Предоднородное векторное пространство

В математике предоднородное векторное пространство (PVS) — это конечномерное векторное пространство V вместе с подгруппой G общей линейной группы GL( V ) такое, что имеет открытую плотную орбиту в V. G Термин предоднородное векторное пространство был введен Микио Сато в 1970 году. Эти пространства имеют множество приложений в геометрии , теории чисел и анализе , а также теории представлений . Неприводимые PVS были классифицированы сначала Винбергом в его диссертации 1960 года в частном случае, когда G проста, а затем Сато и Тацуо Кимурой в 1977 году в общем случае посредством преобразования, известного как «рокировка». Они подразделяются на два типа в зависимости от того, действует ли полупростая часть группы G предоднородно или нет. Если это не так, то существует однородный многочлен на V , который инвариантен относительно полупростой части G .

Настройка [ править ]

В установке Сато G — алгебраическая группа , а V — рациональное представление G , имеющее (непустую) открытую орбиту в топологии Зарисского . Однако PVS также можно изучать с точки зрения теории Ли: например, в Кнаппе (2002) G — комплексная группа Ли , а V — голоморфное представление G с открытой плотной орбитой. Оба подхода по сути одинаковы, и теория справедлива для действительных чисел. Для простоты обозначений мы предполагаем, что действие G на V является точным представлением . Тогда мы можем отождествить G с ее образом в GL( V ), хотя на практике иногда удобно позволить G быть накрывающей группой .

Хотя предоднородные векторные пространства не обязательно разлагаются в прямые суммы неприводимых, естественно изучать неприводимую ПВС (т. е. когда V является неприводимым представлением группы G ). В этом случае теорема Эли Картана показывает, что

G ≤ GL( V )

— редуктивная группа с центром не более чем одномерным . Это, вместе с очевидным ограничением на размерность

dim G ≥ dim V ,

является ключевым компонентом классификации Сато-Кимура.

Рокировка [ править ]

Классификация ПВС осложняется следующим фактом. Предположим, что m > n > 0 и V — m -мерное представление группы G над полем F. Тогда:

( G × SL( n ), V ⊗ F ^н) является ПВС тогда и только тогда, когда ( G × SL( m − n ), V ^* ⊗ Ф ^{м - п}) — это ПВС.

что оба условия эквивалентны существованию открытой плотной орбиты действия G на грассманиане Доказательство состоит в том , n -плоскостей в V , поскольку он изоморфен грассманиану -плоскостей ( m − n ) в V ^*.

(В случае, когда G редуктивна, пара ( G , V ) эквивалентна паре ( G , V ^*) автоморфизмом G .)

Такое преобразование ПВС называется рокировкой . Учитывая PVS V , новый PVS можно получить путем тензорирования V с помощью F и рокировки. Повторяя этот процесс и перегруппировывая тензорные произведения, можно получить множество новых примеров, которые называются «эквивалентными рокировке». Таким образом, PVS можно сгруппировать по классам рокировки. Сато и Кимура показывают, что в каждом таком классе существует по существу одна ФВС минимальной размерности, которую они называют «приведенной», и классифицируют приведенную неприводимую ФВС.

Классификация [ править ]

Классификация неприводимых приведенных ПВС ( G , V ) распадается на два случая: те, для которых G полупроста, и те, для которых она редуктивна с одномерным центром. Если G полупроста, она является (возможно, покрытием) подгруппой SL( V ), и, следовательно, G × GL(1) действует предоднородно на V с одномерным центром. Мы исключаем такие тривиальные расширения полупростых ФВС из ФВС с одномерным центром. Другими словами, в случае, когда G имеет одномерный центр, мы предполагаем, что полупростая часть не действует предоднородно; отсюда следует, что существует относительный инвариант , т. е. функция, инвариантная относительно полупростой части G , однородной некоторой степени d .

Это позволяет ограничить внимание полупростыми G ≤ SL( V ) и разбить классификацию следующим образом:

( G , V ) представляет собой ПВС;
( G , V ) не является PVS, но ( G × GL(1), V ) является.

Однако оказывается, что классификация становится намного короче, если разрешить не только продукты с GL(1), но и с SL( n ) и GL( n ). Это вполне естественно с точки зрения трансформации рокировки, обсуждавшейся ранее. Таким образом, мы хотим классифицировать неприводимую редуцированную PVS в терминах полупростых G ≤ SL( V ) и n ≥ 1 таких, что либо:

( G × SL( n ), V ⊗ F ^н) — ПВС;
( G × SL( n ), V ⊗ F ^н) не является ПВС, но ( G × GL( n ), V ⊗ F ^н) является.

В последнем случае существует однородный полином , который разделяет орбиты G × GL( n ) на орбиты G × SL( n ) .

Это имеет интерпретацию в терминах грассманиана Gr _n ( V ) n -плоскостей в V (по крайней мере, для n ≤ dim V ). В обоих случаях G действует на Grn ₍ V ) плотной открытой орбитой U. с В первом случае дополнение Gr _n ( V ) ∖ U имеет коразмерность ≥ 2; во втором случае это дивизор некоторой степени d , а относительный инвариант — однородный многочлен степени nd .

Далее список классификации будет представлен комплексными числами.

Общие примеры [ править ]

Г	V	Тип 1	Тип 2	Группа изотропии типа 2	Степень
G ⊆ SL( м , C )	С ^м	п ≥ м +1	п = м	Г	м
СЛ( м , С )	С ^м	м - 1 ≥ п ≥ 1 ^*
СЛ( м , С )	л ²С ^м	m нечетно, n = 1, 2	м четный, n = 1	Сп( м , С )	м /2
СЛ( м , С )	С ²С ^м		п = 1	ТАК( м , С )	м
ТАК( м , С )	С ^м		м - 1 ≥ п ≥ 1 ^*	ТАК( п , С ) × ТАК( м - п , С )	2
Sp(2 м , С )	С ^22м	2 м - 1 ≥ n ≥ 1 ^*, н нечетно	2 м - 1 ≥ n ≥ 1 ^, даже*	Sp( п , C ) × Sp (2 м - п , C )	1

^* Строго говоря, мы должны ограничиться n ≤ (dim V )/2, чтобы получить сокращенный пример.

Нестандартные примеры [ править ]

Тип 1

Спин(10, C ) на C ¹⁶

Тип 2

Sp(2 m , C ) × SO(3, C ) на C ^22м ⊗ С ³

Оба эти примера являются PVS только для n = 1 .

Остальные примеры [ править ]

Все остальные примеры относятся к типу 2. Чтобы избежать обсуждения появления конечных групп, в списках представлена алгебра Ли группы изотропии, а не сама группа изотропии.

Г	V	н	Алгебра изотропии	Степень
СЛ(2, С )	С ³С ²	1	0	4
СЛ(6, С )	л ³С ⁶	1	${\mathfrak {sl}}$ (3, С ) × ${\mathfrak {sl}}$ (3, С )	4
СЛ(7, С )	л ³С ⁷	1	${\mathfrak {g}}$ ^С ₂	7
СЛ(8, С )	л ³С ⁸	1	${\mathfrak {sl}}$ (3, С )	16
СЛ(3, С )	С ²С ³	2	0	6
СЛ(5, С )	л ²С ³	3, 4	${\mathfrak {sl}}$ (2, С ) , 0	5, 10
СЛ(6, С )	л ²С ³	2	${\mathfrak {sl}}$ (2, С ) × ${\mathfrak {sl}}$ (2, С ) × ${\mathfrak {sl}}$ (2, С )	6
СЛ(3, С ) × СЛ(3, С )	С ³ ⊗ С ³	2	${\mathfrak {gl}}$ (1, С ) × ${\mathfrak {gl}}$ (1, С )	6
Сп(6, С )	л ³ ₀ С ⁶	1	${\mathfrak {sl}}$ (3, С )	4
Спин(7, С )	С ⁸	1, 2, 3	${\mathfrak {g}}$ ^С ₂, ${\mathfrak {sl}}$ (3, С ) × ${\mathfrak {so}}$ (2, С ) , ${\mathfrak {sl}}$ (2, С ) × ${\mathfrak {so}}$ (3, С )	2, 2, 2
Спин(9, С )	С ¹⁶	1	${\mathfrak {spin}}$ (7, С )	2
Спин(10, С )	С ¹⁶	2, 3	${\mathfrak {g}}$ ^С ₂ × ${\mathfrak {sl}}$ (2, С ) , ${\mathfrak {sl}}$ (2, С ) × ${\mathfrak {so}}$ (3, С )	2, 4
Спин(11, С )	С ³²	1	${\mathfrak {sl}}$ (5, С )	4
Спин(12, С )	С ³²	1	${\mathfrak {sl}}$ (6, С )	4
Спин(14, С )	С ⁶⁴	1	${\mathfrak {g}}$ ^С ₂ × ${\mathfrak {g}}$ ^С ₂	8
Г ^С ₂	С ⁷	1, 2	${\mathfrak {sl}}$ (3, С ) , ${\mathfrak {gl}}$ (2, С )	2, 2
И ^С ₆	С ²⁷	1, 2	${\mathfrak {f}}$ ^С ₄, ${\mathfrak {so}}$ (8, С )	3, 6
И ^С ₇	С ⁵⁶	1	${\mathfrak {e}}$ ^С ₆	4

Здесь Λ ³
₀ С ⁶ ≅ С ¹⁴ обозначает пространство 3-форм, сжатие которых с данной симплектической формой равно нулю.

Доказательства [ править ]

Сато и Кимура устанавливают эту классификацию, создавая список возможных неприводимых предоднородных ( G , V ) , используя тот факт, что G является редуктивным, и размерное ограничение. Затем они проверяют, является ли каждый член этого списка неоднородным или нет.

Однако существует общее объяснение того, почему большинство пар ( G , V ) в классификации предоднородны, с точки зрения изотропных представлений обобщенных многообразий флагов . Действительно, в 1974 году Ричардсон заметил, что если H — полупростая группа Ли с параболической подгруппой P , то действие P на нильрадикал ${\mathfrak {p}}$ ^⊥ своей алгебры Ли имеет плотную открытую орбиту. Это, в частности, показывает (и было независимо отмечено Винбергом в 1975 году), что фактор Леви G группы P действует предоднородно на V := ${\mathfrak {p}}$ ^⊥/[ ${\mathfrak {p}}$ ^⊥, ${\mathfrak {p}}$ ^⊥] . Почти все примеры классификации можно получить, применив эту конструкцию с P — максимальной параболической подгруппой простой группы Ли H : они классифицируются связными диаграммами Дынкина с одним выделенным узлом.

Приложения [ править ]

Одна из причин интереса PVS заключается в том, что они классифицируют родовые объекты, возникающие в G -инвариантных ситуациях. Например, если G = GL(7) , то приведенные выше таблицы показывают, что существуют общие 3-формы под действием G , и стабилизатор такой 3-формы изоморфен исключительной группе Ли G ₂ .

Другой пример касается предоднородных векторных пространств с кубическим относительным инвариантом. По классификации Сато-Кимуры таких примеров по существу четыре, и все они происходят из комплексифицированных изотропных представлений эрмитовых симметричных пространств для большей группы H (т. е. G — полупростая часть стабилизатора точки, а V — соответствующее касательное представление).

В каждом случае общая точка в V отождествляет ее с комплексификацией йордановой алгебры эрмитовых матриц размера 3 × 3 (над телами R , C , H и O соответственно), а кубический относительный инвариант отождествляется с подходящим определителем. Алгебра изотропии такой точки общего положения, алгебра Ли группы G и алгебра Ли группы H дают комплексификации первых трех строк магического квадрата Фрейденталя .

ЧАС	Г	V	Алгебра изотропии	Джордан Алгебра
Сп(6, С )	СЛ(3, С )	С ²С ³	${\mathfrak {so}}$ (3, С )	Дж ₃ ( Р )
СЛ(6, С )	СЛ(3, С ) × СЛ(3, С )	С ³ ⊗ С ³	${\mathfrak {sl}}$ (3, С )	Дж ₃ ( С )
ТАК(12, С )	СЛ(6, С )	л ²С ⁶	${\mathfrak {sp}}$ (6, С )	Дж ₃ ( Ч )
И ^С ₇	И ^С ₆	С ²⁷	${\mathfrak {f}}$ ^С ₄	Дж ₃ ( О )

Другие эрмитовые симметрические пространства дают предоднородные векторные пространства, точки общего положения которых аналогичным образом определяют йордановые алгебры.

ЧАС	Г	V	Алгебра изотропии	Джордан Алгебра
Sp(2 n , C )	СЛ( п , С )	С ²С ^н	${\mathfrak {so}}$ ( п , С )	Дж _н ( р )
СЛ(2 н , С )	СЛ( п , С ) × СЛ ( п , С )	С ^н ⊗ С ^н	${\mathfrak {sl}}$ ( п , С )	Дж _н ( С )
ТАК(4 н , С )	СЛ(2 н , С )	л ²С ^22н	${\mathfrak {sp}}$ ( 2н , С )	Дж _н ( Ч )
ТАК( м + 2, С )	ТАК( м , С )	С ^м	${\mathfrak {so}}$ ( м - 1, С )	Дж ( м - 1)

Йордановая алгебра J ( m − 1) в последней строке представляет собой спин-фактор (который представляет собой векторное пространство R ^{м −1} ⊕ R со структурой йордановой алгебры, определенной с использованием скалярного произведения на R ^{м −1}). Оно сводится к J ₂ ( R ), J ₂ ( C ), J ₂ ( H ), J ₂ ( O ) для m = 3 , 4, 6 и 10 соответственно.

Связь между эрмитовыми симметрическими пространствами и йордановыми алгебрами можно объяснить с помощью систем йордановых троек .

Ссылки [ править ]

Кимура, Тацуо (2003), Введение в предоднородные векторные пространства , Переводы математических монографий, том. 215, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-2767-3 , г-н : 1944442
Кнапп, Энтони (2002), Группы Ли за пределами введения , Progress in Mathematics, vol. 140 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-4259-5 , MR 1920389 См. главу X.
Сато, Микио; Кимура, Тацуо (1977), «Классификация неприводимых предоднородных векторных пространств и их относительных инвариантов» , Nagoya Mathematical Journal , 65 : 1–155, doi : 10.1017/s0027763000017633 , MR 0430336
Ричардсон, Роджер Уолкотт-младший (1974), «Классы сопряженности в параболических подгруппах полупростых алгебраических групп», Bull. Лондонская математика. Соц. , 6 : 21–24, doi : 10.1112/blms/6.1.21 , МР 0330311
Сато, Микио (1990), «Теория предоднородных векторных пространств (алгебраическая часть) — английский перевод лекции Сато из заметки Шинтани» , Nagoya Mathematical Journal , 120 : 1–34, doi : 10.1017/S0027763000003214 , ISSN 0027-7630 , МР 1086566
Сато, Микио; Синтани, Такуро (1972), «О дзета-функциях, связанных с предоднородными векторными пространствами», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 69 (5): 1081–1082, Bibcode : 1972PNAS...69.1081S , doi : 10.1073/pnas.69.5.1081 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 61638 , MR 0296079 , PMC 426633 , PMID 16591979
Сато, Микио; Синтани, Такуро (1974), «О дзета-функциях, связанных с предоднородными векторными пространствами», Annals of Mathematics , Second Series, 100 (1): 131–170, doi : 10.2307/1970844 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970844 , MR 0344230
Винберг, Эрнест (1960), «Инвариантные линейные связности в однородном пространстве», Труды Московский. Мат. Общ. , 9 : 191–210, МР 0176418
Винберг, Эрнест (1975), "Классификация нильпотентных элементов градуированных алгебр Ли", Сов. матем. Докл. , 16 (6): 1517–1520, МР 0506488