Разложение Леви
| Поле | Теория представлений |
|---|---|
| Предполагается | Вильгельм Киллинг Эли Картан |
| Предполагается в | 1888 |
| Первое доказательство | Юджин Элиас Леви |
| Первое доказательство в | 1905 |
В теории Ли и теории представлений , разложение Леви предложенное Вильгельмом Киллингом [ 1 ] и Эли Картан [ 2 ] и доказанный Эудженио Элиа Леви ( 1905 ), утверждает, что любое конечномерное действительное [ нужны разъяснения ] {Заменить вещественную алгебру Ли на алгебру Ли над полем характеристики 0} Алгебра Ли g является полупрямым произведением разрешимого идеала и полупростой подалгебры. Один из них — ее радикал , максимальный разрешимый идеал, а другой — полупростая подалгебра, называемая подалгеброй Леви . Из разложения Леви следует, что любая конечномерная алгебра Ли является полупрямым произведением разрешимой алгебры Ли и полупростой алгебры Ли.
Если рассматривать эту полупростую алгебру Ли как фактор-алгебру g , ее также называют Леви фактором g . В определенной степени декомпозиция может быть использована для сведения задач о конечномерных алгебрах Ли и группах Ли к разделению задач об алгебрах Ли этих двух специальных классов, разрешимых и полупростых.
Более того, Мальцев (1942) показал, что любые две подалгебры Леви сопряжены (внутренним) автоморфизмом вида
где z находится в нильрадикале ( теорема Леви–Мальцева ).
Аналогичный результат справедлив для ассоциативных алгебр и называется основной теоремой Веддерберна .
Расширения результатов
[ редактировать ]В теории представлений разложение Леви параболических подгрупп редуктивной группы необходимо для построения большого семейства так называемых параболически индуцированных представлений. представляет Разложение Ленглендса собой небольшое уточнение разложения Леви для параболических подгрупп, используемого в этом контексте.
Аналогичные утверждения справедливы для односвязных групп Ли и, как показал Джордж Мостоу , для алгебраических алгебр Ли и односвязных алгебраических групп над полем нулевой характеристики .
Для большинства бесконечномерных алгебр Ли аналога разложения Леви не существует; например, аффинные алгебры Ли имеют радикал, состоящий из их центра, но не могут быть записаны как полупрямое произведение центра и другой алгебры Ли. Разложение Леви неверно и для конечномерных алгебр над полями положительной характеристики.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Киллинг, В. (1888). «Композиция непрерывных конечных групп преобразований» . Математические летописи . 31 (2): 252–290. дои : 10.1007/BF01211904 .
- ^ Картан, Эли (1894), О строении конечных и непрерывных групп преобразований , Диссертация, Нони
Библиография
[ редактировать ]- Джейкобсон, Натан (1979). Алгебры Ли . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0486638324 . OCLC 6499793 .
- Леви, Эухенио Элиа (1905), «О строении конечных и непрерывных групп» , Труды Королевской академии наук Турина. (на итальянском языке), XL : 551–565, JFM 36.0217.02 , заархивировано из оригинала 5 марта 2009 г. Перепечатано в: Opere Vol. 1, Edizione Cremonese, Rome (1959), p. 101.
- Мальцев Анатолий Иванович (1942), "О представлении алгебры в виде прямой суммы радикала и полупростой подалгебры", ЧР (Доклады) акад. наук. УРСС , Новая серия, 36 :42–45, МР 0007397 , Збл 0060.08004 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- А. И. Штерн (2001) [1994], «Разложение Леви-Мальцева» , Энциклопедия Математики , EMS Press