Серия колоколов

В математике ряд Белла — это формальный степенной ряд, используемый для изучения свойств арифметических функций. Серия Bell была представлена ​​и разработана Эриком Темплом Беллом .

Учитывая арифметическую функцию $f$ и простое $p$, определим формальный степенной ряд $f_{p}(x)$, называемая серией Белла $f$ модуль $p$ как:

$f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.$

две мультипликативные функции Можно показать, что идентичны, если все их ряды Белла равны; это иногда называют теоремой единственности : для данных мультипликативных функций $f$ и $g$, у одного есть $f=g$ тогда и только тогда, когда :

$f_{p}(x)=g_{p}(x)$ для всех простых чисел $p$.

Два ряда можно умножить (иногда это называется теоремой умножения ): для любых двух арифметических функций $f$ и $g$, позволять $h=f*g$ быть их сверткой Дирихле . Тогда для каждого простого числа $p$, у одного есть:

$h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,$

В частности, это делает тривиальным нахождение ряда Белла для обратного Дирихле .

Если $f$ , полностью мультипликативна то формально:

$f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.$

Примеры

Ниже приводится таблица рядов Белла известных арифметических функций.

• Функция Мёбиуса $\mu$ имеет $\mu _{p}(x)=1-x.$
• Мебиуса Квадрат функции имеет $\mu _{p}^{2}(x)=1+x.$
• Тотент Эйлера $\varphi$ имеет $\varphi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.$
• Мультипликативное тождество свертки Дирихле. $\delta$ имеет $\delta _{p}(x)=1.$
• Функция Лиувилля $\lambda$ имеет $\lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.$
• Степенная функция Id _k имеет $({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.$ Здесь Id _k — вполне мультипликативная функция $\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}$.
• Функция делителя $\sigma _{k}$ имеет $(\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{(1-p^{k}x)(1-x)}}.$
• Постоянная функция со значением 1 удовлетворяет $1_{p}(x)=(1-x)^{-1}$, т. е. является геометрической прогрессией .
• Если $f(n)=2^{\omega (n)}=\sum _{d|n}\mu ^{2}(d)$ — степень простой омега-функции , тогда $f_{p}(x)={\frac {1+x}{1-x}}.$
• Предположим, что f мультипликативна и g — любая арифметическая функция, удовлетворяющая $f(p^{n+1})=f(p)f(p^{n})-g(p)f(p^{n-1})$ для всех простых чисел p и $n\geq 1$. Затем $f_{p}(x)=\left(1-f(p)x+g(p)x^{2}\right)^{-1}.$
• Если $\mu _{k}(n)=\sum _{d^{k}|n}\mu _{k-1}\left({\frac {n}{d^{k}}}\right)\mu _{k-1}\left({\frac {n}{d}}\right)$ обозначает функцию Мёбиуса порядка k , тогда $(\mu _{k})_{p}(x)={\frac {1-2x^{k}+x^{k+1}}{1-x}}.$

См. также

• Номера звонков

Ссылки

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , МР   0434929 , Збл   0335.10001