Теорема Ли – Янга

В статистической механике теорема Ли-Янга гласит, что если статистические суммы некоторых моделей статистической теории поля с ферромагнитными взаимодействиями рассматривать как функции внешнего поля, то все нули являются чисто мнимыми (или на единичной окружности после замены переменной). Первая версия для модели Изинга ( была доказана Т.Д. Ли и К.Н. Янгом 1952 ) ( Lee & Yang, 1952 ). Их результат позже был распространен несколькими людьми на более общие модели. Асано в 1970 году распространил теорему Ли-Янга на модель Гейзенберга и предоставил более простое доказательство с использованием сокращений Асано . Саймон и Гриффитс (1973) распространили теорему Ли-Янга на некоторые непрерывные распределения вероятностей, аппроксимируя их суперпозицией моделей Изинга. Ньюман (1974) дал общую теорему, грубо утверждающую, что теорема Ли-Янга справедлива для ферромагнитного взаимодействия при условии, что она справедлива для нулевого взаимодействия. Либ и Сокал (1981) обобщили R результат Ньюмана от мер на до мер в многомерном евклидовом пространстве.

Были некоторые предположения о связи между теоремой Ли-Янга и гипотезой Римана о дзета-функции Римана ; см. ( Кнауф 1999 ).

Заявление

Предварительные сведения

В соответствии с формализацией Ньюмана (1974) гамильтониан имеет вид

$H=-\sum J_{jk}S_{j}S_{k}-\sum z_{j}S_{j}$

где S _j — спиновые переменные, z _— внешнее поле. Система называется ферромагнитной, если все коэффициенты в члене взаимодействия J _jk являются неотрицательными действительными числами.

Статистическая сумма определяется выражением

$Z=\int e^{-H}d\mu _{1}(S_{1})\cdots d\mu _{N}(S_{N})$

где каждый dμ _j является четной мерой вещественных чисел R, убывающей на бесконечности настолько быстро, что все гауссовы функции интегрируемы, т.е.

$\int e^{bS^{2}}d|\mu _{j}(S)|<\infty ,\,\forall b\in \mathbb {R} .$

Говорят, что быстро убывающая мера действительных чисел обладает свойством Ли-Янга, если все нули ее преобразования Фурье вещественны, как показано ниже.

$\int e^{hS}d\mu _{j}(S)\neq 0,\,\forall h\in \mathbb {H} _{+}:=\{z\in \mathbb {C} \mid \Re (z)>0\}$

Теорема

Теорема Ли-Янга утверждает, что если гамильтониан ферромагнитен и все меры dμ _j обладают свойством Ли-Янга и все числа z _j имеют положительную действительную часть, то функция распределения не равна нулю.

$Z(\{z_{j}\})\neq 0,\,\forall z_{j}\in \mathbb {H} _{+}$

В частности, если все числа z _j равны некоторому числу z , то все нули статистической суммы (рассматриваемой как функция от z ) являются мнимыми.

В исходном случае модели Изинга, рассмотренном Ли и Янгом, все меры имеют поддержку в наборе из двух точек -1, 1, поэтому статистическую сумму можно рассматривать как функцию переменной ρ = e ^{π z} . При такой замене переменной теорема Ли-Янга гласит, что все нули ρ лежат на единичной окружности.

Примеры

Некоторые примеры меры со свойством Ли-Янга:

• Мера модели Изинга, имеющая поддержку, состоящую из двух точек (обычно 1 и −1), каждая с весом 1/2. Это оригинальный случай, рассмотренный Ли и Янгом.
• Распределение спина n /2, носитель которого имеет n +1 равноотстоящие друг от друга точки, каждая из которых имеет вес 1/( n + 1). Это обобщение случая модели Изинга.
• Плотность меры равномерно распределена между −1 и 1.
• Плотность $\exp(-\lambda \cosh(S))\,dS$
• Плотность $\exp(-\lambda S^{4}-bS^{2})\,dS$ для положительного λ и вещественного b . Это соответствует ( φ ⁴ ) ₂ Евклидова квантовая теория поля.
• Плотность $\exp(-\lambda S^{6}-aS^{4}-bS^{2})\,dS$ для положительных λ не всегда обладает свойством Ли-Янга.
• Если dμ обладает свойством Ли-Янга, то же самое имеет и exp( bS ² ) dμ для любого положительного b .
• Если dμ обладает свойством Ли-Янга, то же самое имеет и Q ( S ) dμ для любого четного многочлена Q, все нули которого мнимые.
• Свертка двух мер со свойством Ли-Янга также обладает свойством Ли-Янга.

См. также

• Теория Ли-Яна

Ссылки

• Ицыксон, Клод; Друфф, Жан-Мишель (1989), Статистическая теория поля. Том. 1 , Кембриджские монографии по математической физике, издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-34058-8 , МР   1175176
• Кнауф, Андреас (1999), «Теория чисел, динамические системы и статистическая механика», Обзоры по математической физике , 11 (8): 1027–1060, Бибкод : 1999RvMaP..11.1027K , CiteSeerX   10.1.1.184.8685 , doi : 10.1142/S0129055X99000325 , ISSN   0129-055X , MR   1714352
• Ли, ТД; Ян, CN (1952), «Статистическая теория уравнений состояния и фазовых переходов. II. Решетчатый газ и модель Изинга», Physical Review , 87 (3): 410–419, Бибкод : 1952PhRv...87..410L , doi : 10.1103/PhysRev.87.410 , ISSN   0031-9007
• Либ, Эллиот Х.; Сокал, Алан Д. (1981), «Общая теорема Ли-Янга для однокомпонентных и многокомпонентных ферромагнетиков» , Communications in Mathematical Physics , 80 (2): 153–179, Бибкод : 1981CMaPh..80..153L , doi : 10.1007/BF01213009 , ISSN   0010-3616 , МР   0623156 , С2КИД   59332042
• Ньюман, Чарльз М. (1974), «Нули статистической суммы для обобщенных систем Изинга», Communications on Pure and Applied Mathematics , 27 (2): 143–159, doi : 10.1002/cpa.3160270203 , ISSN   0010-3640 , МР   0484184
• Саймон, Барри ; Гриффитс, Роберт Б. (1973), «(φ ⁴ ) ₂ теории поля как классическая модель Изинга» , Communications in Mathematical Physics , 33 (2): 145–164, Bibcode : 1973CMaPh..33..145S , CiteSeerX   10.1.1.210.9639 , doi : 10.1007/BF01645626 , ISSN   0010-3616 , МР   0428998 , С2КИД   123201243
• Ян, Китай; Ли, Т.Д. (1952), «Статистическая теория уравнений состояния и фазовых переходов. I. Теория конденсации», Physical Review , 87 (3): 404–409, Бибкод : 1952PhRv...87..404Y , doi : 10.1103/PhysRev.87.404 , ISSN   0031-9007