Дзета-функция Барнса

В математике дзета- функция Барнса является обобщением дзета-функции Римана, введенной Э. У. Барнсом ( 1901 ). Далее она обобщается дзета-функцией Шинтани .

Определение

Дзета-функция Барнса определяется формулой

$\zeta _{N}(s,w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\sum _{n_{1},\dots ,n_{N}\geq 0}{\frac {1}{(w+n_{1}a_{1}+\cdots +n_{N}a_{N})^{s}}}$

где w и a _j имеют положительную действительную часть, а имеет действительную часть, большую, чем N. s

Он имеет мероморфное продолжение для всех комплексов s , единственными особенностями которых являются простые полюса в точках s = 1, 2,... N. , Для N = w = a ₁ = 1 это дзета-функция Римана.

Ссылки

• Барнс, Э.В. (1899), «Теория двойной гамма-функции. [Аннотация]», Proceedings of the Royal Society of London , 66 , The Royal Society: 265–268, doi : 10.1098/rspl.1899.0101 , ISSN   0370- 1662 , JSTOR   116064 , S2CID   186213903
• Барнс, Э.В. (1901), «Теория двойной гамма-функции», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, Содержащие статьи математического или физического характера , 196 (274–286), Королевское общество: 265–387, Bibcode : 1901RSPTA.196..265B , doi : 10.1098/rsta.1901.0006 , ISSN   0264-3952 , JSTOR   90809
• Барнс, EW (1904), «К теории множественной гамма-функции», Trans. Кэмб. Филос. Соц. , 19 : 374–425
• Фридман, Эдуардо; Руйсенаарс, Саймон (2004), «Дзета- и гамма-функции Шинтани-Барнса», Advance in Mathematics , 187 (2): 362–395, doi : 10.1016/j.aim.2003.07.020 , ISSN   0001-8708 , MR   2078341
• Руйсенаарс, SNM (2000), «О множественных дзета- и гамма-функциях Барнса» , «Достижения в области математики» , 156 (1): 107–132, doi : 10.1006/aima.2000.1946 , ISSN   0001-8708 , MR   1800255