специально мультипликативных функций» . Межд. Дж. Математика. Математика. Наука . 37 : 2335–2344.
П. Хаукканен (2012). «Расширения класса мультипликативных функций» . Восток-Западный математический журнал . 14 (2): 101–113.
Д.Б. Лахири (1972). «Гипомультипликативные теоретико-числовые функции». уравнения Математические 8 (3): 316–317.

Д. Рерик (1966). «Полумультипликативные функции». Герцог Мат. Дж . 33 : 49–53.

Л. Тот (2013). «Два обобщения тождеств Буше-Рамануджана». Международный журнал теории чисел . 9 : 1301–1311.
Р. Вайдьянатхасвами (1931). «Теория мультипликативных арифметических функций» . Труды Американского математического общества . 33 (2): 579–662. дои : 10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1 .
С. Рамануджан, Некоторые формулы аналитической теории чисел. Вестник 45 (1915), 81—84.

Э. Буше, Решение задачи о числе делителей. Митт. Гес. 4, 229--237 (1906)

Внешние ссылки

Мультипликативная функция в PlanetMath .