Нарисуйте диаграмму

В математическом исследовании алгебр Ли и групп Ли диаграмма Сатаке является обобщением диаграммы Дынкина , введенной Сатаке ( 1960 , стр.109), конфигурации которой классифицируют простые алгебры Ли над полем действительных чисел . Диаграммы Сатаке, связанные с диаграммой Дынкина, классифицируют вещественные формы комплексной алгебры Ли, соответствующей диаграмме Дынкина.

В более общем смысле, индекс Титса или диаграмма Сатаке-Титса редуктивной алгебраической группы над полем представляет собой обобщение диаграммы Сатаке на произвольные поля, введенное Титсом ( 1966 ), которое сводит классификацию редуктивных алгебраических групп к классификации анизотропных редуктивных групп. алгебраические группы.

Диаграммы Сатаке — это не то же самое, что диаграммы Вогана группы Ли, хотя они выглядят похоже.

Определение

Диаграмма Сатаке получается из диаграммы Дынкина путем закрашивания некоторых вершин и соединения других вершин попарно стрелками по определенным правилам.

Предположим, что G — алгебраическая группа, определенная над полем k , например вещественными числами. Пусть S — максимальный расщепляемый тор в G , а T — максимальный тор, содержащий S, определенный над сепарабельным алгебраическим замыканием K группы k . Тогда G ( K ) имеет диаграмму Дынкина относительно некоторого выбора положительных T. корней Эта диаграмма Дынкина имеет естественное действие группы Галуа группы K / k . Также некоторые простые корни исчезают на S . Диаграмма Сатаке-Титса задается диаграммой Дынкина D вместе с действием группы Галуа, при этом простые корни, исчезающие на S, окрашены в черный цвет. В случае, когда k — поле действительных чисел, абсолютная группа Галуа имеет порядок 2, а ее действие на D выражается рисованием сопряженных точек диаграммы Дынкина рядом друг с другом, а диаграмма Сатаке–Титса называется диаграммой Сатаке. .

Примеры

• Компактные алгебры Ли соответствуют диаграмме Сатаке со всеми зачерненными вершинами.
• Расщепляемые алгебры Ли соответствуют диаграмме Сатаке только с белыми (т. е. не зачерненными) и неспаренными вершинами.
• Таблицу можно найти по адресу ( Онищик и Винберг 1994 , табл. 4, стр. 229–230 ).

Сатаке и

Диаграммы Сатаке и Вогана используются для классификации полупростых групп или алгебр (или алгебраических групп) Ли над действительными числами, и обе состоят из диаграмм Дынкина, обогащенных за счет чернения подмножества узлов и соединения некоторых пар вершин стрелками. Диаграммы Сатаке, однако, могут быть обобщены на любое поле (см. выше) и подпадают под общую парадигму когомологий Галуа , тогда как диаграммы Вогана определяются конкретно по действительным числам. Вообще говоря, структура реальной полупростой алгебры Ли более прозрачно закодирована в ее диаграмме Сатаке, но диаграммы Вогана проще классифицировать.

Существенное отличие состоит в том, что диаграмма Сатаке вещественной полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ с инволюцией Картана θ и связанной с ней парой Картана ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ (собственные пространства +1 и −1 θ ) определяются, начиная с максимально некомпактной θ -стабильной подалгебры Картана ${\mathfrak {h}}$, то есть такой, для которого $\theta ({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}$ и ${\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {k}}$ как можно меньше (в представлении выше ${\mathfrak {h}}$ появляется как алгебра Ли максимального расщепляемого тора S ), тогда как диаграммы Вогана определяются, начиная с максимально компактной θ -стабильной подалгебры Картана, т. е. такой, для которой $\theta ({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}$ и ${\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {k}}$ максимально велик.

Диаграмма Дынкина без украшений (т. е. диаграмма только с белыми узлами и без стрелок), когда ее интерпретируют как диаграмму Сатаке, представляет собой расщепленную вещественную форму алгебры Ли, тогда как она представляет собой компактную форму, когда ее интерпретируют как диаграмму Вогана.

См. также

• Относительная корневая система
• Список неприводимых индексов Титса

Ссылки

• Бамп, Дэниел (2004), Группы лжи , Тексты для выпускников по математике, том. 225, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4757-4094-3 , ISBN.  978-0-387-21154-1 , МР   2062813
• Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Аспирантура по математике , том. 34, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/gsm/034 , ISBN.  978-0-8218-2848-9 , МР   1834454
• Онищик А.Л.; Винберг, Эрнест Борисович (1994), Группы Ли и алгебры Ли III: структура групп Ли и алгебр Ли , Springer, ISBN  978-3-540-54683-2
• Сатаке, Ичиро (1960), «О представлениях и компактификациях симметричных римановых пространств», Annals of Mathematics , Second Series, 71 (1): 77–110, doi : 10.2307/1969880 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969880 , MR   0118775
• Сатаке, Ичиро (1971), Теория классификации полупростых алгебраических групп , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике, том. 3, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., ISBN  978-0-8247-1607-3 , МР   0316588
• Шпиндель, Филипп; Перссон, Дэниел; Хенно, Марк (2008), «Пространственноподобные особенности и скрытые симметрии гравитации» , «Живые обзоры относительно относительности » , 11 (1): 1, arXiv : 0710.1818 , Bibcode : 2008LRR....11....1H , doi : 10.12942 /lrr-2008-1 , PMC   5255974 , PMID   28179821
• Титс, Жак (1966), «Классификация алгебраических полупростых групп», Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Боулдер, Колорадо, 1965) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 33–62. , МР   0224710
• Титс, Жак (1971), «Неприводимые линейные представления редуктивной группы в произвольном поле» , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1971 (247): 196–220, doi : 10.1515/crll.1971.247.196 , ISSN   0075 -4102 , МР   0277536 , С2КИД   116999784