Нарисуйте диаграмму

В математическом исследовании алгебр Ли и групп Ли диаграмма Сатаке является обобщением диаграммы Дынкина , введенной Сатаке ( 1960 , стр.109), конфигурации которой классифицируют простые алгебры Ли над полем действительных чисел . Диаграммы Сатаке, связанные с диаграммой Дынкина, классифицируют вещественные формы комплексной алгебры Ли, соответствующей диаграмме Дынкина.

В более общем смысле, индекс Титса или диаграмма Сатаке-Титса редуктивной алгебраической группы над полем представляет собой обобщение диаграммы Сатаке на произвольные поля, введенное Титсом ( 1966 ), которое сводит классификацию редуктивных алгебраических групп к классификации анизотропных редуктивных групп. алгебраические группы.

Диаграммы Сатаке — это не то же самое, что диаграммы Вогана группы Ли, хотя они выглядят похоже.

Определение

Диаграмма Сатаке получается из диаграммы Дынкина путем закрашивания некоторых вершин и соединения других вершин попарно стрелками по определенным правилам.

Предположим, что G — алгебраическая группа, определенная над полем k , например вещественными числами. Пусть S — максимальный расщепляемый тор в G , а T — максимальный тор, содержащий S, определенный над сепарабельным алгебраическим замыканием K группы k . Тогда G ( K ) имеет диаграмму Дынкина относительно некоторого выбора положительных T. корней Эта диаграмма Дынкина имеет естественное действие группы Галуа группы K / k . Также некоторые простые корни исчезают на S . Диаграмма Сатаке-Титса задается диаграммой Дынкина D вместе с действием группы Галуа, при этом простые корни, исчезающие на S, окрашены в черный цвет. В случае, когда k — поле действительных чисел, абсолютная группа Галуа имеет порядок 2, и ее действие на D выражается рисованием сопряженных точек диаграммы Дынкина рядом друг с другом, а диаграмма Сатаке–Титса называется диаграммой Сатаке. .

Примеры

Компактные алгебры Ли соответствуют диаграмме Сатаке со всеми зачерненными вершинами.
Расщепляемые алгебры Ли соответствуют диаграмме Сатаке только с белыми (т. е. не зачерненными) и неспаренными вершинами.
Таблицу можно найти по адресу ( Онищик и Винберг 1994 , табл. 4, стр. 229–230 ).

Различия между диаграммами Сатаке и Вогана

Диаграммы Сатаке и Вогана используются для классификации полупростых групп или алгебр (или алгебраических групп) Ли над действительными числами, и обе состоят из диаграмм Дынкина, обогащенных за счет чернения подмножества узлов и соединения некоторых пар вершин стрелками. Диаграммы Сатаке, однако, могут быть обобщены на любое поле (см. выше) и подпадают под общую парадигму когомологий Галуа , тогда как диаграммы Вогана определяются конкретно по действительным числам. Вообще говоря, структура реальной полупростой алгебры Ли более прозрачно закодирована в ее диаграмме Сатаке, но диаграммы Вогана проще классифицировать.

Существенное отличие состоит в том, что диаграмма Сатаке вещественной полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ с инволюцией Картана θ и связанной с ней парой Картана ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ (собственные пространства +1 и −1 θ ) определяются, начиная с максимально некомпактной θ -стабильной подалгебры Картана ${\mathfrak {h}}$ , то есть такой, для которого $\theta ({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}$ и ${\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {k}}$ как можно меньше (в представлении выше ${\mathfrak {h}}$ появляется как алгебра Ли максимального расщепляемого тора S ), тогда как диаграммы Вогана определяются, начиная с максимально компактной θ -стабильной подалгебры Картана, т. е. такой, для которой $\theta ({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}$ и ${\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {k}}$ максимально велик.

Диаграмма Дынкина без украшений (т. е. диаграмма только с белыми узлами и без стрелок), когда ее интерпретируют как диаграмму Сатаке, представляет собой расщепленную вещественную форму алгебры Ли, тогда как она представляет собой компактную форму, когда ее интерпретируют как диаграмму Вогана.

См. также

Ссылки

Бамп, Дэниел (2004), Группы лжи , Тексты для выпускников по математике, том. 225, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4757-4094-3 , ISBN. 978-0-387-21154-1 , МР 2062813
Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Аспирантура по математике , том. 34, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/gsm/034 , ISBN. 978-0-8218-2848-9 , МР 1834454
Онищик А.Л.; Винберг, Эрнест Борисович (1994), Группы Ли и алгебры Ли III: структура групп Ли и алгебр Ли , Springer, ISBN 978-3-540-54683-2
Сатаке, Ичиро (1960), «О представлениях и компактификациях симметричных римановых пространств», Annals of Mathematics , Second Series, 71 (1): 77–110, doi : 10.2307/1969880 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969880 , MR 0118775
Сатаке, Ичиро (1971), Теория классификации полупростых алгебраических групп , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике, том. 3, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-1607-3 , МР 0316588
Шпиндель, Филипп; Перссон, Дэниел; Хенно, Марк (2008), «Пространственноподобные особенности и скрытые симметрии гравитации» , «Живые обзоры относительно относительности » , 11 (1): 1, arXiv : 0710.1818 , Bibcode : 2008LRR....11....1H , doi : 10.12942 /lrr-2008-1 , PMC 5255974 , PMID 28179821
Титс, Жак (1966), «Классификация алгебраических полупростых групп», Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Боулдер, Колорадо, 1965) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 33–62. , МР 0224710
Титс, Жак (1971), «Неприводимые линейные представления редуктивной группы в произвольном поле» , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1971 (247): 196–220, doi : 10.1515/crll.1971.247.196 , ISSN 0075 -4102 , МР 0277536 , С2КИД 116999784