Дзета-функция Виттена

В математике дзета- функция Виттена — это функция, связанная с корневой системой , которая кодирует степени неприводимых представлений соответствующей группы Ли . Эти дзета-функции были введены Доном Загером, который назвал их в честь исследования Эдвардом Виттеном их особых значений (среди прочего). Обратите внимание, что в Дзета-функции Виттена не являются самостоятельными явными объектами.

Определение

Если $G$ — компактная полупростая группа Ли, ассоциированная дзета-функция Виттена является (мероморфным продолжением) ряда

$\zeta _{G}(s)=\sum _{\rho }{\frac {1}{(\dim \rho )^{s}}},$

где сумма ведется по классам эквивалентности неприводимых представлений $G$.

В случае, когда $G$ связно и односвязно, соответствие между представлениями $G$ и ее алгебры Ли вместе с формулой размерности Вейля следует, что $\zeta _{G}(s)$ можно записать как

$\sum _{m_{1},\dots ,m_{r}>0}\prod _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\frac {1}{\langle \alpha ^{\lor },m_{1}\lambda _{1}+\cdots +m_{r}\lambda _{r}\rangle ^{s}}},$

где $\Phi ^{+}$ обозначает множество положительных корней, $\{\lambda _{i}\}$ представляет собой набор простых корней и $r$ это звание.

Примеры

• $\zeta _{SU(2)}(s)=\zeta (s)$, дзета-функция Римана.
• $\zeta _{SU(3)}(s)=\sum _{x=1}^{\infty }\sum _{y=1}^{\infty }{\frac {1}{(xy(x+y)/2)^{s}}}.$

Абсцисса конвергенции

Если $G$ прост и односвязен, абсцисса сходимости $\zeta _{G}(s)$ является $r/\kappa$, где $r$ это звание и $\kappa =|\Phi ^{+}|$. Это теорема Алекса Любоцкого и Майкла Ларсена. Новое доказательство дано Йокке Хяся и Александром Стасински. что дает более общий результат, а именно дает явное значение (с точки зрения простой комбинаторики) абсциссы сходимости любой «дзета-функции Меллина» вида

$\sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{\infty }{\frac {1}{P(x_{1},\dots ,x_{r})^{s}}},$

где $P(x_{1},\dots ,x_{r})$ является произведением линейных полиномов с неотрицательными действительными коэффициентами.

и значения дзета-функции Виттена, связанной с SU(

$\zeta _{SU(3)}$ абсолютно сходится в $\{s\in \mathbb {C} ,\Re (s)>2/3\}$, и его можно мероморфно продолжить в $\mathbb {C}$. Его особенности заключаются в ${\Bigl \{}{\frac {2}{3}}{\Bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\frac {1}{2}}-k,k\in \mathbb {N} {\Bigr \}},$ и все эти особенности являются простыми полюсами. В частности, значения $\zeta _{SU(3)}(s)$ хорошо определены для всех целых чисел и были вычислены Кадзухиро Онодерой.

В $s=0$, у нас есть $\zeta _{SU(3)}(0)={\frac {1}{3}},$ и $\zeta _{SU(3)}'(0)=\log(2^{4/3}\pi ).$

Позволять $a\in \mathbb {N} ^{*}$ быть положительным целым числом. У нас есть

$\zeta _{SU(3)}(a)={\frac {2^{a+2}}{1+(-1)^{a}2}}\sum _{k=0}^{[a/2]}{2a-2k-1 \choose a-1}\zeta (2k)\zeta (3a-k).$

Если а нечетно, то $\zeta _{SU(3)}$ имеет простой нуль в $s=-a,$ и

$\zeta _{SU(3)}'(-a)={\frac {2^{-a+1}(a!)^{2}}{(2a+1)!}}\zeta '(-3a-1)+2^{-a+2}\sum _{k=0}^{(a-1)/2}{a \choose 2k}\zeta (-a-2k)\zeta '(-2a+2k).$

Если а четное, то $\zeta _{SU(3)}$ имеет нулевой порядок $2$ в $s=-a,$ и

$\zeta _{SU(3)}''(-a)=2^{-a+2}\sum _{k=0}^{a/2}{a \choose 2k}\zeta '(-a-2k)\zeta '(-2a+2k).$