Нигде непрерывная функция

В математике , нигде не непрерывная функция также называемая всюду разрывной функцией , — это функция , которая не является непрерывной ни в одной точке своей области определения . Если $f$ является функцией преобразования действительных чисел в действительные числа, тогда $f$ нигде не является непрерывным, если для каждой точки $x$ есть некоторые $\varepsilon >0$ такой, что для каждого $\delta >0,$ мы можем найти точку $y$ такой, что $|x-y|<\delta$ и $|f(x)-f(y)|\geq \varepsilon$ . Следовательно, независимо от того, насколько близко она подходит к какой-либо фиксированной точке, существуют еще более близкие точки, в которых функция принимает значения, отличные от соседних.

Более общие определения такого рода функций можно получить, заменив абсолютное значение функцией расстояния в метрическом пространстве или используя определение непрерывности в топологическом пространстве .

Примеры

Функция Дирихле

Одним из примеров такой функции является индикаторная функция рациональных чисел , также известная как функция Дирихле . Эта функция обозначается как $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }$ и имеет домен и кодомен , равные действительным числам . По определению, $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)$ равно $1$ если $x$ является рациональным числом , и это $0$ если $x$ в противном случае.

В более общем смысле, если $E$ любое подмножество топологического пространства $X$ такой, что оба $E$ и дополнение $E$ плотны в $X,$ тогда вещественная функция, которая принимает значение $1$ на $E$ и $0$ в дополнение к $E$ нигде не будет непрерывным. Функции этого типа первоначально исследовал Питер Густав Лежен Дирихле . ^[1]

Нетривиальные аддитивные функции

Функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ называется аддитивной функцией , если она удовлетворяет функциональному уравнению Коши : $f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all }}x,y\in \mathbb {R} .$ Например, каждая карта формы $x\mapsto cx,$ где $c\in \mathbb {R}$ является некоторой константой, является аддитивной (фактически линейной и непрерывной). Более того, каждое линейное отображение $L:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ имеет такой вид (взяв $c:=L(1)$ ).

Хотя каждая линейная карта аддитивна, не все аддитивные карты являются линейными. Аддитивная карта $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ линейна тогда и только тогда, когда существует точка, в которой она непрерывна, и в этом случае она непрерывна всюду. Следовательно, каждая нелинейная аддитивная функция $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ разрывна в каждой точке своей области определения. Тем не менее ограничение любой аддитивной функции $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ любому вещественному скалярному кратному рациональных чисел $\mathbb {Q}$ является непрерывным; явно это означает, что для каждого реального $r\in \mathbb {R} ,$ ограничение $f{\big \vert }_{r\mathbb {Q} }:r\,\mathbb {Q} \to \mathbb {R}$ на съемочную площадку $r\,\mathbb {Q} :=\{rq:q\in \mathbb {Q} \}$ является непрерывной функцией. Таким образом, если $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ является нелинейной аддитивной функцией, то для каждой точки $x\in \mathbb {R} ,$ $f$ является прерывистым в $x$ но $x$ также содержится в некотором плотном подмножестве $D\subseteq \mathbb {R}$ на котором $f$ ограничение $f\vert _{D}:D\to \mathbb {R}$ является непрерывным (в частности, возьмем $D:=x\,\mathbb {Q}$ если $x\neq 0,$ и возьми $D:=\mathbb {Q}$ если $x=0$ ).

Разрывные линейные карты

Линейное отображение между двумя топологическими векторными пространствами , такими как, например, нормированные пространства , является непрерывным (везде) тогда и только тогда, когда существует точка, в которой оно непрерывно, и в этом случае оно даже равномерно непрерывно . Следовательно, всякое линейное отображение либо непрерывно всюду, либо непрерывно нигде.Каждый линейный функционал является линейным отображением , и в каждом бесконечномерном нормированном пространстве существует некоторый разрывный линейный функционал .

Другие функции

Функция Конвея по основанию 13 разрывна в каждой точке.

Гиперреальная характеристика

Настоящая функция $f$ нигде не является непрерывным, если его естественное гиперреальное расширение обладает свойством, что каждое $x$ бесконечно близок к $y$ такая, что разница $f(x)-f(y)$ значительна (т. е. не бесконечно мала ).

См. также

Теорема Блюмберга – даже если действительная функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ нигде не является непрерывным, существует плотное подмножество $D$ из $\mathbb {R}$ такое, что ограничение $f$ к $D$ является непрерывным.
Функция Томаэ (также известная как функция попкорна) – функция, непрерывная для всех иррациональных чисел и разрывная для всех рациональных чисел.
Функция Вейерштрасса – функция , непрерывная всюду (внутри области определения) и нигде не дифференцируемая .

Ссылки

^ Лежен Дирихле, Питер Густав (1829). «О сходимости тригонометрических рядов, служащих для представления произвольной функции в заданных пределах» . Журнал для королевы и математики . 4 : 157–169.

Внешние ссылки

«Дирихле-функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Функция Дирихле — из MathWorld
Модифицированная функция Дирихле. Архивировано 2 мая 2019 г. в Wayback Machine Джорджем Беком, Демонстрационный проект Wolfram .

[1] Лежен Дирихле, Питер Густав (1829). «О сходимости тригонометрических рядов, служащих для представления произвольной функции в заданных пределах» . Журнал для королевы и математики . 4 : 157–169.

[1]