Прайм-газ

В математической физике первородный газ или газ Римана. обнаружен Бернардом Джулией — это модель, иллюстрирующая соответствия между теорией чисел и методами квантовой теории поля , статистической механики и динамическими системами, такими как теорема Ли-Янга . Это квантовая теория поля набора невзаимодействующих частиц, примонов ; ее называют газом или свободной моделью , потому что частицы не взаимодействуют. Идея первобытного газа была независимо открыта Дональдом Спектором. Более поздние работы Иоанниса Бакаса и Марка Боуика , и Спектор исследовал связь таких систем с теорией струн .

Модель

Государственное пространство

Рассмотрим гильбертово пространство H с ортонормированным базисом состояний $|p\rangle$ помечены простыми числами p . Второе квантование дает новое гильбертово пространство K , бозонное пространство Фока на H , где состояния описывают наборы простых чисел, которые мы можем назвать примитивами , если считать их аналогами частиц в квантовой теории поля. Это пространство Фока имеет ортонормированный базис, заданный конечными мультимножествами простых чисел. Другими словами, чтобы указать один из этих базисных элементов, мы можем указать число $k_{p}=0,1,2,\dots$ простых чисел для каждого простого числа $p$:

$|k_{2},k_{3},k_{5},k_{7},k_{11},\ldots ,k_{p},\ldots \rangle$

где общая сумма $\sum _{p}k_{p}$ конечно. Поскольку любое положительное натуральное число $n$ имеет уникальную факторизацию на простые числа:

$n=2^{k_{2}}\cdot 3^{k_{3}}\cdot 5^{k_{5}}\cdot 7^{k_{7}}\cdot 11^{k_{11}}\cdots p^{k_{p}}\cdots$

мы также можем обозначить базисные элементы пространства Фока просто $|n\rangle$ где $n=1,2,3,\dots .$

Короче говоря, пространство Фока для простых чисел имеет ортонормированный базис, заданный положительными натуральными числами, но мы думаем о каждом таком числе $n$ как совокупность простых чисел: его простые факторы, подсчитанные с учетом кратности.

Идентификация гамильтониана с помощью оператора Купмана

Учитывая состояние $x_{n}=n$, мы можем использовать оператор Купмана $\Phi$ поднять динамику из пространства состояний в пространство наблюдаемых:

$\Phi \circ {\textbf {log}}\circ x_{n}={\textbf {log}}\circ F\circ x_{n}={\textbf {log}}\circ x_{n+1}$

где ${\textbf {log}}$ - это алгоритм факторизации целых чисел, аналогичный дискретному логарифму, и $F$ является функцией-преемником. Таким образом, мы имеем:

${\textbf {log}}\circ x_{n}=\bigoplus _{k}a_{k}\cdot \ln p_{k}$

Точная мотивация для определения оператора Купмана. $\Phi$ заключается в том, что он представляет собой глобальную линеаризацию $F$, который рассматривает линейные комбинации собственных состояний как целочисленные разделы. Фактически, читатель может легко убедиться, что функция-последователь не линейная функция:

$\forall n\in \mathbb {N} ,F(n)=n+1\implies \forall x,y\in \mathbb {N} ^{*},F(x+y)\neq F(x)+F(y)$

Следовательно, $\Phi$ является каноническим.

Энергии

Если мы возьмем простой квантовый гамильтониан H, имеющий собственные значения, пропорциональные log p , то есть

$H|p\rangle =E_{p}|p\rangle$

с

$E_{p}=E\log p$

для некоторой положительной константы $E$, мы естественным образом приходим к

$E_{n}=\sum _{p}k_{p}E_{p}=E\cdot \sum _{p}k_{p}\log p=E\log n$

Статистика размерности фазового пространства

Предположим, мы хотели бы узнать среднее нормализованное время, которое римановский газ проводит в определенном подпространстве. Как эта частота может быть связана с размерностью этого подпространства?

Если мы охарактеризуем отдельные линейные подпространства как данные Эрдеша-Каца, которые имеют форму разреженных двоичных векторов, используя теорему Эрдеша-Каца, мы можем фактически продемонстрировать, что эта частота зависит не более чем от размерности подпространства. Фактически, если $\omega (n)$ подсчитывает количество уникальных простых делителей $n\in \mathbb {N}$ то закон Эрдеша-Каца говорит нам, что для больших $n$:

${\frac {\omega (n)-\ln \ln n}{\sqrt {\ln \ln n}}}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$

имеет стандартное нормальное распределение.

Еще более примечательно то, что хотя теорема Эрдеша-Каца имеет форму статистического наблюдения, ее нельзя было открыть с помощью статистических методов. Действительно, для $X\sim U([1,N])$ нормальный порядок $\omega (X)$ только начинает проявляться для $N\geq 10^{100}$.

Статистическая механика

Статистическая сумма Z первичного газа определяется дзета-функцией Римана :

$Z(T):=\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left({\frac {-E_{n}}{k_{\text{B}}T}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left({\frac {-E\log n}{k_{\text{B}}T}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s)$

где s = E / k _B T , где k _B — постоянная Больцмана , а T — абсолютная температура .

Расхождение дзета-функции при = 1 соответствует расхождению статистической суммы температуре Хагедорна TH ₌ s E / k _B. при

Суперсимметричная модель

Вышеупомянутая модель второго квантования считает частицы бозонами . Если частицы считаются фермионами , то принцип исключения Паули запрещает многочастичные состояния, которые включают квадраты простых чисел. По теореме о спин-статистике состояния поля с четным числом частиц являются бозонами, а состояния с нечетным числом частиц — фермионами. Фермионный оператор (−1) ^Ф имеет очень конкретную реализацию в этой модели как функция Мёбиуса $\mu (n)$, поскольку функция Мёбиуса положительна для бозонов, отрицательна для фермионов и равна нулю в состояниях, запрещенных принципом исключения.

Более сложные модели

Связи между теорией чисел и квантовой теорией поля могут быть несколько расширены до связей между топологической теорией поля и K-теорией , где, в соответствии с приведенным выше примером, спектр кольца берет на себя роль спектра собственных значений энергии, простого числа идеалы играют роль простых чисел, представления групп — роль целых чисел, символы групп — вместо символов Дирихле и так далее.

Внешние ссылки

• Джон Баэз , «Находки этой недели по математической физике», неделя 199