Множественная гамма-функция

Производные журнала гамма-функции см. в разделе «Полигамма-функция» .

График Барнса G, также известной как двойная гамма-функция G(z), в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

В математике множественная гамма-функция $\Gamma _{N}$ является обобщением гамма-функции Эйлера и G-функции Барнса . Двойную гамма-функцию изучал Барнс (1901) . В конце этой статьи он упомянул о существовании множества обобщающих ее гамма-функций и изучил их далее в Барнсе (1904) .

Двойные гамма-функции $\Gamma _{2}$ тесно связаны с q-гамма-функцией и тройными гамма-функциями $\Gamma _{3}$ связаны с эллиптической гамма-функцией .

Определение

Для $\Re a_{i}>0$, позволять

$\Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\exp \left(\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta _{N}(s,w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\right|_{s=0}\right)\ ,$

где $\zeta _{N}$ – это дзета-функция Барнса . (Это на константу отличается от первоначального определения Барнса.)

Характеристики

Рассматривается как мероморфная функция $w$, $\Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})$ не имеет нулей. Он имеет столбы в $w=-\sum _{i=1}^{N}n_{i}a_{i}$для неотрицательных целых чисел $n_{i}$. Эти полюса просты, если только некоторые из них не совпадают. С точностью до умножения на экспоненту многочлена $\Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})$ — единственная мероморфная функция конечного порядка с этими нулями и полюсами.

• $\Gamma _{0}(w\mid )={\frac {1}{w}}\ ,$
• $\Gamma _{1}(w\mid a)={\frac {a^{a^{-1}w-{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\Gamma \left(a^{-1}w\right)\ ,$
• $\Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\Gamma _{N-1}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N-1})\Gamma _{N}(w+a_{N}\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\ .$

В случае двойной гамма-функции асимптотическое поведение для $w\to \infty$ известно, и ведущим фактором является

$\Gamma _{2}(w|a_{1},a_{2})\ {\underset {w\to \infty }{\sim }}\ w^{\frac {w^{2}}{2a_{1}a_{2}}}\quad {\text{for}}\quad \left\{{\begin{array}{l}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\in \mathbb {C} \backslash (-\infty ,0]\ ,\\w\in \mathbb {C} \backslash \left(\mathbb {R} _{+}a_{1}+\mathbb {R} _{+}a_{2}\right)\ .\end{array}}\right.$

Бесконечное представление продукта

Множественная гамма-функция имеет представление бесконечного произведения, что свидетельствует о ее мероморфности, а также демонстрирует положение ее полюсов. В случае двойной гамма-функции это представление имеет вид

$\Gamma _{2}(w\mid a_{1},a_{2})={\frac {e^{\lambda _{1}w+\lambda _{2}w^{2}}}{w}}\prod _{\begin{array}{c}(n_{1},n_{2})\in \mathbb {N} ^{2}\\(n_{1},n_{2})\neq (0,0)\end{array}}{\frac {e^{{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {w^{2}}{(n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2})^{2}}}}}{1+{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}}}\ ,$

где мы определяем $w$-независимые коэффициенты

$\lambda _{1}=-{\underset {s=1}{\operatorname {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,$

$\lambda _{2}={\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\operatorname {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})+{\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\operatorname {Res} _{1}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,$

где ${\underset {s=s_{0}}{\operatorname {Res} _{n}}}f(s)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{s_{0}}(s-s_{0})^{n-1}f(s)\,ds$ это $n$остаток -го порядка при $s_{0}$.

Еще одно представление как продукта $\mathbb {N}$ приводит к алгоритму численного расчета двойной гамма-функции.

Сведение к G-функции Барнса

Двойная гамма-функция с параметрами $1,1$ подчиняется отношениям

$\Gamma _{2}(w+1|1,1)={\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma (w)}}\Gamma _{2}(w|1,1)\quad ,\quad \Gamma _{2}(1|1,1)={\sqrt {2\pi }}\ .$

Это связано с G-функцией Барнса соотношением

$\Gamma _{2}(w|\alpha ,\alpha )=(2\pi )^{\frac {w}{2\alpha }}\alpha ^{-{\frac {w^{2}}{2\alpha ^{2}}}+{\frac {w}{\alpha }}-1}G(w/\alpha )^{-1}\ .$

Двойная гамма-функция и конформная теория поля

Для $\Re b>0$ и $Q=b+b^{-1}$, функция

$\Gamma _{b}(w)={\frac {\Gamma _{2}(w\mid b,b^{-1})}{\Gamma _{2}\left({\frac {Q}{2}}\mid b,b^{-1}\right)}}\ ,$

инвариантен относительно $b\to b^{-1}$, и подчиняется соотношениям

$\Gamma _{b}(w+b)={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{bw-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (bw)}}\Gamma _{b}(w)\quad ,\quad \Gamma _{b}(w+b^{-1})={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{-b^{-1}w+{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (b^{-1}w)}}\Gamma _{b}(w)\ .$

Для $\Re w>0$, оно имеет интегральное представление

$\log \Gamma _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {e^{-wt}-e^{-{\frac {Q}{2}}t}}{(1-e^{-bt})(1-e^{-b^{-1}t})}}-{\frac {\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {{\frac {Q}{2}}-w}{t}}\right]\ .$

Из функции $\Gamma _{b}(w)$, мы определяем двойную функцию синуса $S_{b}(w)$ и функция Ипсилон $\Upsilon _{b}(w)$ к

$S_{b}(w)={\frac {\Gamma _{b}(w)}{\Gamma _{b}(Q-w)}}\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w)={\frac {1}{\Gamma _{b}(w)\Gamma _{b}(Q-w)}}\ .$

Эти функции подчиняются соотношениям

$S_{b}(w+b)=2\sin(\pi bw)S_{b}(w)\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w+b)={\frac {\Gamma (bw)}{\Gamma (1-bw)}}b^{1-2bw}\Upsilon _{b}(w)\ ,$

плюс отношения, которые получаются $b\to b^{-1}$. Для $0<\Re w<\Re Q$ они имеют целочисленные представления

$\log S_{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {\sinh \left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}-{\frac {Q-2w}{t}}\right]\ ,$

$\log \Upsilon _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}e^{-t}-{\frac {\sinh ^{2}{\frac {1}{2}}\left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}\right]\ .$

Функции $\Gamma _{b},S_{b}$ и $\Upsilon _{b}$ появляются в корреляционных функциях двумерной конформной теории поля с параметром $b$ будучи связанным с центральным зарядом основной алгебры Вирасоро . В частности, трехточечная функция теории Лиувилля записывается через функцию $\Upsilon _{b}$.

Дальнейшее чтение

• Барнс, Э.В. (1899), «Происхождение двойных гамма-функций» , Proc. Лондонская математика. Соц. , с1-31: 358–381, doi : 10.1112/plms/s1-31.1.358
• Барнс, EW (1899), «Теория двойной гамма-функции», Труды Лондонского королевского общества , 66 (424–433): 265–268, doi : 10.1098/rspl.1899.0101 , ISSN   0370-1662 , JSTOR   116064 , S2CID   186213903
• Барнс, Э.В. (1901), «Теория двойной гамма-функции», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического или физического характера , 196 (274–286): 265–387, Bibcode : 1901RSPTA.196..265B , doi : 10.1098/rsta.1901.0006 , ISSN   0264-3952 , JSTOR   90809
• Барнс, EW (1904), «К теории множественной гамма-функции», Trans. Кэмб. Филос. Соц. , 19 : 374–425
• Фридман, Эдуардо; Руйсенаарс, Саймон (2004), «Дзета- и гамма-функции Шинтани-Барнса», Advance in Mathematics , 187 (2): 362–395, doi : 10.1016/j.aim.2003.07.020 , ISSN   0001-8708 , MR   2078341
• Руйсенаарс, SNM (2000), «О множественных дзета- и гамма-функциях Барнса» , «Достижения в области математики» , 156 (1): 107–132, doi : 10.1006/aima.2000.1946 , ISSN   0001-8708 , MR   1800255