функция Доусона

График интегральной функции Доусона F(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

В математике функция Доусона или интеграл Доусона. (назван в честь Герберта Доусона ) представляет собой одностороннее синусоидальное преобразование Фурье – Лапласа функции Гаусса.

Определение

Функция Доусона, $F(x)=D_{+}(x),$ вокруг происхождения

Функция Доусона, $D_{-}(x),$ вокруг происхождения

Функция Доусона определяется как: $$D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt,$$также обозначается как $F(x)$ или $D(x),$или альтернативно $$D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.\!$$

Функция Доусона представляет собой одностороннее синусоидальное преобразование Гаусса Фурье – Лапласа функции , $$D_{+}(x)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/4}\,\sin(xt)\,dt.$$

Она тесно связана с функцией ошибок erf, поскольку

$D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erfi} (x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erf} (ix)$

где erfi — мнимая функция ошибок, erfi( x ) = − i erf( ix ).
Сходным образом, $$D_{-}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{x^{2}}\operatorname {erf} (x)$$с точки зрения реальной функции ошибок, erf.

С точки зрения либо функции Эрфи, либо функции Фаддеевой $w(z),$ функцию Доусона можно распространить на всю комплексную плоскость : $$F(z)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-z^{2}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {i{\sqrt {\pi }}}{2}}\left[e^{-z^{2}}-w(z)\right],$$что упрощается до $$D_{+}(x)=F(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {Im} [w(x)]$$$$D_{-}(x)=iF(-ix)=-{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left[e^{x^{2}}-w(-ix)\right]$$серьезно $x.$

Для $|x|$ около нуля, F ( x ) ≈ x . Для $|x|$ большой, F ( x ) ≈ 1/(2 x ). Точнее, вблизи начала координат он имеет разложение в ряд. $$F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!!}}\,x^{2k+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots ,$$в то время как для большого $x$ он имеет асимптотическое разложение $$F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\cdots .$$

Точнее $$\left|F(x)-\sum _{k=0}^{N}{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}x^{2k+1}}}\right|\leq {\frac {C_{N}}{x^{2N+3}}}.$$где $n!!$ это двойной факториал .

$F(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $${\frac {dF}{dx}}+2xF=1\,\!$$с начальным состоянием $F(0)=0.$ Следовательно, оно имеет экстремумы $$F(x)={\frac {1}{2x}},$$в результате x = ±0,92413887... ( OEIS : A133841 ), F ( x ) = ±0,54104422... ( OEIS : A133842 ).

Точки перегиба следуют за $$F(x)={\frac {x}{2x^{2}-1}},$$в результате x = ±1,50197526... ( OEIS : A133843 ), F ( x ) = ±0,42768661... ( OEIS : A245262 ).(Помимо тривиальной точки перегиба при $x=0,$ $F(x)=0.$)

Связь с преобразованием Гильберта гауссовой

гауссианы Преобразование Гильберта определяется как $$H(y)=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx$$

PV обозначает главное значение Коши , и мы ограничиваемся реальным $y.$ $H(y)$ может быть связана с функцией Доусона следующим образом. Внутри интеграла главного значения мы можем рассматривать $1/u$ как обобщенную функцию или распределение и использовать представление Фурье $${1 \over u}=\int _{0}^{\infty }dk\,\sin ku=\int _{0}^{\infty }dk\,\operatorname {Im} e^{iku}.$$

С $1/u=1/(y-x),$ мы используем экспоненциальное представление $\sin(ku)$ и дополним квадрат относительно $x$ найти $$\pi H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky]\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\exp[-(x+ik/2)^{2}].$$

Мы можем сдвинуть интеграл по $x$ к действительной оси, и это дает $\pi ^{1/2}.$Таким образом $$\pi ^{1/2}H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky].$$

Завершаем квадрат относительно $k$ и получить $$\pi ^{1/2}H(y)=e^{-y^{2}}\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-(k/2-iy)^{2}].$$

Мы меняем переменные на $u=ik/2+y:$$$\pi ^{1/2}H(y)=-2e^{-y^{2}}\operatorname {Im} i\int _{y}^{i\infty +y}du\ e^{u^{2}}.$$

Интеграл можно выполнить как контурный интеграл вокруг прямоугольника на комплексной плоскости. Мнимая часть результата дает $$H(y)=2\pi ^{-1/2}F(y)$$где $F(y)$ — это функция Доусона, определенная выше.

Преобразование Гильберта $x^{2n}e^{-x^{2}}$ также связано с функцией Доусона. Мы видим это с помощью техники дифференцирования внутри знака интеграла. Позволять $$H_{n}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx.$$

Представлять $$H_{a}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{e^{-ax^{2}} \over y-x}\,dx.$$

The $n$производная $${\partial ^{n}H_{a} \over \partial a^{n}}=(-1)^{n}\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-ax^{2}}}{y-x}}\,dx.$$

Таким образом, мы находим $$\left.H_{n}=(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}H_{a}}{\partial a^{n}}}\right|_{a=1}.$$

Сначала выполняются производные, затем оценивается результат $a=1.$ Замена переменной также дает $H_{a}=2\pi ^{-1/2}F(y{\sqrt {a}}).$ С $F'(y)=1-2yF(y),$ мы можем написать $H_{n}=P_{1}(y)+P_{2}(y)F(y)$ где $P_{1}$ и $P_{2}$ являются полиномами. Например, $H_{1}=-\pi ^{-1/2}y+2\pi ^{-1/2}y^{2}F(y).$ Альтернативно, $H_{n}$ можно вычислить с помощью рекуррентного соотношения (для $n\geq 0$) $$H_{n+1}(y)=y^{2}H_{n}(y)-{\frac {(2n-1)!!}{{\sqrt {\pi }}2^{n}}}y.$$

См. также

• Список математических функций

Внешние ссылки

• gsl_sf_dawson в Научной библиотеке GNU
• libcerf , числовая библиотека C для сложных функций ошибок, предоставляет функцию voigt(x, sigma, gamma) с точностью примерно 13–14 цифр. Он основан на функции Фаддеевой , реализованной в пакете MIT Faddeeva.
• Интеграл Доусона (в Mathworld)
• Функции ошибок