Про -п группа

В математике про - p- группа (для некоторого простого числа p ) — это проконечная группа. $G$ такая, что для любой открытой нормальной подгруппы $N\triangleleft G$ факторгруппа ​ $G/N$ является p -группой . Обратите внимание, что, поскольку проконечные группы компактны , открытые подгруппы являются в точности замкнутыми подгруппами конечного индекса , так что дискретная факторгруппа всегда конечна.

Альтернативно, можно определить про- p -группу как обратный предел дискретных обратной системы конечных p -групп.

Наиболее изученный (и исторически наиболее важный) класс про- p -групп — это p -адические аналитические группы: группы со структурой аналитического многообразия над $\mathbb {Q} _{p}$ такие, что групповое умножение и инверсия являются аналитическими функциями.Работа Любоцкого и Манна в сочетании с Мишеля Лазара решением пятой проблемы Гильберта над p -адическими числами показывает, что про -p -группа является p -адической аналитической тогда и только тогда, когда она имеет конечный ранг , т. е. существует положительное целое число $r$ такая, что любая замкнутая подгруппа имеет топологический порождающий набор не более чем $r$ элементы. В более общем смысле было показано, что конечно порожденная проконечная группа является компактной p-адической группой Ли тогда и только тогда, когда она имеет открытую подгруппу, которая является равномерно мощной про-p-группой.

Теоремы о коклассах были доказаны в 1994 г. А. Шалевым и независимо Ч. Р. Лидэм-Грин. Теорема D является одной из таких теорем и утверждает, что для любого простого числа p и любого натурального числа r существует только конечное число про- p групп кокласса r . Этот результат о конечности является фундаментальным для классификации конечных p -групп с помощью ориентированных графов коклассов .

Примеры

• Канонический пример - p -адические целые числа.

$\mathbb {Z} _{p}=\displaystyle \varprojlim \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .$

• Группа $\ GL_{n}(\mathbb {Z} _{p})$ обратимых n на n матриц над $\ \mathbb {Z} _{p}$ имеет открытую подгруппу U, состоящую из всех матриц, конгруэнтных единичной матрице по модулю $\ p\mathbb {Z} _{p}$. Эта группа U является про -п -группой. Фактически все упомянутые выше p -адические аналитические группы можно найти как замкнутые подгруппы $\ GL_{n}(\mathbb {Z} _{p})$ для некоторого целого числа n ,
• Любая конечная p -группа также является про- p -группой (относительно постоянной обратной системы).
• Факт: Конечный гомоморфный образ про-p-группы является p-группой. (благодаря Ж. П. Серру)

См. также

• Остаточная собственность (математика)
• Проконечная группа (см. свойство или факт 5)

Ссылки

• Диксон, доктор медицинских наук; дю Сотуа, MPF ; Манн, А.; Сигал, Д. (1991), Аналитические про-p-группы , Cambridge University Press , ISBN  0-521-39580-1 , МР   1152800
• дю Сотуа, М.; Сигал, Д.; Шалев, А. (2000), Новые горизонты в группах поддержки , Биркхойзер, ISBN  0-8176-4171-8