Алгебра Ли

«Кробка лжи» перенаправляется сюда. Для работы с векторными полями см. Скобку Ли векторных полей .

В математике алгебра Ли (произносится / l iː / LEE ) — это векторное пространство. ${\mathfrak {g}}$ вместе с операцией, называемой скобкой Ли , попеременное билинейное отображение ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, что удовлетворяет тождеству Якоби . Другими словами, алгебра Ли — это алгебра над полем, для которой операция умножения (называемая скобкой Ли) является знакопеременной и удовлетворяет тождеству Якоби. Скобка Ли двух векторов $x$ и $y$ обозначается $[x,y]$. Алгебра Ли обычно является неассоциативной алгеброй . Однако каждая ассоциативная алгебра порождает алгебру Ли, состоящую из того же векторного пространства с коммутаторной скобкой Ли: $[x,y]=xy-yx$.

Алгебры Ли тесно связаны с группами Ли , которые также являются гладкими многообразиями : каждая группа Ли порождает алгебру Ли, которая является касательным пространством в единице. (В этом случае скобка Ли измеряет несостоятельность коммутативности группы Ли.) И наоборот, любой конечномерной алгебре Ли над действительными или комплексными числами существует соответствующая связная группа Ли, единственная с точностью до накрывающих пространств ( группа Ли третья теорема ). Это соответствие позволяет изучать строение и классификацию групп Ли в терминах алгебр Ли, которые являются более простыми объектами линейной алгебры.

Более подробно: для любой группы Ли операция умножения вблизи единичного элемента 1 коммутативна первому порядку. Другими словами, каждая группа Ли G является (в первом порядке) приближенно вещественным векторным пространством, а именно касательным пространством ${\mathfrak {g}}$ к G в тождестве. Во втором порядке групповая операция может быть некоммутативной, а члены второго порядка, описывающие некоммутативность группы G вблизи единицы, дают ${\mathfrak {g}}$ структура алгебры Ли. Примечательно, что эти члены второго порядка (алгебра Ли) полностью определяют групповую структуру группы G вблизи единицы. Они даже определяют G глобально, вплоть до покрытия пространств.

В физике группы Ли появляются как группы симметрии физических систем, а их алгебры Ли (касательные векторы вблизи единицы) можно рассматривать как бесконечно малые движения симметрии. Таким образом, алгебры Ли и их представления широко используются в физике, особенно в квантовой механике и физике элементарных частиц.

Элементарным примером (не пришедшим напрямую из ассоциативной алгебры) является трехмерное пространство. ${\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}$ со скобкой Ли, определяемой векторным произведением $[x,y]=x\times y.$ Это кососимметрично, поскольку $x\times y=-y\times x$, и вместо ассоциативности оно удовлетворяет тождеству Якоби:

$x\times (y\times z)+\ y\times (z\times x)+\ z\times (x\times y)\ =\ 0.$

Это алгебра Ли группы Ли вращений пространства , и каждый вектор $v\in \mathbb {R} ^{3}$ можно представить как бесконечно малое вращение вокруг оси $v$, с угловой скоростью, равной величинеиз $v$. Скобка Ли является мерой некоммутативности между двумя вращениями. Поскольку вращение коммутирует само с собой, оно обладает переменным свойством $[x,x]=x\times x=0$.

История

в 1870-х годах для изучения концепции бесконечно малых преобразований Алгебры Ли были введены Софусом Ли . и независимо обнаружен Вильгельмом Киллингом в 1880-х годах. Название «алгебра Ли» было дано Германом Вейлем в 1930-х годах; термин бесконечно малая группа в старых текстах использовался .

Определение алгебры Ли

Алгебра Ли — это векторное пространство. $\,{\mathfrak {g}}$ над полем $F$ вместе с бинарной операцией $[\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ называется скобкой Ли и удовлетворяет следующим аксиомам:

• Билинейность ,

$[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],$

$[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$

для всех скаляров $a,b$ в $F$ и все элементы $x,y,z$ в ${\mathfrak {g}}$.

• свойство Переменное ,

$[x,x]=0\$

для всех $x$ в ${\mathfrak {g}}$.

• Личность Якоби ,

$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\$

для всех $x,y,z$ в ${\mathfrak {g}}$.

Для группы Ли тождество Якоби для ее алгебры Ли следует из ассоциативности групповой операции.

Использование билинейности для расширения скобки Ли $[x+y,x+y]$ и использование знакопеременного свойства показывает, что $[x,y]+[y,x]=0$ для всех $x,y$ в ${\mathfrak {g}}$. Таким образом, билинейность и знакопеременность вместе подразумевают

• Антикоммутативность ,

$[x,y]=-[y,x],\$

для всех $x,y$ в ${\mathfrak {g}}$. Если поле не имеет характеристики 2, то из антикоммутативности следует знакопеременность, поскольку из нее следует $[x,x]=-[x,x].$

Алгебру Ли принято обозначать строчной буквой дроби , например ${\mathfrak {g,h,b,n}}$. Если алгебра Ли связана с группой Ли, то алгебра обозначается фрактурной версией имени группы: например, алгебра Ли группы SU( n ) равна ${\mathfrak {su}}(n)$.

Генераторы и размерность

Размерность размерность алгебры Ли над полем означает ее как векторного пространства . В физике базис векторного пространства алгебры Ли группы Ли G можно назвать набором образующих для G . (Они, так сказать, являются «бесконечно-малыми генераторами» для G набор S генераторов .) В математике для алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ означает подмножество ${\mathfrak {g}}$ такая, что любая подалгебра Ли (как определено ниже), содержащая S, должна состоять из ${\mathfrak {g}}$. Эквивалентно, ${\mathfrak {g}}$ натянут (как векторное пространство) на все повторяющиеся скобки элементов S .

Основные примеры

Абелевы алгебры Ли

Любое векторное пространство $V$ наделенная тождественно нулевой скобкой Ли, становится алгеброй Ли. Такая алгебра Ли называется абелевой . Любая одномерная алгебра Ли абелева в силу знакопеременного свойства скобки Ли.

Алгебра Ли матриц

• Об ассоциативной алгебре $A$ над полем $F$ с умножением, записанным как $xy$, скобка Ли может быть определена коммутатором $[x,y]=xy-yx$. С помощью этого кронштейна $A$ является алгеброй Ли. (Тождество Якоби следует из ассоциативности умножения на $A$.)
• эндоморфизмов Кольцо ​ $F$-векторное пространство $V$ с указанной выше скобкой Ли обозначается ${\mathfrak {gl}}(V)$.
• Для поля F и натурального числа n пространство размера n × n матриц над F , обозначаемое ${\mathfrak {gl}}(n,F)$ или ${\mathfrak {gl}}_{n}(F)$, — алгебра Ли со скобкой, заданной коммутатором матриц: $[X,Y]=XY-YX$. Это частный случай предыдущего примера; это ключевой пример алгебры Ли. Она называется общей линейной алгеброй Ли.

Когда F — действительные числа, ${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )$ — алгебра Ли полной линейной группы $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$, группа обратимых вещественных матриц размера n x n (или, что то же самое, матриц с ненулевым определителем ), где групповой операцией является умножение матриц. Так же, ${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )$ — алгебра Ли комплексной группы Ли $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$. Скобка Лия на ${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )$ описывает неспособность коммутативности при умножении матриц или, что то же самое, при составлении линейных карт . Для любого F поля ${\mathfrak {gl}}(n,F)$ можно рассматривать как алгебру Ли алгебраической группы $\mathrm {GL} (n)$ над Ф. ​

Определения

Подалгебры, идеалы и гомоморфизмы

Скобка Ли не обязательно должна быть ассоциативной , а это означает, что $[[x,y],z]$ не обязательно должен быть равен $[x,[y,z]]$. Тем не менее, большая часть терминологии ассоциативных колец и алгебр (а также групп) имеет аналоги для алгебр Ли. Подалгебра Ли — это линейное подпространство. ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ которая замыкается скобкой Ли. Идеал ​ ${\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ — линейное подпространство, удовлетворяющее более сильному условию:

$[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}.$

В соответствии между группами Ли и алгебрами Ли подгруппы соответствуют подалгебрам Ли, а нормальные подгруппы соответствуют идеалам.

алгебры Ли Гомоморфизм — это линейное отображение, совместимое с соответствующими скобками Ли:

$\phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},\quad \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\ {\text{for all}}\ x,y\in {\mathfrak {g}}.$

Изоморфизм биективный алгебр Ли — это гомоморфизм .

Как и в случае с нормальными подгруппами в группах, идеалы в алгебрах Ли являются в точности ядрами гомоморфизмов. Дана алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ и идеал ${\mathfrak {i}}$ в ней факторалгебра Ли ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ определен сюръективный гомоморфизм ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ алгебр Ли. Первая теорема об изоморфизме справедлива для алгебр Ли: для любого гомоморфизма $\phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$ алгебр Ли, образ $\phi$ является подалгеброй Ли ${\mathfrak {h}}$ который изоморфен ${\mathfrak {g}}/{\text{ker}}(\phi )$.

Для алгебры Ли группы Ли скобка Ли является своего рода инфинитезимальным коммутатором. В результате для любой алгебры Ли два элемента $x,y\in {\mathfrak {g}}$ Говорят, что они коммутируют, если их скобка обращается в нуль: $[x,y]=0$.

Централизаторная подалгебра подмножества $S\subset {\mathfrak {g}}$ — множество элементов, коммутирующих с $S$: то есть, ${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}$. Централизатор ${\mathfrak {g}}$ сам по себе является центром ${\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})$. подпространства S нормализатора Аналогично для подалгебра $S$ является ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]\in S\ {\text{ for all}}\ s\in S\}$. Если $S$ является подалгеброй Ли, ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)$ является самой большой подалгеброй такой, что $S$ является идеалом ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)$.

Пример

Подпространство ${\mathfrak {t}}_{n}$ диагональных матриц в ${\mathfrak {gl}}(n,F)$ является абелевой подалгеброй Ли. (Это подалгебра картановская ${\mathfrak {gl}}(n)$, аналог максимального тора в теории компактных групп Ли .) Здесь ${\mathfrak {t}}_{n}$ не является идеалом в ${\mathfrak {gl}}(n)$ для $n\geq 2$. Например, когда $n=2$, это следует из расчета:

${\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}ax&by\\cx&dy\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}ax&bx\\cy&dy\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&b(y-x)\\c(x-y)&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

(что не всегда есть ${\mathfrak {t}}_{2}$).

Каждое одномерное линейное подпространство алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ является абелевой подалгеброй Ли, но она не обязательно должна быть идеалом.

Продукт и полупрямой продукт

Для двух алгебр Ли ${\mathfrak {g}}$ и ${\mathfrak {g'}}$, произведение алгебры Ли представляет собой векторное пространство ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}$ состоящий из всех упорядоченных пар $(x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}$, с кронштейном Ли

$[(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']).$

Это произведение из категории алгебр Ли. Обратите внимание, что копии ${\mathfrak {g}}$ и ${\mathfrak {g}}'$ в ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}$ ездить друг с другом: $[(x,0),(0,x')]=0.$

Позволять ${\mathfrak {g}}$ быть алгеброй Ли и ${\mathfrak {i}}$ идеал ${\mathfrak {g}}$. Если каноническое отображение ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ разбивается (т.е. допускает сечение ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\to {\mathfrak {g}}$, как гомоморфизм алгебр Ли), то ${\mathfrak {g}}$ называется полупрямым произведением ${\mathfrak {i}}$ и ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$, ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}$. См. также полупрямую сумму алгебр Ли .

Выводы

Для алгебры A над полем F дифференцированием A . F над является линейное отображение $D\colon A\to A$ удовлетворяющее правилу Лейбница

$D(xy)=D(x)y+xD(y)$

для всех $x,y\in A$. (Определение имеет смысл для возможно неассоциативной алгебры .) Учитывая два вывода $D_{1}$ и $D_{2}$, их коммутатор $[D_{1},D_{2}]:=D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}$ это снова вывод. Эта операция делает пространство ${\text{Der}}_{k}(A)$ всех дифференцирований A над F в алгебру Ли.

пространство дифференцирований A является алгеброй Ли группы автоморфизмов A Неформально говоря , . (Это буквально верно, когда группа автоморфизмов является группой Ли, например, когда F — действительные числа, а A имеет конечную размерность как векторное пространство.) По этой причине пространства дифференцирований являются естественным способом построения алгебр Ли: они являются «бесконечно малыми автоморфизмами» A . Действительно, выписав условие, что

$(1+\epsilon D)(xy)\equiv (1+\epsilon D)(x)\cdot (1+\epsilon D)(y){\pmod {\epsilon ^{2}}}$

(где 1 обозначает тождественное отображение на A ) дает точное определение D как вывода.

Пример: алгебра Ли векторных полей. Пусть А — кольцо $C^{\infty }(X)$ гладких функций на гладком многообразии X . Тогда вывод A по $\mathbb {R}$ эквивалентно векторному полю на X . (Векторное поле v дает вывод пространства гладких функций путем дифференцирования функций в направлении v .) Это делает пространство ${\text{Vect}}(X)$ векторных полей в алгебру Ли (см. скобку Ли векторных полей ). Неофициально говоря, ${\text{Vect}}(X)$ алгебра Ли группы диффеоморфизмов X . — Таким образом, скобка Ли векторных полей описывает некоммутативность группы диффеоморфизмов. Действие определяет группы Ли G на многообразии X гомоморфизм алгебр Ли ${\mathfrak {g}}\to {\text{Vect}}(X)$. (Пример показан ниже.)

Алгебру Ли можно рассматривать как неассоциативную алгебру, поэтому каждая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ над полем F определяет его алгебру Ли дифференцирований, ${\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})$. То есть вывод ${\mathfrak {g}}$ это линейная карта $D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ такой, что

$D([x,y])=[D(x),y]+[x,D(y)]$.

Внутренний вывод, связанный с каким-либо $x\in {\mathfrak {g}}$ является присоединенным отображением $\mathrm {ad} _{x}$ определяется $\mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]$. (Это вывод как следствие тождества Якоби.) Это дает гомоморфизм алгебр Ли: $\operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})$. Изображение ${\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})$ является идеалом в ${\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})$, а алгебра Ли внешних дифференцирований определяется как факторалгебра Ли, ${\text{Out}}_{F}({\mathfrak {g}})={\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})/{\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})$. (Это в точности аналогично внешней группе автоморфизмов группы.) Для полупростой алгебры Ли (определенной ниже) над полем нулевой характеристики каждое дифференцирование является внутренним. Это связано с теоремой о том, что внешняя группа автоморфизмов полупростой группы Ли конечна.

Напротив, абелева алгебра Ли имеет множество внешних дифференцирований. А именно, для векторного пространства $V$ с нулевой скобкой Ли алгебра Ли ${\text{Out}}_{F}(V)$ можно отождествить с ${\mathfrak {gl}}(V)$.

Примеры

Матричные алгебры Ли

Группа матриц — это группа Ли, состоящая из обратимых матриц, $G\subset \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$, где групповая операция G — умножение матриц. Соответствующая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ - это пространство матриц, которые являются касательными векторами к G внутри линейного пространства $M_{n}(\mathbb {R} )$: состоит из производных гладких кривых в G в единичной матрице $I$:

${\mathfrak {g}}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {R} ):{\text{ smooth }}c:\mathbb {R} \to G,\ c(0)=I\}.$

Скобка Ли ${\mathfrak {g}}$ задается коммутатором матриц, $[X,Y]=XY-YX$. Дана алгебра Ли ${\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )$, можно восстановить группу Ли как подгруппу, порожденную матричной экспонентой элементов ${\mathfrak {g}}$. (Точнее, это дает единичную компоненту G отображение , если G несвязна.) Здесь экспоненциальное $\exp :M_{n}(\mathbb {R} )\to M_{n}(\mathbb {R} )$ определяется $\exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+{\tfrac {1}{3!}}X^{3}+\cdots$, который сходится для любой матрицы $X$.

Те же комментарии применимы и к комплексным подгруппам Ли $GL(n,\mathbb {C} )$ и комплексная матричная экспонента, $\exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )$ (определяется по той же формуле).

Вот некоторые матричные группы Ли и их алгебры Ли.

• Для положительного целого числа n специальная линейная группа $\mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )$ состоит из всех вещественных матриц размера n × n с определителем 1. Это группа линейных отображений из $\mathbb {R} ^{n}$ себе, сохраняющие объем и ориентацию . Более абстрактно, $\mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )$ является коммутатором полной линейной группы $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$. Это алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )$ состоит из всех вещественных матриц размера n × n со следом 0. Аналогично можно определить аналогичную комплексную группу Ли ${\rm {SL}}(n,\mathbb {C} )$ и ее алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )$.
• Ортогональная группа $\mathrm {O} (n)$ играет основную роль в геометрии: это группа линейных отображений из $\mathbb {R} ^{n}$ самому себе, сохраняющие длину векторов. Например, вращения и отражения принадлежат $\mathrm {O} (n)$. Эквивалентно, это группа ортогональных матриц размера n x n , что означает, что $A^{\mathrm {T} }=A^{-1}$, где $A^{\mathrm {T} }$ обозначает транспонирование матрицы. Ортогональная группа имеет две компоненты связности; единичный компонент называется специальной ортогональной группой $\mathrm {SO} (n)$, состоящая из ортогональных матриц с определителем 1. Обе группы имеют одну и ту же алгебру Ли ${\mathfrak {so}}(n)$, подпространство кососимметричных матриц в ${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )$ ( $X^{\rm {T}}=-X$). См. также бесконечно малые вращения с кососимметричными матрицами .

Комплексная ортогональная группа $\mathrm {O} (n,\mathbb {C} )$, его идентификационный компонент $\mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )$и алгебра Ли ${\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )$ задаются теми же формулами, что и для n x n комплексных матриц размера . Эквивалентно, $\mathrm {O} (n,\mathbb {C} )$ является подгруппой $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ сохраняющий стандартную симметричную билинейную форму на $\mathbb {C} ^{n}$.

• Унитарная группа $\mathrm {U} (n)$ является подгруппой $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ сохраняющий длину векторов в $\mathbb {C} ^{n}$ (относительно стандартного эрмитова внутреннего произведения ). Эквивалентно, это группа унитарных матриц размера n × n (удовлетворяющих $A^{*}=A^{-1}$, где $A^{*}$ обозначает сопряженное транспонирование матрицы). Это алгебра Ли ${\mathfrak {u}}(n)$ состоит из косоэрмитовых матриц в ${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )$ ( $X^{*}=-X$). Это алгебра Ли над $\mathbb {R}$, не более $\mathbb {C}$. (Действительно, i раз косоэрмитова матрица является эрмитовой, а не косоэрмитовой.) Аналогично, унитарная группа $\mathrm {U} (n)$ является вещественной подгруппой Ли комплексной группы Ли. $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$. Например, $\mathrm {U} (1)$ — группа окружностей , а ее алгебра Ли (с этой точки зрения) — $i\mathbb {R} \subset \mathbb {C} ={\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )$.
• Специальная унитарная группа $\mathrm {SU} (n)$ – подгруппа матриц с определителем 1 в $\mathrm {U} (n)$. Это алгебра Ли $\mathrm {su} (n)$ состоит из косоэрмитовых матриц с нулевым следом.
• Симплектическая группа $\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ является подгруппой $\mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )$ сохраняющий стандартную знакопеременную билинейную форму на $\mathbb {R} ^{2n}$. Ее алгебра Ли является симплектической алгеброй Ли. ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )$.
• Классическими алгебрами Ли являются перечисленные выше, а также их варианты над любым полем.

Два измерения

Здесь описаны некоторые алгебры Ли малой размерности. см. в классификации маломерных вещественных алгебр Ли Дополнительные примеры .

• Существует единственная неабелева алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ размерности 2 над любым полем F с точностью до изоморфизма. Здесь ${\mathfrak {g}}$ имеет основу $X,Y$ для которого скобка задается выражением $\left[X,Y\right]=Y$. (Это полностью определяет скобку Ли, поскольку из аксиом следует, что $[X,X]=0$ и $[Y,Y]=0$.) Над действительными цифрами, ${\mathfrak {g}}$ можно рассматривать как алгебру Ли группы Ли $G=\mathrm {Aff} (1,\mathbb {R} )$ аффинных преобразований вещественной прямой, $x\mapsto ax+b$.

Аффинную группу G можно отождествить с группой матриц

$\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right)$

при матричном умножении, с $a,b\in \mathbb {R}$, $a\neq 0$. Ее алгебра Ли является подалгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ из ${\mathfrak {gl}}(2,\mathbb {R} )$ состоящий из всех матриц

$\left({\begin{array}{cc}c&d\\0&0\end{array}}\right).$

В этом смысле вышеизложенное основание для ${\mathfrak {g}}$ задается матрицами

$X=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad Y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right).$

Для любого поля $F$, одномерное подпространство $F\cdot Y$ является идеалом в двумерной алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$, по формуле $[X,Y]=Y\in F\cdot Y$. Обе алгебры Ли $F\cdot Y$ и ${\mathfrak {g}}/(F\cdot Y)$ абелевы (потому что одномерны). В этом смысле ${\mathfrak {g}}$ можно разбить на абелевы «куски», что означает, что оно разрешимо (хотя и не нильпотентно), в терминологии, приведенной ниже.

Три измерения

• Алгебра Гейзенберга ${\mathfrak {h}}_{3}(F)$ над полем F — трёхмерная алгебра Ли с базисом $X,Y,Z$ такой, что

$[X,Y]=Z,\quad [X,Z]=0,\quad [Y,Z]=0$.

Ее можно рассматривать как алгебру Ли строго верхнетреугольных матриц 3 × 3 с коммутаторной скобкой Ли и базисом

$X=\left({\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Y=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Z=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad$

Над реальными цифрами, ${\mathfrak {h}}_{3}(\mathbb {R} )$ — алгебра Ли группы Гейзенберга $\mathrm {H} _{3}(\mathbb {R} )$, то есть группа матриц

$\left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right)$

при матричном умножении.

Для любого поля F центр ${\mathfrak {h}}_{3}(F)$ это одномерный идеал $F\cdot Z$, и частное ${\mathfrak {h}}_{3}(F)/(F\cdot Z)$ абелева, изоморфна $F^{2}$. В терминологии, приведенной ниже, отсюда следует, что ${\mathfrak {h}}_{3}(F)$ нильпотентен (хотя и не абелев).

• Алгебра Ли ${\mathfrak {so}}(3)$ группы вращений SO(3) — это пространство кососимметричных матриц размера 3x3 над $\mathbb {R}$. Основу задают три матрицы

$F_{1}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}}\right),\quad F_{2}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}}\right),\quad F_{3}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad$

Коммутационные отношения между этими генераторами таковы:

$[F_{1},F_{2}]=F_{3},$

$[F_{2},F_{3}]=F_{1},$

$[F_{3},F_{1}]=F_{2}.$

Перекрестное произведение векторов в $\mathbb {R} ^{3}$ задается по той же формуле в стандартном базисе; так что алгебра Ли изоморфна ${\mathfrak {so}}(3)$. Также, ${\mathfrak {so}}(3)$ эквивалентен операторам компонента углового момента спина (физика) для частиц со спином 1 в квантовой механике .

Алгебра Ли ${\mathfrak {so}}(3)$ не может быть разбит на части так, как это можно сделать в предыдущих примерах: он прост , что означает, что он не абелев, и его единственные идеалы равны 0 и всем ${\mathfrak {so}}(3)$.

• Другая простая алгебра Ли размерности 3, в данном случае над $\mathbb {C}$, это пространство ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ матриц 2x2 с нулевым следом. Основу задают три матрицы

$H=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right),\ E=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right),\ F=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right).$

ЧАС

И

Ф

Действие ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ на сфере Римана $\mathbb {CP} ^{1}$. В частности, скобки Ли показанных векторных полей: $[H,E]=2E$, $[H,F]=-2F$, $[E,F]=H$.

Скобка Ли определяется следующим образом:

$[H,E]=2E,$

$[H,F]=-2F,$

$[E,F]=H.$

Используя эти формулы, можно показать, что алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ является простым, и классифицируем его конечномерные представления (определенные ниже). В терминологии квантовой механики E и F можно рассматривать как повышающие и понижающие операторы . Действительно, для любого представления ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ приведенных выше соотношений следует, что E отображает c - собственное пространство H , из (для комплексного числа c ) в $(c+2)$-собственное пространство, а F отображает c -собственное пространство в $(c-2)$-собственное пространство.

Алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ изоморфен комплексификации ​ ${\mathfrak {so}}(3)$, что означает тензорное произведение ${\mathfrak {so}}(3)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$. Формулы для скобки Ли легче анализировать в случае ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$. В результате принято анализировать сложные представления группы. $\mathrm {SO} (3)$ связав их с представлениями алгебры Ли ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$.

Бесконечные размеры

• Алгебра Ли векторных полей на гладком многообразии положительной размерности — это бесконечномерная алгебра Ли над $\mathbb {R}$.
• Алгебры Каца–Муди представляют собой большой класс бесконечномерных алгебр Ли, скажем, над $\mathbb {C}$, со структурой, очень похожей на структуру конечномерных простых алгебр Ли (таких как ${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )$).
• Алгебра Мойала — бесконечномерная алгебра Ли, содержащая все классические алгебры Ли в качестве подалгебр.
• Алгебра Вирасоро играет важную роль в теории струн .
• Функтор, переводящий алгебру Ли над полем F в базовое векторное пространство, имеет левый сопряженный $V\mapsto L(V)$, называемая свободной алгеброй Ли в векторном пространстве V . Он натянут на все повторяющиеся скобки Ли элементов V по модулю только отношений, вытекающих из определения алгебры Ли. Свободная алгебра Ли $L(V)$ бесконечномерен для V размерности не менее 2.

Представительства

Основная статья: Представление алгебры Ли

Определения

Для векторного пространства V пусть ${\mathfrak {gl}}(V)$ обозначаем алгебру Ли, состоящую из всех линейных отображений V в себя, со скобкой, заданной формулой $[X,Y]=XY-YX$. Представление алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ на V является гомоморфизмом алгебры Ли

$\pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).$

То есть, $\pi$ отправляет каждый элемент ${\mathfrak {g}}$ к линейному отображению V в себя так, что скобка Ли на ${\mathfrak {g}}$ соответствует коммутатору линейных отображений.

Представление называется точным, если его ядро ​​равно нулю. Теорема Адо утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики имеет точное представление в конечномерном векторном пространстве. Кенкичи Ивасава распространил этот результат на конечномерные алгебры Ли над полем любой характеристики. Эквивалентно, каждая конечномерная алгебра Ли над полем F изоморфна подалгебре Ли в ${\mathfrak {gl}}(n,F)$ для некоторого положительного целого числа n .

Присоединенное представление

Для любой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$, присоединенным представлением является представление

$\operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$

данный $\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]$. (Это представление ${\mathfrak {g}}$ по тождеству Якоби.)

Цели теории представлений

Одним из важных аспектов изучения алгебр Ли (особенно полупростых алгебр Ли, как они определены ниже) является изучение их представлений. Хотя теорема Адо является важным результатом, основная цель теории представлений не состоит в том, чтобы найти точное представление данной алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$. Действительно, в полупростом случае присоединенное представление уже является точным. Скорее, цель состоит в том, чтобы понять все возможные представления ${\mathfrak {g}}$. Для полупростой алгебры Ли над полем нулевой характеристики теорема Вейля говорит, что каждое конечномерное представление является прямой суммой неприводимых представлений (тех, у которых нет нетривиальных инвариантных подпространств). Конечномерные неприводимые представления хорошо понятны с нескольких точек зрения; см. теорию представлений полупростых алгебр Ли и формулу характера Вейля .

Универсальная обертывающая алгебра

Основная статья: Универсальная обертывающая алгебра

Функтор, который переводит ассоциативную алгебру A над полем F в A как алгебру Ли (по $[X,Y]:=XY-YX$) имеет левый сопряженный ${\mathfrak {g}}\mapsto U({\mathfrak {g}})$, называемая универсальной обертывающей алгеброй . Чтобы построить это: учитывая алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$ над F , пусть

$T({\mathfrak {g}})=F\oplus {\mathfrak {g}}\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus \cdots$

— тензорная алгебра на ${\mathfrak {g}}$, также называемая свободной ассоциативной алгеброй в векторном пространстве ${\mathfrak {g}}$. Здесь $\otimes$ обозначает тензорное произведение F -векторных пространств. Пусть я буду двусторонним идеалом в $T({\mathfrak {g}})$ созданный элементами $XY-YX-[X,Y]$ для $X,Y\in {\mathfrak {g}}$; то универсальная обертывающая алгебра является факторкольцом $U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I$. Он удовлетворяет теореме Пуанкаре–Биркгофа–Витта : если $e_{1},\ldots ,e_{n}$ является основой для ${\mathfrak {g}}$ как F -векторное пространство, то основа для $U({\mathfrak {g}})$ предоставляется всеми заказанными товарами $e_{1}^{i_{1}}\cdots e_{n}^{i_{n}}$ с $i_{1},\ldots ,i_{n}$ натуральные числа. В частности, карта ${\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})$ является инъективным .

Представления ${\mathfrak {g}}$ эквивалентны модулям над универсальной обертывающей алгеброй. Тот факт, что ${\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})$ инъективность означает, что каждая алгебра Ли (возможно, бесконечной размерности) имеет точное представление (бесконечной размерности), а именно ее представление на $U({\mathfrak {g}})$. Это также показывает, что каждая алгебра Ли содержится в алгебре Ли, ассоциированной с некоторой ассоциативной алгеброй.

Теория представлений в физике

Теория представлений алгебр Ли играет важную роль в различных разделах теоретической физики. Там рассматриваются операторы в пространстве состояний, удовлетворяющие некоторым естественным коммутационным соотношениям. Эти коммутационные отношения обычно возникают из-за симметрии задачи, в частности, они представляют собой отношения алгебры Ли соответствующей группы симметрии. Примером являются операторы углового момента , коммутационные соотношения которых соответствуют алгебре Ли. ${\mathfrak {so}}(3)$ группы ротации $\mathrm {SO} (3)$. Как правило, пространство состояний далеко не является несводимым для соответствующих операторов, номожно попытаться разложить его на несократимые части. При этом необходимо знать неприводимые представления данной алгебры Ли. Например, при изучении атома водорода учебники по квантовой механике классифицируют (более или менее явно) конечномерные неприводимые представления алгебры Ли. ${\mathfrak {so}}(3)$.

Теория структуры и классификация

Алгебры Ли можно до некоторой степени классифицировать. Это мощный подход к классификации групп Ли.

Абелева, нильпотентная и разрешимая

Аналогично абелевым , нильпотентным и разрешимым группам можно определить абелевы, нильпотентные и разрешимые алгебры Ли.

Алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ абелева , если скобка Ли обращается в нуль; то есть [ x , y ] = 0 для всех x и y в ${\mathfrak {g}}$. В частности, алгебра Ли абелевой группы Ли (например, группы $\mathbb {R} ^{n}$ при сложении или группе тора $\mathbb {T} ^{n}$) абелева. Любая конечномерная абелева алгебра Ли над полем $F$ изоморфен $F^{n}$ для некоторых $n\geq 0$, что означает n -мерное векторное пространство с нулевой скобкой Ли.

Более общий класс алгебр Ли определяется обращением в нуль всех коммутаторов заданной длины. Во-первых, коммутаторная подалгебра (или производная подалгебра ) алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ является $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$, что означает линейное подпространство, охватываемое всеми скобками $[x,y]$ с $x,y\in {\mathfrak {g}}$. Коммутаторная подалгебра является идеалом в ${\mathfrak {g}}$, фактически наименьший идеал такой, что факторалгебра Ли абелева. Это аналог коммутанта группы.

Алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ нильпотентен , если нижний центральный ряд

${\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq \cdots$

становится нулевым после конечного числа шагов. Эквивалентно, ${\mathfrak {g}}$ нильпотентна, если существует конечная последовательность идеалов в ${\mathfrak {g}}$,

$0={\mathfrak {a}}_{0}\subseteq {\mathfrak {a}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {a}}_{r}={\mathfrak {g}},$

такой, что ${\mathfrak {a}}_{j}/{\mathfrak {a}}_{j-1}$ занимает центральное место в ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}_{j-1}$ для каждого j . По теореме Энгеля алгебра Ли над любым полем нильпотентна тогда и только тогда, когда для любого u из ${\mathfrak {g}}$ присоединенный эндоморфизм

$\operatorname {ad} (u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]$

является нильпотентным .

В более общем смысле, алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ называется разрешимым, если полученный ряд :

${\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\supseteq \cdots$

становится нулевым после конечного числа шагов. Эквивалентно, ${\mathfrak {g}}$ разрешима, если существует конечная последовательность подалгебр Ли,

$0={\mathfrak {m}}_{0}\subseteq {\mathfrak {m}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {m}}_{r}={\mathfrak {g}},$

такой, что ${\mathfrak {m}}_{j-1}$ является идеалом в ${\mathfrak {m}}_{j}$ с ${\mathfrak {m}}_{j}/{\mathfrak {m}}_{j-1}$ абелева для каждого j .

Каждая конечномерная алгебра Ли над полем имеет единственный максимальный разрешимый идеал, называемый ее радикалом . При соответствии Лия нильпотентные (соответственно разрешимые) группы Ли соответствуют нильпотентным (соответственно разрешимым) алгебрам Ли над $\mathbb {R}$.

Например, для натурального числа n и поля F нулевой характеристики радикал ${\mathfrak {gl}}(n,F)$ является его центром, одномерным подпространством, охватываемым единичной матрицей. Примером разрешимой алгебры Ли является пространство ${\mathfrak {b}}_{n}$ верхнетреугольных матриц в ${\mathfrak {gl}}(n)$; это не нильпотентно, когда $n\geq 2$. Примером нильпотентной алгебры Ли является пространство ${\mathfrak {u}}_{n}$ строго верхнетреугольных матриц в ${\mathfrak {gl}}(n)$; это не абелева ситуация, когда $n\geq 3$.

Простое и полупростое

Основная статья: Полупростая алгебра Ли

Алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ называется простым, если он не абелев и единственные идеалы в ${\mathfrak {g}}$ равны 0 и ${\mathfrak {g}}$. (В частности, одномерная — обязательно абелева — алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ по определению непрост, хотя его единственные идеалы — 0 и ${\mathfrak {g}}$.) Конечномерная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ называется полупростым, если единственный разрешимый идеал в ${\mathfrak {g}}$ равна 0. В нулевой характеристике алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ полупрост тогда и только тогда, когда он изоморфен произведению простых алгебр Ли, ${\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {g}}_{1}\times \cdots \times {\mathfrak {g}}_{r}$.

Например, алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}(n,F)$ это просто для каждого $n\geq 2$ и каждое поле F нулевой характеристики (или просто характеристики, не делящей n ). Алгебра Ли ${\mathfrak {su}}(n)$ над $\mathbb {R}$ это просто для каждого $n\geq 2$. Алгебра Ли ${\mathfrak {so}}(n)$ над $\mathbb {R}$ это просто, если $n=3$ или $n\geq 5$. (Существуют «исключительные изоморфизмы» ${\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)$ и ${\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)\times {\mathfrak {su}}(2)$.)

Понятие полупростоты алгебр Ли тесно связано с полной сводимостью (полупростотой) их представлений. Когда основное поле F имеет нулевую характеристику, каждое конечномерное представление полупростой алгебры Ли является полупростым (т. е. прямой суммой неприводимых представлений).

Конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики называется редуктивной, если ее присоединенное представление полупросто. Любая редуктивная алгебра Ли изоморфна произведению абелевой алгебры Ли и полупростой алгебры Ли.

Например, ${\mathfrak {gl}}(n,F)$ является редуктивным для F нулевой характеристики: для $n\geq 2$, оно изоморфно произведению

${\mathfrak {gl}}(n,F)\cong F\times {\mathfrak {sl}}(n,F),$

где F обозначает центр ${\mathfrak {gl}}(n,F)$, одномерное подпространство, натянутое единичной матрицей. Поскольку специальная линейная алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}(n,F)$ это просто, ${\mathfrak {gl}}(n,F)$ содержит мало идеалов: только 0, центр F , ${\mathfrak {sl}}(n,F)$, и все ${\mathfrak {gl}}(n,F)$.

Критерий Картана

Критерий Картана ( Эли Картана ) дает условия для того, чтобы конечномерная алгебра Ли нулевой характеристики была разрешимой или полупростой. Это выражается через форму Киллинга , симметричную билинейную форму на ${\mathfrak {g}}$ определяется

$K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),$

где tr обозначает след линейного оператора. А именно: алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ полупроста тогда и только тогда, когда форма Киллинга невырождена . Алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ разрешима тогда и только тогда, когда $K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.$

Классификация

Разложение Леви утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики является полупрямым произведением своего разрешимого радикала и полупростой алгебры Ли. Более того, полупростая алгебра Ли нулевой характеристики является произведением простых алгебр Ли, как упоминалось выше. Это фокусирует внимание на проблеме классификации простых алгебр Ли.

Простые алгебры Ли конечной размерности над алгебраически замкнутым полем F нулевой характеристики были классифицированы Киллингом и Картаном в 1880-х и 1890-х годах с использованием систем корней . А именно, каждая простая алгебра Ли имеет тип _An , _Bn , _Cn , _Dn , _E6 , _E7 , _E8 , _F4 или _G2 . Здесь простая алгебра Ли типа A _n имеет вид ${\mathfrak {sl}}(n+1,F)$, _n B ${\mathfrak {so}}(2n+1,F)$, _n C ${\mathfrak {sp}}(2n,F)$, а _n D ${\mathfrak {so}}(2n,F)$. Остальные пять известны как исключительные алгебры Ли .

Классификация конечномерных простых алгебр Ли над $\mathbb {R}$ более сложен, но он также был решен Картаном ( см. В простой группе Ли эквивалентную классификацию ). Можно анализировать алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$ над $\mathbb {R}$ учитывая его усложнение ${\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$.

В годы, предшествовавшие 2004 году, конечномерные простые алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики $p>3$ были классифицированы Ричардом Эрлом Блоком , Робертом Ли Уилсоном, Александром Преметом и Хельмутом Стрейдом. (См. Ограниченная алгебра Ли # Классификация простых алгебр Ли .) Оказывается, в положительной характеристике гораздо больше простых алгебр Ли, чем в нулевой характеристике.

Связь с группами Ли

Основная статья: Соответствие группа Ли – алгебра Ли

Касательное пространство сферы в точке $x$. Если $x$ если бы единичный элемент группы Ли, касательное пространство было бы алгеброй Ли.

Хотя алгебры Ли можно изучать сами по себе, исторически они возникли как средство изучения групп Ли .

Отношения между группами Ли и алгебрами Ли можно резюмировать следующим образом. Каждая группа Ли определяет алгебру Ли над $\mathbb {R}$ (точнее, касательное пространство в точке тождества). Обратно, для любой конечномерной алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$, существует связная группа Ли $G$ с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$. Это третья теорема Ли ; см. формулу Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа . Эта группа Ли не определена однозначно; однако любые две группы Ли с одной и той же алгеброй Ли локально изоморфны и, более строго, имеют одно и то же универсальное накрытие . Например, специальная ортогональная группа SO(3) и специальная унитарная группа SU(2) имеют изоморфные алгебры Ли, но SU(2) является односвязным двойным накрытием SO(3).

Для односвязных групп Ли имеется полное соответствие: взятие алгебры Ли дает эквивалентность категорий односвязных групп Ли алгебрам Ли конечной размерности над $\mathbb {R}$.

Соответствие между алгебрами Ли и группами Ли используется несколькими способами, в том числе в классификации групп Ли и теории представлений групп Ли. Для конечномерных представлений существует эквивалентность категорий между представлениями вещественной алгебры Ли и представлениями соответствующей односвязной группы Ли. Это упрощает теорию представлений групп Ли: часто легче классифицировать представления алгебры Ли, используя линейную алгебру.

Любая связная группа Ли изоморфна своему универсальному накрытию по модулю дискретной центральной подгруппы. Таким образом, классификация групп Ли становится просто вопросом подсчета дискретных подгрупп центра , как только алгебра Ли известна. Например, действительные полупростые алгебры Ли были классифицированы Картаном, и поэтому классификация полупростых групп Ли хорошо понятна.

Для бесконечномерных алгебр Ли теория Ли работает хуже. Экспоненциальное отображение не обязательно должно быть локальным гомеоморфизмом (например, в группе диффеоморфизмов окружности существуют диффеоморфизмы, сколь угодно близкие к единице, не входящие в образ экспоненциального отображения). Более того, в терминах существующих представлений о бесконечномерных группах Ли некоторые бесконечномерные алгебры Ли не происходят ни из какой группы.

Теория Ли также не так хорошо работает для бесконечномерных представлений конечномерной группы. Даже для группы добавок $G=\mathbb {R}$, бесконечномерное представление $G$ обычно не может быть дифференцирован для получения представления своей алгебры Ли в том же пространстве, или наоборот. Теория модулей Хариш-Чандры представляет собой более тонкую связь между бесконечномерными представлениями групп и алгебрами Ли.

Реальная форма и комплексификация

Дана комплексная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$, настоящая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}_{0}$ считается реальной формой ${\mathfrak {g}}$ если комплексификация ${\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ изоморфен ${\mathfrak {g}}$. Реальная форма не обязательно должна быть уникальной; например, ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ имеет две действительные формы с точностью до изоморфизма, ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ и ${\mathfrak {su}}(2)$.

Дана полупростая комплексная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$, его разделенная форма - это реальная форма, которая разделяется; т. е. у нее есть подалгебра Картана, которая действует через присоединенное представление с действительными собственными значениями. Расщепляемая форма существует и единственна (с точностью до изоморфизма). Компактная форма — это действительная форма, которая является алгеброй Ли компактной группы Ли. Компактная форма существует и также единственна с точностью до изоморфизма.

Алгебра Ли с дополнительными структурами

Алгебра Ли может быть оснащена дополнительными структурами, совместимыми со скобкой Ли. Например, градуированная алгебра Ли — это алгебра Ли (или, в более общем смысле, супералгебра Ли ) с совместимой градуировкой. Дифференциальная градуированная алгебра Ли также включает в себя дифференциал, что делает базовое векторное пространство цепным комплексом .

Например, гомотопические группы односвязного топологического пространства образуют градуированную алгебру Ли, используя произведение Уайтхеда . В аналогичной конструкции Дэниел Квиллен использовал дифференциально-градуированные алгебры Ли над рациональными числами. $\mathbb {Q}$ описать рациональную теорию гомотопий в алгебраических терминах.

Кольцо лжи

Определение алгебры Ли над полем распространяется на определение алгебры Ли над любым коммутативным кольцом R . А именно, алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ над R является R - модулем с знакопеременным R -билинейным отображением $[\ ,\ ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ что удовлетворяет тождеству Якоби. Алгебра Ли над кольцом $\mathbb {Z}$ целых чисел иногда называют кольцом Ли . (Это не имеет прямого отношения к понятию группы Ли.)

Кольца Ли используются при изучении конечных p-групп (для простого числа p ) посредством соответствия Лазара . Нижние центральные факторы конечной p -группы являются конечными абелевыми p -группами. Прямая сумма нижних центральных множителей задается структурой кольца Ли путем определения скобки как коммутатора двух представителей смежного класса; см. пример ниже.

p-адические группы Ли связаны с алгебрами Ли над полем $\mathbb {Q} _{p}$ p -адических чисел, а также по кольцу $\mathbb {Z} _{p}$ чисел p-адических целых . Часть Клода Шевалле конструкции конечных групп лиева типа включает в себя демонстрацию того, что простая алгебра Ли над комплексными числами происходит из алгебры Ли над целыми числами, а затем (с большей осторожностью) из групповой схемы над целыми числами.

Примеры

• Вот конструкция колец Ли, возникшая в результате изучения абстрактных групп. Для элементов $x,y$ группы, определите коммутатор $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$. Позволять $G=G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq G_{3}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots$ быть фильтрацией группы $G$, то есть цепочка подгрупп такая, что $[G_{i},G_{j}]$ содержится в $G_{i+j}$ для всех $i,j$. (Для соответствия Лазара фильтрацией считается нижний центральный ряд группы G. ) Тогда

$L=\bigoplus _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}$

является кольцом Ли, сложение которого задается групповым умножением (которое является абелевым на каждой факторгруппе $G_{i}/G_{i+1}$), и со скобкой Лия $G_{i}/G_{i+1}\times G_{j}/G_{j+1}\to G_{i+j}/G_{i+j+1}$ заданные коммутаторами в группе:

$[xG_{i+1},yG_{j+1}]:=[x,y]G_{i+j+1}.$

Например, кольцо Ли, ассоциированное с нижним центральным рядом группы диэдра восьмого порядка, представляет собой алгебру Ли Гейзенберга размерности 3 над полем $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

Определение с использованием теоретико-категорной нотации

Определение алгебры Ли можно более абстрактно переформулировать на языке теории категорий . А именно, можно определить алгебру Ли в терминах линейных отображений, то есть морфизмов в категории векторных пространств , без рассмотрения отдельных элементов. (В этом разделе предполагается, что поле, в котором определяется алгебра, имеет характеристику, отличную от 2.)

Для теоретико-категорного определения алгебр Ли два изоморфизма кос необходимы . Если A — векторное пространство, изоморфизм обмена $\tau :A\otimes A\to A\otimes A$ определяется

$\tau (x\otimes y)=y\otimes x.$

перестановок Переплетение циклических $\sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ определяется как

$\sigma =(\mathrm {id} \otimes \tau )\circ (\tau \otimes \mathrm {id} ),$

где $\mathrm {id}$ является тождественным морфизмом. Эквивалентно, $\sigma$ определяется

$\sigma (x\otimes y\otimes z)=y\otimes z\otimes x.$

С помощью этих обозначений алгебру Ли можно определить как объект $A$ в категории векторных пространств вместе с морфизмом

$[\cdot ,\cdot ]\colon A\otimes A\rightarrow A$

которое удовлетворяет двум равенствам морфизмов

$[\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau )=0,$

и

$[\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0.$

См. также

• Аффинная алгебра Ли
• Автоморфизм алгебры Ли
• Теорема Фробениуса об интегрируемости (интегрируемость аналогична подалгебре Ли)
• Gelfand–Fuks cohomology
• алгебра Хопфа
• Индекс алгебры Ли
• Когомологии алгебры Ли
• Расширение алгебры Ли
• Представление алгебры Ли
• Биалгебра лжи
• Коалгебра лжи
• Ложь операда
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Супералгебра Ли
• Ортогональная симметричная алгебра Ли
• Алгебра Пуассона
• Предварительная алгебра Ли
• Квантовые группы
• Алгебра Мойала
• Квазифробениусовая алгебра Ли
• Квази-алгебра Ли
• Ограниченная алгебра Ли
• Тепличные отношения

Источники

• Бурбаки, Николя (1989). Группы Ли и алгебры Ли: Главы 1–3 . Спрингер. ISBN  978-3-540-64242-8 . МР   1728312 .
• Эрдманн, Карин ; Уилдон, Марк (2006). Введение в алгебры Ли . Спрингер. ISBN  1-84628-040-0 . МР   2218355 .
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .
• Холл, Брайан С. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для аспирантов по математике. Том. 222 (2-е изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-13467-3 . ISBN  978-3319134666 . ISSN   0072-5285 . МР   3331229 .
• Хамфрис, Джеймс Э. (1978). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для аспирантов по математике. Том. 9 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-90053-7 . МР   0499562 .
• Джейкобсон, Натан (1979) [1962]. Алгебры лжи . Дувр. ISBN  978-0-486-63832-4 . МР   0559927 .
• Хухро, Э.И. (1998), p-автоморфизмы конечных p-групп , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511526008 , ISBN  0-521-59717-Х , МР   1615819
• Кнапп, Энтони В. (2001) [1986], Теория представлений полупростых групп: обзор, основанный на примерах , Princeton University Press , ISBN  0-691-09089-0 , МР   1880691
• Милнор, Джон (2010) [1986], «Замечания о бесконечномерных группах Ли», Сборник статей Джона Милнора , том. 5, стр. 91–141, ISBN.  978-0-8218-4876-0 , МР   0830252
• О'Коннор, Джей Джей ; Робертсон, Э.Ф. (2000). «Ложь Мариуса Софуса» . MacTutor Архив истории математики.
• О'Коннор, Джей Джей ; Робертсон, Э.Ф. (2005). «Вильгельм Карл Йозеф Убийство» . MacTutor Архив истории математики.
• Куиллен, Дэниел (1969), «Рациональная гомотопическая теория», Annals of Mathematics , 90 (2): 205–295, doi : 10.2307/1970725 , JSTOR   1970725 , MR   0258031
• Серр, Жан-Пьер (2006). Алгебры Ли и группы Ли (2-е изд.). Спрингер. ISBN  978-3-540-55008-2 . МР   2179691 .
• Варадараджан, Виравали С. (1984) [1974]. Группы Ли, алгебры Ли и их представления . Спрингер. ISBN  978-0-387-90969-1 . МР   0746308 .
• Вигнер, Юджин (1959). Теория групп и ее применение к квантовой механике атомных спектров . Перевод Джей Джей Гриффина. Академическая пресса . ISBN  978-0127505503 . МР   0106711 .

Внешние ссылки

• Кац, Виктор Г .; и др. Конспекты курса MIT 18.745: Введение в алгебры Ли . Архивировано из оригинала 20 апреля 2010 г.
• «Алгебра Ли» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Маккензи, Дуглас (2015). «Элементарное введение в алгебры Ли для физиков» .