Сокращение Асано

В комплексном анализе (дисциплине математики) и статистической физике сокращение Асано или сокращение Асано-Рюэля представляет собой преобразование отдельно аффинного многомерного полинома. Впервые он был представлен в 1970 году Таро Асано для доказательства теоремы Ли-Янга в случае спиновой модели Гейзенберга . Это также дало простое доказательство теоремы Ли-Янга в модели Изинга . Дэвид Рюэль доказал общую теорему, связывающую расположение корней сжатого многочлена с корнем исходного. Сокращение Асано также использовалось для изучения полиномов в теории графов.

Определение

Позволять $\Phi (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})$ быть многочленом, который, если рассматривать его как функцию только одной из этих переменных, является аффинной функцией . Такие функции называются раздельно аффинными. Например, $a+bz_{1}+cz_{2}+dz_{1}z_{2}$ — общий вид отдельно аффинной функции двух переменных. Любую отдельно аффинную функцию можно записать через любые две ее переменные как $\Phi (z_{i},z_{j})=a+bz_{i}+cz_{j}+dz_{i}z_{j}$. Сокращение Асано $(z_{i},z_{j})\mapsto z$ отправляет $\Phi$ к ${\tilde {\Phi }}=a+dz$.

Расположение нулей

Сокращение Асано часто используется в контексте теорем о расположении корней. Первоначально Асано использовал их, потому что они сохраняют свойство не иметь корней, когда все переменные имеют величину больше 1. Рюэль предложил более общую зависимость, которая позволила использовать сокращения в большем количестве приложений. Он показал, что если существуют замкнутые множества $M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}$ не содержащий 0 такой, что $\Phi$ не может исчезнуть, пока $z_{i}\in M_{i}$ для некоторого индекса $i$, затем ${\tilde {\Phi }}=((z_{j},z_{k})\mapsto z)(\Phi )$ может исчезнуть только в том случае, если $z_{i}\in M_{i}$ для некоторого индекса $i\neq k,j$ или $z\in -M_{j}M_{k}$ где $-M_{j}M_{k}=\{-ab;a\in M_{j},b\in M_{k}\}$. Рюэль и другие использовали эту теорему, чтобы связать нули статистической суммы с нулями статистической суммы ее подсистем.

Использовать

Сокращение Асано можно использовать в статистической физике для получения информации о системе из ее подсистем. Например, предположим, что у нас есть система с конечным множеством $\Lambda$ частиц с магнитным спином 1 или -1. Для каждого сайта у нас есть комплексная переменная $z_{x}$ Тогда мы можем определить отдельно аффинный полином $P(z_{\Lambda })=\sum _{X\subseteq \Lambda }c_{X}z^{X}$ где $z^{X}=\prod _{x\in X}z_{x}$, $c_{X}=e^{-\beta U(X)}$ и $U(X)$ — это энергия состояния, в котором только узлы в $X$ иметь положительный спин. Если все переменные одинаковы, это функция распределения . Теперь, если $\Lambda =\Lambda _{1}\cap \Lambda _{2}$, затем $P(z_{\Lambda })$ получается из $P(z_{\Lambda _{1}})P(z_{\Lambda _{2}})$ путем сокращения переменной, прикрепленной к идентичным сайтам. Это связано с тем, что сокращение Асано по существу устраняет все члены, в которых спины в узле различны в $P(z_{\Lambda _{1}})$ и $P(z_{\Lambda _{2}})$.

Рюэль также использовал сокращения Асано, чтобы найти информацию о расположении корней обобщения совпадающих полиномов , которые он называет полиномами подсчета графов. Он назначает переменную каждому ребру. Для каждой вершины он вычисляет симметричный многочлен от переменных, соответствующих ребрам, инцидентным этой вершине. Симметричный полином содержит члены степени, равной разрешенной степени для этого узла. Затем он умножает эти симметричные полиномы вместе и использует сокращения Асано, чтобы сохранить только те члены, в которых ребро присутствует в обеих его конечных точках. Используя теорему Грейса-Уолша-Сегё и пересекая все множества, которые могут быть получены, Рюэль дает множества, содержащие корни нескольких типов этих симметричных многочленов. Поскольку полином для подсчета графов был получен из них с помощью сокращений Асано, большая часть оставшейся работы — это вычисление произведений этих наборов.