Список неприводимых индексов Титса

В математической теории линейных алгебраических групп ( индекс Титса или индекс ) — это объект, используемый для классификации полупростых алгебраических групп , определенных над базовым полем k , которое не считается алгебраически замкнутым . Возможные неприводимые индексы были классифицированы Жаком Титсом . и эта классификация воспроизведена ниже. (Поскольку каждый индекс представляет собой прямую сумму неприводимых индексов, классификация всех индексов равносильна классификации неприводимых индексов.)

Организация списка

Индекс можно представить в виде диаграммы Дынкина , в которой некоторые вершины нарисованы близко друг к другу (орбита вершин под *-действием группы Галуа поля k ) и с обведенными некоторыми наборами вершин (орбиты невыделенных вершины под *-действием). Это представление захватывает полную информацию индекса, за исключением случаев, когда базовая диаграмма Дынкина представляет собой D ₄ , и в этом случае необходимо различать действие циклической группы C ₃ или группы перестановок S ₃ .

В качестве альтернативы индекс может быть представлен с использованием имени базовой диаграммы Дайкина вместе с дополнительными верхними и нижними индексами, которые будут объяснены ниже. Это представление вместе с помеченной диаграммой Дынкина, описанной в предыдущем абзаце, отражает полную информацию индекса.

Обозначение индекса имеет вид ^г Икс ^т
_{п , р} , где

• X — буква базовой диаграммы Дынкина (A, B, C, D, E, F или G),
• n — количество вершин диаграммы Дынкина,
• r — относительный ранг соответствующей алгебраической группы,
• g — порядок фактора абсолютной группы Галуа, который точно действует на диаграмме Дынкина (поэтому g = 1, 2, 3 или 6), а
• это либо
  • степень определенного тела алгебры (т. е. квадратный корень из ее размерности), возникающая при построении алгебраической группы, когда группа имеет классический тип (A, B, C или D), и в этом случае t пишется в скобках или
  • размерность анизотропного ядра алгебраической группы, когда группа имеет исключительный тип (E, F или G), и в этом случае t пишется без скобок.

А _н

¹ А _н

Изображение :

Полное имя : ¹ А ^{( д )}
_{н, р}

Условия : d · ( r + 1) = n + 1, d ≥ 1.

Алгебраическая группа : Специальная линейная группа SL _{r +1} ( D ), где D — центральная алгебра с делением над k .

Специальные поля : Над конечным полем d = 1; над реальными числами d = 1 или 2; над p -адическим или числовым полем d произвольно.

² А _н

Изображение :

Полное имя : ² А ^{( д )}
_{н, р}

Условия : д | n + 1, d ≥ 1, 2 -й ≤ n + 1.

Алгебраическая группа : Специальная унитарная группа SU _{( n +1)/ d} ( D , h ), где D — центральная алгебра степени d над сепарабельным квадратичным расширением k' поля k , и где h — невырожденная эрмитова форма индекс r относительно единственного нетривиального k- автоморфизма k' .

Специальные поля : над конечным полем d = 1 и r = ⌊( n +1)/2⌋; над реальными числами d = 1; над p -адическим полем d = 1 и n = 2 r − 1; над числовым полем d и r произвольны.

Б _н

Изображение :

Полное имя : Б _н,р

Условия : нет.

Алгебраическая группа : специальная ортогональная группа SO _{2 n +1} ( k , q ), где q — квадратичная форма индекса r и дефект 1, если k имеет характеристику 2.

Специальные поля : над конечным полем r = n ; над p -адическим полем r = n или n − 1; над вещественными числами или числовым полем r произвольно.

С _н

Изображение :

Полное имя : С. ^{( д )}
_{н, р}

Условия : d = 2 ^а | 2 н , д ≥ 1; n = r , если d = 1.

Алгебраическая группа : специальная унитарная группа SU _{2 n / d} ( D , h ), где D — тело степени d над k , а h — невырожденная антиэрмитова форма относительно k -линейной инволюции σ группы D (также называемой «инволюция первого рода») такая, что подкольцо неподвижной точки D ^п имеет размерность 1/2 d ( d + 1); или, что то же самое, когда d > 1 и char k ≠ 2, группа SU _{2 n / d} , где D и h такие же, как указано выше, за исключением того, что h эрмитова, а D имеет размерность 1/2 d ( d − 1). Когда d = 1, эта группа является симплектической группой Sp _{2 n} ( k ).

Специальные поля : Над конечным полем d = 1; над вещественными числами или числовым полем d = 1 (и r = n ) или d = 2; над p -адическим полем d = 1 (и r = n ) или d = 2 и n = 2 r или 2 r − 1.

Д _н

¹ Д _н

Изображение :

Полное имя : ¹ Д ^{( д )}
_{н, р}

Условия : d — степень двойки, d | 2 n , d ≥ 1, rd ≤ n , n ≠ rd + 1.

Алгебраическая группа : если k имеет характеристику 2, то же самое, что и для C _n, за исключением того, что h является эрмитовой формой дискриминанта 1 и индекса r .

Специальные поля : над конечным полем d = 1 и n = r ; над вещественными числами d = 1 и n − r = 2 m или d = 2 и n = 2 r ; над p -адическим полем d = 1 и r = n или n − 2, или d = 2 и n = 2 r или 2 r + 3; над числовым полем d = 1 и n − r = 2 м или d = 2 и n − 2 r = 2 м или 3.

² Д _н

Полное имя : ² Д ^{( д )}
_{н, р}

Изображение :

³ Д ²⁸
_4,0

Изображение :

⁶ Д ²⁸
_4,0

Изображение :

³ Д ⁹
_4,1

Изображение :

⁶ Д ⁹
_4,1

Изображение :

³ Д ²
_4,2

Изображение :

⁶ Д ²
_4,2

Изображение :

E₆

¹ И ⁷⁸
_6,0

Изображение :

¹ И ²⁸
_6,2

Изображение :

¹ И ¹⁶
_6,2

Изображение :

¹ И ⁰
_6,6

Изображение :

² И ⁷⁸
_6,0

Изображение :

² И ³⁵
_6,1

Изображение :

² И ²⁹
_6,1

Изображение :

² И ^16'
_6,2

Изображение :

² И ^{16 дюймов}
_6,2

Изображение :

² И ²
_6,4

Изображение :

Е ₇

И ¹³³
_7,0

Изображение :

И ⁷⁸
_7,1

Изображение :

И ⁶⁶
_7,1

Изображение :

И ⁴⁸
_7,1

Изображение :

И ³¹
_7,2

Изображение :

И ²⁸
_7,3

Изображение :

И ⁹
_7,4

Изображение :

И ⁰
_7,7

Изображение :

Е ₈

И ²⁴⁸
_8,0

Изображение :

И ¹³³
_8,1

Изображение :

И ⁹¹
_8,1

Изображение :

И ⁷⁸
_8,2

Изображение :

И ⁶⁶
_8,2

Изображение :

И ²⁸
_8,4

Изображение :

И ⁰
_8,8

Изображение :

Ф ₄

Ф ⁵²
_4,0

Изображение :

Алгебраическая группа : группа автоморфизмов исключительной простой йордановой алгебры J , которая не содержит ненулевых нильпотентных элементов.

Ф ²¹
_4,1

Изображение :

Алгебраическая группа : группа автоморфизмов исключительной простой йордановой алгебры J , содержащей ненулевые нильпотентные элементы, никакие два из которых не являются непропорциональными и ортогональными.

Ф ⁰
_4,4

Изображение :

Алгебраическая группа : группа автоморфизмов исключительной простой йордановой алгебры J, содержащей непропорциональные ортогональные нильпотентные элементы.

Г ₂

Группа типа G2 _всегда является группой автоморфизмов алгебры октонионов .

г ¹⁴
_2,0

Изображение :

Алгебраическая группа : группа автоморфизмов алгебры октонионов с делением .

Специальные поля : существуют над действительными и числовыми полями; не существует над конечными полями или над p -адическим полем.

г ⁰
_2,2

Изображение :

Алгебраическая группа : группа автоморфизмов расщепленной алгебры октонионов .

Специальные поля : существуют в конечном поле, вещественных числах, p -адическом поле и числовом поле.

Ссылки

• Титс, Жак (1966), «Классификация алгебраических полупростых групп», Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Боулдер, Колорадо, 1965) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 33–62 , МР   0224710
• Джейкобсон, Натан (1939), «Числа Кэли и простые алгебры Ли типа G», Duke Mathematical Journal , 5 : 775–783, doi : 10.1215/s0012-7094-39-00562-4
• Спрингер, Тонни А. (1998) [1981], Линейные алгебраические группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Биркхойзер, ISBN  0-8176-4021-5 , МР   1642713