Радикал алгебры Ли

В математической области Ли радикал алгебры Ли теории ${\mathfrak {g}}$ наибольшим разрешимым идеалом является ${\mathfrak {g}}.$

Радикал, обозначаемый ${\rm {rad}}({\mathfrak {g}})$, вписывается в точную последовательность

$0\to {\rm {rad}}({\mathfrak {g}})\to {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})\to 0$.

где ${\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})$ является полупростым . Когда поле земли имеет нулевую характеристику и ${\mathfrak {g}}$ имеет конечную размерность, теорема Леви утверждает, что эта точная последовательность расщепляется; т. е. существует (обязательно полупростая) подалгебра в ${\mathfrak {g}}$ изоморфное полупростому фактору ${\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})$ через ограничение фактор-отображения ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}}).$

Аналогичным понятием является борелевская подалгебра , которая является (не обязательно единственной) максимальной разрешимой подалгеброй.

Определение

Позволять $k$ будь полем и пусть ${\mathfrak {g}}$ — конечномерная алгебра Ли над $k$. Существует единственный максимальный разрешимый идеал, называемый радикалом , по следующей причине.

Во-первых, пусть ${\mathfrak {a}}$ и ${\mathfrak {b}}$ два разрешимых идеала ${\mathfrak {g}}$. Затем ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$ снова является идеалом ${\mathfrak {g}}$ поскольку является расширением , и оно разрешимо , $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}\simeq {\mathfrak {b}}/({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})$ к ${\mathfrak {a}}$. Теперь рассмотрим сумму всех разрешимых идеалов ${\mathfrak {g}}$. Оно непусто, поскольку $\{0\}$ является разрешимым идеалом, и это разрешимый идеал в силу только что полученного свойства суммы. Очевидно, это единственный максимальный разрешимый идеал.

Связанные понятия

• Алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда ее радикал равен $0$.
• Алгебра Ли редуктивна тогда и только тогда, когда ее радикал равен ее центру.

См. также

• Разложение Леви