Реальная форма (теория лжи)

В математике понятие действительной формы связывает объекты, определенные в действительных и поле комплексных чисел . Вещественная алгебра Ли g0 _, называется вещественной формой Ли g если g является комплексификацией g0 : _{алгебры} комплексной

{\mathfrak {g}}\simeq {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .

Понятие вещественной формы можно определить и для комплексных групп Ли . Реальные формы комплексных полупростых групп Ли и алгебр Ли были полностью классифицированы Эли Картаном .

Вещественные формы групп Ли и алгебраических групп

Используя соответствие Ли между группами Ли и алгебрами Ли , понятие вещественной формы может быть определено для групп Ли. В случае линейных алгебраических групп понятия комплексификации и вещественной формы имеют естественное описание на языке алгебраической геометрии .

Классификация

Подобно тому, как сложные полупростые алгебры Ли классифицируются диаграммами Дынкина , вещественные формы полупростой алгебры Ли классифицируются диаграммами Сатаке , которые получаются из диаграммы Дынкина комплексного вида путем пометки одних вершин черными (заполненными) и соединения некоторых других вершины попарно стрелками по определенным правилам.

Основным фактом структурной теории комплексных полупростых алгебр Ли является то, что каждая такая алгебра имеет две специальные действительные формы: одна является компактной вещественной формой и соответствует компактной группе Ли при соответствии Ли (ее диаграмма Сатаке имеет все вершины зачерненные) , а другой представляет собой расщепленную вещественную форму и соответствует группе Ли, которая максимально далека от компактности (ее диаграмма Сатаке не имеет зачерненных вершин и стрелок). В случае комплексной специальной линейной группы SL ( n , C ) компактная вещественная форма — это специальная унитарная группа SU ( n ), а расщепленная вещественная форма — это вещественная специальная линейная группа SL ( n , R ). Классификация вещественных форм полупростых алгебр Ли была выполнена Эли Картаном в контексте римановых симметрических пространств . В общем, реальных форм может быть более двух.

Предположим, что — _g0 полупростая алгебра Ли над полем действительных чисел. По критерию Картана форма Киллинга невырождена и может быть диагонализована в подходящем базисе с диагональными элементами +1 или -1. По закону инерции Сильвестра количество положительных записей, или положительный индекс инерции, является инвариантом билинейной формы, т. е. не зависит от выбора диагонализирующего базиса. Это число между 0 и размерностью g , которое является важным инвариантом реальной алгебры Ли, называемым ее индексом .

Разделить реальную форму

Вещественная форма g0 _, конечномерной комплексной полупростой алгебры Ли g называется расщепляемой или нормальной каждом Картана g0 _{разложении} = k0 _⊕ в p0 _если пространство p0 _{содержит} максимальную абелеву подалгебру в g0 _. , т.е. ее подалгебра Картана . Эли Картан доказал, что каждая комплексная полупростая алгебра Ли g имеет расщепляемую вещественную форму, единственную с точностью до изоморфизма. ^[1] Она имеет максимальный индекс среди всех вещественных форм.

Разбитая форма соответствует диаграмме Сатаке без зачерненных вершин и стрелок.

Компактная реальная форма

Вещественная алгебра Ли g ₀ называется компактной , если форма Киллинга , отрицательно определена т. е. индекс g ₀ равен нулю. случае g0 _k0 = В _этом — компактная алгебра Ли . Известно, что при лиевом соответствии компактные алгебры Ли соответствуют компактным группам Ли .

Компактная форма соответствует диаграмме Сатаке , все вершины которой зачернены.

Построение компактной вещественной формы

В общем, при построении компактной вещественной формы используется структурная теория полупростых алгебр Ли. Для классических алгебр Ли существует более явная конструкция.

Пусть g ₀ — вещественная алгебра Ли матриц над R , замкнутая относительно транспонированного отображения:

X\to {X}^{t}.

Тогда g ₀ разлагается в прямую сумму своей кососимметричной части k ₀ и симметричной части p ₀ . Это разложение Картана :

{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}.

Комплексификация g g и ₀ прямую сумму g ₀ ig распадается на ₀ . Действительное векторное пространство матриц

{\mathfrak {u}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus i{\mathfrak {p}}_{0}

подпространство комплексной алгебры Ли g — замкнутое относительно коммутаторов , состоящее из косоэрмитовых матриц . Отсюда следует, что u0 _{(что делает ее} — действительная подалгебра Ли в g , что ее форма Киллинга определена компактной алгеброй Ли) и что комплексификация u0 _{отрицательно} есть g . Следовательно, u0 _. компактная форма g —

См. также

Комплексификация (группа Ли)

Примечания

^ Хельгасон 1978 , с. 426

Ссылки

Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
Кнапп, Энтони (2004), Группы Ли: помимо введения , Progress in Mathematics, vol. 140, Биркхойзер, ISBN 0-8176-4259-5

[1] Хельгасон 1978 , с. 426

[1]