Дзета-функция Шинтани

В математике дзета -функция Шинтани или L-функция Шинтани является обобщением дзета-функции Римана . Впервые их изучил Такуро Синтани ( 1976 ). К ним относятся дзета-функции Гурвица и дзета-функции Барнса .

Определение

Позволять $P(\mathbf {x} )$ быть полиномом от переменных $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{r})$ с действительными коэффициентами такими, что $P(\mathbf {x} )$ является произведением линейных многочленов с положительными коэффициентами, т. е. $P(\mathbf {x} )=P_{1}(\mathbf {x} )P_{2}(\mathbf {x} )\cdots P_{k}(\mathbf {x} )$ , где $P_{i}(\mathbf {x} )=a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+\cdots +a_{ir}x_{r}+b_{i},$ где $a_{ij}>0$ , $b_{i}>0$ и $k=\deg P$ . Дзета- функция Шинтани в переменной $s$ задается (мероморфным продолжением) $\zeta (P;s)=\sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{\infty }{\frac {1}{P(\mathbf {x} )^{s}}}.$

Многовариантная версия

Определение дзета-функции Шинтани имеет прямое обобщение на дзета-функцию нескольких переменных. $(s_{1},\dots ,s_{k})$ данный $\sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{1}(\mathbf {x} )^{s_{1}}\cdots P_{k}(\mathbf {x} )^{s_{k}}}}.$ Особый случай, когда k = 1, представляет собой дзета-функцию Барнса .

Связь с дзета-функциями Виттена

Как и дзета-функции Шинтани, дзета-функции Виттена определяются полиномами, которые являются произведениями линейных форм с неотрицательными коэффициентами. Однако дзета-функции Виттена не являются особыми случаями дзета-функций Шинтани, поскольку в дзета-функциях Виттена линейным формам разрешено иметь некоторые коэффициенты, равные нулю. Например, полином $(x+1)(y+1)(x+y+2)/2$ определяет дзета-функцию Виттена $SU(3)$ но линейная форма $x+1$ имеет $y$ -коэффициент, равный нулю.

Ссылки

Хида, Харузо (1993), Элементарная теория L-функций и рядов Эйзенштейна , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 26, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-43411-9 , МР 1216135 , Збл 0942.11024
Синтани, Такуро (1976), «Об оценке дзета-функций полностью действительных полей алгебраических чисел в неположительных целых числах», Журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел ИА. Математика , 23 (2): 393–417, ISSN 0040-8980 , МР 0427231 , Збл 0349.12007

Эта математическому анализу, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .