Теория лжи

В математике математик уравнений Софус Ли ( / l iː / LEE ) положил начало направлениям исследований, включающим интегрирование , групп преобразований и контакт сфер дифференциальных , которые стали называть теорией Ли . Например, последний предмет — геометрия сферы Ли . В этой статье рассматривается его подход к группам преобразований, который является одной из областей математики и был разработан Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном .

Основой теории Ли является экспоненциальное отображение, связывающее алгебры Ли с группами Ли , которое называется соответствием группа Ли – алгебра Ли . Этот предмет является частью дифференциальной геометрии , поскольку группы Ли являются дифференцируемыми многообразиями . Группы Ли развиваются из тождества (1), а касательные векторы к однопараметрическим подгруппам порождают алгебру Ли. Структура группы Ли неявно заложена в ее алгебре, а структура алгебры Ли выражается корневыми системами и корневыми данными .

Теория Ли оказалась особенно полезной в математической физике , поскольку она описывает стандартные группы преобразований: группу Галилея , группу Лоренца , группу Пуанкаре и конформную группу пространства-времени .

Элементарная теория лжи

Однопараметрические группы являются первым примером теории Ли. Компактный . случай возникает благодаря Эйлера в комплексной плоскости формуле Другие однопараметрические группы встречаются в плоскости расщепленных комплексных чисел в виде единичной гиперболы.

$\lbrace \exp(jt)=\cosh(t)+j\sinh(t):t\in R\rbrace ,\quad j^{2}=+1$

и в плоскости двойственных чисел как линия $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace \quad \varepsilon ^{2}=0.$В этих случаях параметры алгебры Ли имеют имена: угол , гиперболический угол и наклон . Эти виды углов полезны для обеспечения полярных разложений , которые описывают подалгебры действительных матриц 2 x 2.

Существует классическая 3-параметрическая группа Ли и пара алгебр: кватернионы единичной длины , которые можно отождествить с 3-сферой . Его алгебра Ли представляет собой подпространство векторов кватернионов . Поскольку коммутатор ij − ji = 2k, скобка Ли в этой алгебре вдвое больше векторного произведения обычного векторного анализа .

Другой элементарный трехпараметрический пример дается группой Гейзенберга и ее алгеброй Ли.Стандартное рассмотрение теории Ли часто начинается с классических групп .

История и масштабы

Ранние выражения теории Ли можно найти в книгах, написанных Софусом Ли совместно с Фридрихом Энгелем и Георгом Шефферсом с 1888 по 1896 год.

В ранних работах Ли идея заключалась в том, чтобы построить теорию непрерывных групп , чтобы дополнить теорию дискретных групп , которая была разработана в теории модулярных форм в руках Феликса Кляйна и Анри Пуанкаре . Первоначальное применение Ли имел в виду теорию дифференциальных уравнений . В модели теории Галуа и полиномиальных уравнений основной концепцией была теория, способная путем изучения симметрии объединить всю область обыкновенных дифференциальных уравнений .

По словам историка Томаса Хокинса, именно Эли Картан сделал теорию лжи такой, какая она есть:

Хотя у Ли было много плодотворных идей, Картан был главным ответственным за расширение и применение своей теории, которые сделали ее основным компонентом современной математики. Именно он, с некоторой помощью Вейля , развил основополагающие, по существу алгебраические идеи Киллинга в теорию структуры и представления полупростых алгебр Ли , играющую столь фундаментальную роль в современной теории Ли. И хотя Ли предполагал приложения своей теории к геометрии, именно Картан фактически создал их, например, посредством своих теорий симметричных и обобщенных пространств, включая весь сопутствующий аппарат ( подвижные системы отсчета , внешние дифференциальные формы и т. д.)

Три теоремы Ли

В своей работе о группах преобразований Софус Ли доказал три теоремы, касающиеся групп и алгебр, носящих его имя. Первая теорема показала основу алгебры через бесконечно малые преобразования . Вторая теорема показала, что структурные константы алгебры являются результатом коммутаторных произведений в алгебре. Третья теорема показала, что эти константы антисимметричны и удовлетворяют тождеству Якоби . Как писал Роберт Гилмор:

Три теоремы Ли обеспечивают механизм построения алгебры Ли, связанной с любой группой Ли. Они также характеризуют свойства алгебры Ли. ¶ Обратные три теоремы Ли делают противоположное: они предоставляют механизм связывания группы Ли с любой конечномерной алгеброй Ли ... Теорема Тейлора позволяет построить каноническую аналитическую структурную функцию φ(β,α) из Лиевой алгебра. ¶ Эти семь теорем – три теоремы Ли и их обратные, а также теорема Тейлора – обеспечивают существенную эквивалентность между группами Ли и алгебрами.

Аспекты теории лжи

Теория Ли часто строится на изучении классических линейных алгебраических групп . К специальным ветвям относятся группы Вейля , группы Коксетера и здания . Классическая тема была расширена на группы лиева типа .

В 1900 году Давид Гильберт бросил вызов теоретикам Ли своей пятой проблемой, представленной на Международном конгрессе математиков в Париже.

См. также

• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Список тем групп лжи
• Интегратор группы Ли

Примечания и ссылки

• Джон А. Коулман (1989) «Величайшая математическая статья всех времен», The Mathematical Intelligencer 11 (3): 29–38.

Дальнейшее чтение

• М. Акивис и Б. А. Розенфельд (1993) Эли Картан (1869–1951) , перевод с русского оригинала В. В. Гольдберга, глава 2: Группы Ли и алгебры Ли, Американское математическое общество. ISBN   0-8218-4587-X .
• П.М. Кон (1957) Группы Ли , Кембриджские трактаты по математической физике.
  • Ниженхейс, Альберт (1959). «Обзор: группы лжи П.М. Кона» . Бюллетень Американского математического общества . 65 (6): 338–341. дои : 10.1090/s0002-9904-1959-10358-x .
• Дж. Л. Кулидж (1940) История геометрических методов , стр. 304–17, Oxford University Press (Dover Publications, 2003).
• Роберт Гилмор (2008) Группы Ли, физика и геометрия: введение для физиков, инженеров и химиков , Cambridge University Press ISBN   9780521884006 .
• Ф. Риз Харви (1990) Спиноры и калибровки , Academic Press, ISBN   0-12-329650-1 .
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666 .
• Хокинс, Томас (2000). Возникновение теории групп Ли: очерк истории математики, 1869–1926 гг . Спрингер. ISBN  0-387-98963-3 .
• Саттингер, Дэвид Х.; Уивер, OL (1986). Группы и алгебры Ли с приложениями к физике, геометрии и механике . Спрингер-Верлаг. ISBN  3-540-96240-9 .
• Стиллвелл, Джон (2008). Теория наивной лжи . Спрингер. ISBN  978-0-387-98289-2 .
• Heldermann Verlag Журнал теории лжи