Предоднородное векторное пространство
В математике предоднородное векторное пространство (PVS) — это конечномерное векторное пространство V вместе с подгруппой G общей линейной группы GL( V ) такое, что имеет открытую плотную орбиту в V. G Термин предоднородное векторное пространство был введен Микио Сато в 1970 году. Эти пространства имеют множество приложений в геометрии , теории чисел и анализе , а также теории представлений . Неприводимые PVS были классифицированы сначала Винбергом в его диссертации 1960 года в частном случае, когда G проста, а затем Сато и Тацуо Кимурой в 1977 году в общем случае посредством преобразования, известного как «рокировка». Они подразделяются на два типа в зависимости от того, действует ли полупростая часть группы G предоднородно или нет. Если это не так, то существует однородный многочлен на V , который инвариантен относительно полупростой части G .
Настройка [ править ]
В установке Сато G — алгебраическая группа , а V — рациональное представление G , имеющее (непустую) открытую орбиту в топологии Зарисского . Однако PVS также можно изучать с точки зрения теории Ли: например, в Кнаппе (2002) G — комплексная группа Ли , а V — голоморфное представление G с открытой плотной орбитой. Оба подхода по сути одинаковы, и теория справедлива для действительных чисел. Для простоты обозначений мы предполагаем, что действие G на V является точным представлением . Тогда мы можем отождествить G с ее образом в GL( V ), хотя на практике иногда удобно позволить G быть накрывающей группой .
Хотя предоднородные векторные пространства не обязательно разлагаются в прямые суммы неприводимых, естественно изучать неприводимую PVS (т. е. когда V является неприводимым представлением G ). В этом случае теорема Эли Картана показывает, что
- G ≤ GL( V )
— редуктивная группа с центром не более чем одномерным . Это, вместе с очевидным ограничением на размерность
- dim G ≥ dim V ,
является ключевым компонентом классификации Сато-Кимура.
Рокировка [ править ]
Классификация ПВС осложняется следующим фактом. Предположим, что m > n > 0 и V — m -мерное представление группы G над полем F. Тогда:
- ( G × SL( n ), V ⊗ F н ) является ПВС тогда и только тогда, когда ( G × SL( m − n ), V * ⊗ Ф м - п ) — это ПВС.
что оба условия эквивалентны существованию открытой плотной орбиты действия G на грассманиане Доказательство состоит в том , n -плоскостей в V поскольку он изоморфен грассманиану ( m − , n ) -плоскостей в V * .
(В случае, когда G редуктивна, пара ( G , V ) эквивалентна паре ( G , V * ) автоморфизмом G .)
Такое преобразование ПВС называется рокировкой . Учитывая PVS V , новый PVS можно получить путем тензорирования V с помощью F и рокировки. Повторяя этот процесс и перегруппируя тензорные произведения, можно получить множество новых примеров, которые называются «эквивалентными рокировке». Таким образом, PVS можно сгруппировать по классам рокировки. Сато и Кимура показывают, что в каждом таком классе существует по существу одна ФВС минимальной размерности, которую они называют «приведенной», и классифицируют приведенную неприводимую ФВС.
Классификация [ править ]
Классификация неприводимых приведенных ПВС ( G , V ) распадается на два случая: те, для которых G полупроста, и те, для которых она редуктивна с одномерным центром. Если G полупроста, она является (возможно, покрытием) подгруппой SL( V ), и, следовательно, G × GL(1) действует предоднородно на V с одномерным центром. Мы исключаем такие тривиальные расширения полупростых ФВС из ФВС с одномерным центром. Другими словами, в случае, когда G имеет одномерный центр, мы предполагаем, что полупростая часть не действует предоднородно; отсюда следует, что существует относительный инвариант , т. е. функция, инвариантная относительно полупростой части G , однородной некоторой степени d .
Это позволяет ограничить внимание полупростыми G ≤ SL( V ) и разбить классификацию следующим образом:
- ( G , V ) представляет собой ПВС;
- ( G , V ) не является PVS, но ( G × GL(1), V ) является.
Однако оказывается, что классификация становится намного короче, если допускать не только продукты с GL(1), но и с SL( n ) и GL( n ). Это вполне естественно с точки зрения трансформации рокировки, обсуждавшейся ранее. Таким образом, мы хотим классифицировать неприводимую редуцированную PVS в терминах полупростых G ≤ SL( V ) и n ≥ 1 таких, что либо:
- ( G × SL( n ), V ⊗ F н ) — ПВС;
- ( G × SL( n ), V ⊗ F н ) не является ПВС, но ( G × GL( n ), V ⊗ F н ) является.
В последнем случае существует однородный полином , который разделяет орбиты G × GL( n ) на G × SL( n ) орбиты .
Это имеет интерпретацию в терминах грассманиана Gr n ( V ) n -плоскостей в V (по крайней мере, для n ≤ dim V ). В обоих случаях G действует на Grn ( V ) с плотной открытой U. орбитой В первом случае дополнение Gr n ( V ) ∖ U имеет коразмерность ≥ 2; во втором случае это дивизор некоторой степени d , а относительный инвариант — однородный многочлен степени nd .
Далее список классификации будет представлен комплексными числами.
Общие примеры [ править ]
г | V | Тип 1 | Тип 2 | Группа изотропии типа 2 | Степень |
---|---|---|---|---|---|
G ⊆ SL( м , C ) | С м | п ≥ м +1 | п = м | г | м |
СЛ( м , С ) | С м | м - 1 ≥ п ≥ 1 * | |||
СЛ( м , С ) | л 2 С м | m нечетно, n = 1, 2 | м четный, n = 1 | Сп( м , С ) | м /2 |
СЛ( м , С ) | С 2 С м | п = 1 | ТАК( м , С ) | м | |
ТАК( м , С ) | С м | м - 1 ≥ п ≥ 1 * | ТАК( п , С ) × ТАК( м - п , С ) | 2 | |
Sp(2 м , С ) | С 22м | 2 м - 1 ≥ n ≥ 1 * , н нечетно | 2 м - 1 ≥ n ≥ 1 * , даже | Sp( п , C ) × Sp (2 м - п , C ) | 1 |
* Строго говоря, мы должны ограничиться n ≤ (dim V )/2, чтобы получить сокращенный пример.
Нестандартные примеры [ править ]
Тип 1
- Спин(10, C ) на C 16
Тип 2
- Sp(2 m , C ) × SO(3, C ) на C 22м ⊗ С 3
Оба эти примера являются PVS только для n = 1 .
Остальные примеры [ править ]
Все остальные примеры относятся к типу 2. Чтобы избежать обсуждения появления конечных групп, в списках представлена алгебра Ли группы изотропии, а не сама группа изотропии.
г | V | н | Алгебра изотропии | Степень |
---|---|---|---|---|
СЛ(2, С ) | С 3 С 2 | 1 | 0 | 4 |
СЛ(6, С ) | л 3 С 6 | 1 | (3, С ) × (3, С ) | 4 |
СЛ(7, С ) | л 3 С 7 | 1 | С 2 |
7 |
СЛ(8, С ) | л 3 С 8 | 1 | (3, С ) | 16 |
СЛ(3, С ) | С 2 С 3 | 2 | 0 | 6 |
СЛ(5, С ) | л 2 С 3 | 3, 4 | (2, С ) , 0 | 5, 10 |
СЛ(6, С ) | л 2 С 3 | 2 | (2, С ) × (2, С ) × (2, С ) | 6 |
СЛ(3, С ) × СЛ(3, С ) | С 3 ⊗ С 3 | 2 | (1, С ) × (1, С ) | 6 |
Сп(6, С ) | л 3 0 С 6 |
1 | (3, С ) | 4 |
Спин(7, С ) | С 8 | 1, 2, 3 | С 2 , (3, С ) × (2, С ) , (2, С ) × (3, С ) |
2, 2, 2 |
Спин(9, С ) | С 16 | 1 | (7, С ) | 2 |
Спин(10, С ) | С 16 | 2, 3 | С 2 × (2, С ) , (2, С ) × (3, С ) |
2, 4 |
Спин(11, С ) | С 32 | 1 | (5, С ) | 4 |
Спин(12, С ) | С 32 | 1 | (6, С ) | 4 |
Спин(14, С ) | С 64 | 1 | С 2 × С 2 |
8 |
г С 2 |
С 7 | 1, 2 | (3, С ) , (2, С ) | 2, 2 |
И С 6 |
С 27 | 1, 2 | С 4 , (8, С ) |
3, 6 |
И С 7 |
С 56 | 1 | С 6 |
4 |
Здесь Λ 3
0 С 6 ≅ С 14 обозначает пространство 3-форм, сжатие которых с данной симплектической формой равно нулю.
Доказательства [ править ]
Сато и Кимура устанавливают эту классификацию, создавая список возможных неприводимых предоднородных ( G , V ) , используя тот факт, что G является редуктивным, и размерное ограничение. Затем они проверяют, является ли каждый член этого списка неоднородным или нет.
Однако существует общее объяснение того, почему большинство пар ( G , V ) в классификации предоднородны, с точки зрения изотропных представлений обобщенных многообразий флагов . Действительно, в 1974 году Ричардсон заметил, что если H — полупростая группа Ли с параболической подгруппой P , то действие P на нильрадикал ⊥ своей алгебры Ли имеет плотную открытую орбиту. Это, в частности, показывает (и было независимо отмечено Винбергом в 1975 году), что фактор Леви G группы P действует предоднородно на V := ⊥ /[ ⊥ , ⊥ ] . Почти все примеры классификации можно получить, применив эту конструкцию с P — максимальной параболической подгруппой простой группы Ли H : они классифицируются связными диаграммами Дынкина с одним выделенным узлом.
Приложения [ править ]
Одна из причин интереса PVS заключается в том, что они классифицируют родовые объекты, возникающие в G -инвариантных ситуациях. Например, если G = GL(7) , то приведенные выше таблицы показывают, что существуют общие 3-формы под действием G , и стабилизатор такой 3-формы изоморфен исключительной группе Ли G 2 .
Другой пример касается предоднородных векторных пространств с кубическим относительным инвариантом. По классификации Сато-Кимуры таких примеров по существу четыре, и все они происходят из комплексифицированных изотропных представлений эрмитовых симметричных пространств для большей группы H (т. е. G — полупростая часть стабилизатора точки, а V — соответствующее касательное представление).
В каждом случае общая точка в V отождествляет ее с комплексификацией йордановой алгебры размера 3 × 3 эрмитовых матриц (над телами R , C , H и O соответственно), а кубический относительный инвариант отождествляется с подходящим определителем. Алгебра изотропии такой точки общего положения, алгебра Ли группы G и алгебра Ли группы H дают комплексификации первых трех строк магического квадрата Фрейденталя .
ЧАС | г | V | Алгебра изотропии | Джордан Алгебра |
---|---|---|---|---|
Сп(6, С ) | СЛ(3, С ) | С 2 С 3 | (3, С ) | Дж 3 ( Р ) |
СЛ(6, С ) | СЛ(3, С ) × СЛ(3, С ) | С 3 ⊗ С 3 | (3, С ) | Дж 3 ( С ) |
ТАК(12, С ) | СЛ(6, С ) | л 2 С 6 | (6, С ) | Дж 3 ( Ч ) |
И С 7 |
И С 6 |
С 27 | С 4 |
Дж 3 ( О ) |
Другие эрмитовые симметрические пространства дают предоднородные векторные пространства, точки общего положения которых аналогичным образом определяют йордановые алгебры.
ЧАС | г | V | Алгебра изотропии | Джордан Алгебра |
---|---|---|---|---|
Sp(2 n , C ) | СЛ( п , С ) | С 2 С н | ( п , С ) | Дж н ( р ) |
СЛ(2 н , С ) | СЛ( п , С ) × СЛ ( п , С ) | С н ⊗ С н | ( п , С ) | Дж н ( С ) |
ТАК(4 н , С ) | СЛ(2 н , С ) | л 2 С 22н | ( 2н , С ) | Дж н ( Ч ) |
ТАК( м + 2, С ) | ТАК( м , С ) | С м | ( м - 1, С ) | Дж ( м - 1) |
Йордановая алгебра J ( m − 1) в последней строке представляет собой спин-фактор (который представляет собой векторное пространство R м −1 ⊕ R со структурой йордановой алгебры, определенной с помощью скалярного произведения на R м −1 ). Оно сводится к J 2 ( R ), J 2 ( C ), J 2 ( H ), J 2 ( O ) для m = 3 , 4, 6 и 10 соответственно.
Связь между эрмитовыми симметрическими пространствами и йордановыми алгебрами можно объяснить с помощью йордановых систем троек .
Ссылки [ править ]
- Кимура, Тацуо (2003), Введение в предоднородные векторные пространства , Переводы математических монографий, том. 215, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-2767-3 , г-н: 1944442
- Кнапп, Энтони (2002), Группы Ли за пределами введения , Progress in Mathematics, vol. 140 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-4259-5 , MR 1920389 См. главу X.
- Сато, Микио; Кимура, Тацуо (1977), «Классификация неприводимых предоднородных векторных пространств и их относительных инвариантов» , Nagoya Mathematical Journal , 65 : 1–155, doi : 10.1017/s0027763000017633 , MR 0430336
- Ричардсон, Роджер Уолкотт-младший (1974), «Классы сопряженности в параболических подгруппах полупростых алгебраических групп», Bull. Лондонская математика. Соц. , 6 : 21–24, doi : 10.1112/blms/6.1.21 , МР 0330311
- Сато, Микио (1990), «Теория предоднородных векторных пространств (алгебраическая часть) — английский перевод лекции Сато из заметки Шинтани» , Nagoya Mathematical Journal , 120 : 1–34, doi : 10.1017/S0027763000003214 , ISSN 0027-7630 , МР 1086566
- Сато, Микио; Синтани, Такуро (1972), «О дзета-функциях, связанных с предоднородными векторными пространствами», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 69 (5): 1081–1082, Bibcode : 1972PNAS...69.1081S , doi : 10.1073/pnas.69.5.1081 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 61638 , MR 0296079 , PMC 426633 , PMID 16591979
- Сато, Микио; Синтани, Такуро (1974), «О дзета-функциях, связанных с предоднородными векторными пространствами», Annals of Mathematics , Second Series, 100 (1): 131–170, doi : 10.2307/1970844 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970844 , MR 0344230
- Винберг, Эрнест (1960), «Инвариантные линейные связности в однородном пространстве», Труды Московский. Мат. Общ. , 9 : 191–210, МР 0176418
- Винберг, Эрнест (1975), "Классификация нильпотентных элементов градуированных алгебр Ли", Сов. матем. Докл. , 16 (6): 1517–1520, МР 0506488