G-функция Барнса

График Барнса G, также известной как двойная гамма-функция G(z), в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Функция Барнса G вдоль части вещественной оси

В математике G G-функция Барнса ( z ) — это функция , которая является расширением суперфакториалов до комплексных чисел . Она связана с гамма-функцией , К-функцией и константой Глейшера-Кинкелина и была названа в честь математика Эрнеста Уильяма Барнса . Это можно записать в терминах двойной гамма-функции .

-функция Барнса Формально G определяется в следующей форме произведения Вейерштрасса :

$G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}$

где $\,\gamma$ — константа Эйлера–Машерони , exp ( x ) = e ^х — показательная функция, а Π обозначает умножение ( заглавная буква «пи» ).

Интегральное представление, которое можно вывести из связи с двойной гамма-функцией , равно

$\log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {1-e^{-zt}}{4\sinh ^{2}{\frac {t}{2}}}}+{\frac {z^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {z}{t}}\right]$

Как целая функция G имеет второй порядок и бесконечный тип. Это можно вывести из асимптотического разложения, приведенного ниже.

Функциональное уравнение и целочисленные аргументы

-функция Барнса G удовлетворяет функциональному уравнению

$G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)$

с нормировкой G (1) = 1. Обратите внимание на сходство функционального уравнения G-функции Барнса и гамма-функции Эйлера :

$\Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).$

Функциональное уравнение подразумевает, что G принимает следующие значения при целочисленных аргументах:

$G(n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}$

(в частности, $\,G(0)=0,G(1)=1$)и таким образом

$G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}$

где $\,\Gamma (x)$ обозначает гамма-функцию , а K обозначает K-функцию . Функциональное уравнение однозначно определяет G-функцию Барнса, если выполнено условие выпуклости

$(\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0$

добавляется. Кроме того, G-функция Барнса удовлетворяет формуле дублирования:

$G(x)G\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}G(x+1)=e^{\frac {1}{4}}A^{-3}2^{-2x^{2}+3x-{\frac {11}{12}}}\pi ^{x-{\frac {1}{2}}}G\left(2x\right)$,

где $A$ – константа Глейшера–Кинкелина .

Характеристика

Подобно теореме Бора–Моллерупа для гамма-функции , для постоянной $c>0$, у нас есть для $f(x)=cG(x)$

$f(x+1)=\Gamma (x)f(x)$

и для $x>0$

$f(x+n)\sim \Gamma (x)^{n}n^{x \choose 2}f(n)$

как $n\to \infty$.

Формула отражения

Разностное уравнение для G-функции в сочетании с функциональным уравнением для гамма-функции можно использовать для получения следующей формулы отражения для G-функции Барнса (первоначально доказанной Германом Кинкелином ):

$\log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.$

Логарифмический интеграл в правой части можно оценить через функцию Клаузена (порядка 2), как показано ниже:

$2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)$

Доказательство этого результата основано на следующей оценке котангенс-интеграла: введении обозначения $\operatorname {Lc} (z)$ для логарифмического интеграла и используя тот факт, что $\,(d/dx)\log(\sin \pi x)=\pi \cot \pi x$, интегрирование по частям дает

${\begin{aligned}\operatorname {Lc} (z)&=\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}{\Bigg [}\log(2\sin \pi x)-\log 2{\Bigg ]}\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx.\end{aligned}}$

Выполнение интегральной замены $\,y=2\pi x\Rightarrow dx=dy/(2\pi )$ дает

$z\log(2\sin \pi z)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi z}\log \left(2\sin {\frac {y}{2}}\right)\,dy.$

Функция Клаузена второго порядка имеет интегральное представление

$\operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx.$

Однако в интервале $\,0<\theta <2\pi$, знак абсолютного значения в подынтегральном выражении можно опустить, поскольку внутри диапазона функция «полусинусоида» в интеграле строго положительна и строго отлична от нуля. Сравнивая это определение с приведенным выше результатом для логтангенсного интеграла, очевидно, что имеет место следующее соотношение:

$\operatorname {Lc} (z)=z\log(2\sin \pi z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z).$

Таким образом, после небольшой перестановки членов доказательство завершено:

$2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)\,.\,\Box$

Используя соотношение $\,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)$ и разделив формулу отражения на коэффициент $\,2\pi$ дает эквивалентную форму:

$\log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)$

Адамчик (2003) дал эквивалентную форму формулы отражения , но с другим доказательством.

Замена z на ⁠ 1/2 полиномов ⁠ − в предыдущей формуле отражения z после некоторого упрощения дает эквивалентную формулу, показанную ниже (с использованием Бернулли ):

$\log \left({\frac {G\left({\frac {1}{2}}+z\right)}{G\left({\frac {1}{2}}-z\right)}}\right)=\log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi +{\frac {1}{2}}\log 2+\pi \int _{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,dx$

Расширение ряда Тейлора

По теореме Тейлора и с учетом логарифмических производных функции Барнса можно получить следующее разложение в ряд:

$\log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.$

Это действительно для $\,0<z<1$. Здесь, $\,\zeta (x)$ это дзета-функция Римана :

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.$

Возведение в степень обеих сторон разложения Тейлора дает:

${\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{aligned}}$

Сравнение этого с формой произведения Вейерштрасса функции Барнса дает следующее соотношение:

$\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}$

Формула умножения

Как и гамма-функция, G-функция также имеет формулу умножения:

$G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)$

где $K(n)$ является константой, определяемой:

$K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.$

Здесь $\zeta ^{\prime }$ является производной дзета-функции Римана и $A$ – константа Глейшера–Кинкелина .

Абсолютное значение

Верно то, что $G({\overline {z}})={\overline {G(z)}}$, таким образом $|G(z)|^{2}=G(z)G({\overline {z}})$. Из этого соотношения и представленной выше формы произведения Вейерштрасса можно показать, что

$|G(x+iy)|=|G(x)|\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}{\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{(x+k)^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}.$

Это соотношение справедливо для произвольных $x\in \mathbb {R} \setminus \{0,-1,-2,\dots \}$, и $y\in \mathbb {R}$. Если $x=0$, то вместо этого действительна приведенная ниже формула:

$|G(iy)|=y\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{k^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}$

для произвольного действительного y .

Асимптотическое расширение

Логарифм G ( + 1 ) z имеет следующее асимптотическое разложение, установленное Барнсом:

${\begin{aligned}\log G(z+1)={}&{\frac {z^{2}}{2}}\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {1}{12}}\log z\\&{}+\left({\frac {1}{12}}-\log A\right)+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).\end{aligned}}$

Здесь $B_{k}$ числа Бернулли и $A$ – константа Глейшера–Кинкелина . (Обратите внимание, что во времена Барнса это несколько сбивало с толку. число Бернулли $B_{2k}$ было бы написано как $(-1)^{k+1}B_{k}$, но это соглашение больше не актуально.) Это расширение действительно для $z$ в любом секторе, не содержащем отрицательную действительную ось с $|z|$ большой.

Связь с лог-гамма-интегралом

Параметрическую логарифмическую гамму можно оценить с помощью G-функции Барнса:

$\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)$

Доказательство несколько косвенное и включает сначала рассмотрение логарифмической разности гамма -функции и G-функции Барнса:

$z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)$

где

${\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)e^{-z/k}\right\}$

и $\,\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони .

Логарифмирование форм произведения Вейерштрасса G-функции Барнса и гамма-функции дает:

${\begin{aligned}&z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)=-z\log \left({\frac {1}{\Gamma (z)}}\right)-\log G(1+z)\\[5pt]={}&{-z}\left[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z}{k}}{\Bigg \}}\right]\\[5pt]&{}-\left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}k\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)+{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\right]\end{aligned}}$

Небольшое упрощение и изменение порядка терминов дает расширение ряда:

${\begin{aligned}&\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\\[5pt]={}&{-z}\log z-{\frac {z}{2}}\log 2\pi +{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-z\log \Gamma (z)+\log G(1+z)\end{aligned}}$

Наконец, возьмите логарифм произведения Вейерштрасса гамма -функции и проинтегрируйте его по интервалу $\,[0,\,z]$ чтобы получить:

${\begin{aligned}&\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx=-\int _{0}^{z}\log \left({\frac {1}{\Gamma (x)}}\right)\,dx\\[5pt]={}&{-(z\log z-z)}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\end{aligned}}$

Приравнивание двух оценок завершает доказательство:

$\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)$

И поскольку $\,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)$ затем,

$\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -(1-z)\log \Gamma (z)-\log G(z)\,.$

Ссылки

• Аски, РА; Рой, Р. (2010), «G-функция Барнса» , в Олвере, Фрэнке У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .