Ограниченная алгебра Ли

В математике ограниченная алгебра Ли (или p -алгебра Ли ) — это алгебра Ли над полем характеристики > 0 вместе p с дополнительной операцией « p -й степени». Большинство естественно встречающихся алгебр Ли характеристики p имеют такую ​​структуру, поскольку алгебра Ли групповой схемы над полем характеристики p ограничена.

Определение

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли над полем k характеристики p >0. Присоединенное представление ​ ${\mathfrak {g}}$ определяется $({\text{ad }}X)(Y)=[X,Y]$ для $X,Y\in {\mathfrak {g}}$. A p - отображение на ${\mathfrak {g}}$ это функция от ${\mathfrak {g}}$ самому себе, $X\mapsto X^{[p]}$, удовлетворяя:

• $\mathrm {ad} (X^{[p]})=(\mathrm {ad} \;X)^{p}$ для всех $X\in {\mathfrak {g}}$,
• $(tX)^{[p]}=t^{p}X^{[p]}$ для всех $t\in k$ и $X\in {\mathfrak {g}}$,
• $(X+Y)^{[p]}=X^{[p]}+Y^{[p]}+\sum _{i=1}^{p-1}s_{i}(X,Y)$ для всех $X,Y\in {\mathfrak {g}}$, где $s_{i}(X,Y)$ является $1/i$ раз коэффициент $t^{i-1}$ в формальном выражении $(\mathrm {ad} \;tX+Y)^{p-1}(X)$.

Натан Джейкобсон (1937) определил ограниченную алгебру Ли над k как алгебру Ли над k вместе с p -отображением. Алгебра Ли называется ограничиваемой , если она имеет хотя бы одно p -отображение. По первому свойству, приведенному выше, в ограниченной алгебре Ли вывод $(\mathrm {ad} \;X)^{p}$ из ${\mathfrak {g}}$ является внутренним для каждого $X\in {\mathfrak {g}}$. Фактически, алгебра Ли ограничена тогда и только тогда, когда выполнен вывод $(\mathrm {ad} \;X)^{p}$ из ${\mathfrak {g}}$ является внутренним для каждого $X\in {\mathfrak {g}}$.

Например:

• При p = 2 ограниченная алгебра Ли имеет $(X+Y)^{[2]}=X^{[2]}+[Y,X]+Y^{[2]}$.
• При p = 3 ограниченная алгебра Ли имеет $(X+Y)^{[3]}=X^{[3]}+{\frac {1}{2}}[X,[Y,X]]+[Y,[Y,X]]+Y^{[3]}$. С ${\frac {1}{2}}=-1$ в поле характеристики 3 это можно переписать как $(X+Y)^{[3]}=X^{[3]}-[X,[Y,X]]+[Y,[Y,X]]+Y^{[3]}$.

Примеры

Для ассоциативной алгебры A над полем k характеристики p > 0 коммутатор $[X,Y]:=XY-YX$ и p -отображение $X^{[p]}:=X^{p}$ превратить A в ограниченную алгебру Ли. В частности, если взять A в качестве кольца размера n x n, матриц то будет показано, что алгебра Ли ${\mathfrak {gl}}(n)$ матриц n x n p над k является ограниченной алгеброй Ли, где - отображение является p -й степенью матрицы. Это «объясняет» определение ограниченной алгебры Ли: сложную формулу для $(X+Y)^{[p]}$ необходим для выражения p- й степени суммы двух матриц над k , $(X+Y)^{p}$, учитывая, что X и Y обычно не коммутируют.

Пусть A — алгебра над полем k . (Здесь A — возможно, неассоциативная алгебра .) Тогда над k дифференцирования A образуют алгебру Ли ${\text{Der}}_{k}(A)$, где скобка Ли является коммутатором, $[D_{1},D_{2}]:=D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}$. Когда k имеет характеристику p > 0, то повторение вывода p раз дает вывод, и это делает ${\text{Der}}_{k}(A)$ в ограниченную алгебру Ли. Если A имеет конечную размерность как векторное пространство, то ${\text{Der}}_{k}(A)$ — алгебра Ли групповой схемы автоморфизмов A над k ; это показывает, почему пространства дифференцирований являются естественным способом построения алгебр Ли.

Пусть G — групповая схема над полем k характеристики p >0 и пусть $\mathrm {Lie} (G)$ — касательное пространство Зариского в единичном элементе G . Затем $\mathrm {Lie} (G)$ является ограниченной алгеброй Ли над k . По сути, это частный случай предыдущего примера. Действительно, каждый элемент X из $\mathrm {Lie} (G)$ определяет левоинвариантное векторное поле на G и, следовательно, левоинвариантное дифференцирование на кольце регулярных функций на G . -я степень P этого вывода снова является левоинвариантным выводом, следовательно, вывод, связанный с элементом $X^{[p]}$ из $\mathrm {Lie} (G)$. И наоборот, каждая ограниченная алгебра Ли конечной размерности над k является алгеброй Ли групповой схемы. Фактически, $G\mapsto \mathrm {Lie} (G)$ является эквивалентностью категорий из конечных групповых схем G высоты не выше 1 над k (т.е. $f^{p}=0$ для всех регулярных функций f на G , обращающихся в нуль в единице) к ограниченным алгебрам Ли конечной размерности над k .

В некотором смысле это означает, что теория Ли менее эффективна в положительной характеристике, чем в нулевой характеристике. В характеристике p >0 мультипликативная группа $G_{m}$ (размерности 1) и ее конечная схема подгрупп $\mu _{p}=\{x\in G_{m}:x^{p}=1\}$ имеют одну и ту же ограниченную алгебру Ли, а именно векторное пространство k с p -отображением $a^{[p]}=a^{p}$. В более общем смысле, ограниченная алгебра Ли групповой схемы G над k зависит только от ядра гомоморфизма Фробениуса на G , который является подгрупповой схемой высоты не более 1. Другой пример: алгебра Ли аддитивной группы $G_{a}$ — векторное пространство k с p -отображением, равным нулю. Соответствующее ядро ​​Фробениуса представляет собой схему подгрупп $\alpha _{p}=\{x\in G_{a}:x^{p}=0\}.$

Для схемы X над полем k характеристики p >0 пространство $H^{0}(X,TX)$ векторных полей на X является ограниченной алгеброй Ли над k . (Если X аффинно что , так $X={\text{Spec}}(A)$ для коммутативной k -алгебры A это алгебра Ли дифференцирований A над k . В общем, можно неформально думать о $H^{0}(X,TX)$ как алгебра Ли группы автоморфизмов X над k .) Действие групповой схемы G на X определяет гомоморфизм ${\text{Lie}}(G)\to H^{0}(X,TX)$ ограниченных алгебр Ли.

Выбор p -отображения

Даны два p -отображения на алгебре Ли. ${\mathfrak {g}}$, их разность является p -линейной функцией от ${\mathfrak {g}}$ в центр ${\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})$. ( p -линейность означает, что $f(X+Y)=f(X)+f(Y)$ и $f(tX)=t^{p}f(X)$.) Таким образом, если центр ${\mathfrak {g}}$ равно нулю, то ${\mathfrak {g}}$ является ограниченной алгеброй Ли не более чем в одном смысле. В частности, этот комментарий относится к любой простой алгебре Ли характеристики p >0.

Ограниченная обертывающая алгебра

Функтор, переводящий ассоциативную алгебру A над k в A как ограниченную алгебру Ли, имеет левый сопряженный ${\mathfrak {g}}\mapsto u({\mathfrak {g}})$, называемая ограниченной обертывающей алгеброй . Чтобы построить это, пусть $U({\mathfrak {g}})$ — универсальная обертывающая алгебра ${\mathfrak {g}}$ над k (игнорируя p -отображение ${\mathfrak {g}}$). Пусть I — двусторонний идеал , порожденный элементами $X^{p}-X^{[p]}$ для $X\in {\mathfrak {g}}$; то ограниченная обертывающая алгебра является факторкольцом $u({\mathfrak {g}})=U({\mathfrak {g}})/I$. Он удовлетворяет одной из форм теоремы Пуанкаре – Биркгофа – Витта : если $e_{1},\ldots ,e_{n}$ является основой для ${\mathfrak {g}}$ как k -векторное пространство, то основа для $u({\mathfrak {g}})$ предоставляется всеми заказанными товарами $e_{1}^{i_{1}}\cdots e_{n}^{i_{n}}$ с $0\leq i_{j}\leq p-1$ для каждого j . В частности, карта ${\mathfrak {g}}\to u({\mathfrak {g}})$ инъективен, и если ${\mathfrak {g}}$ имеет размерность n как векторное пространство, тогда $u({\mathfrak {g}})$ имеет размерность $p^{n}$ как векторное пространство.

Ограниченное представление V ограниченной алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ является представлением ​ ${\mathfrak {g}}$ как алгебра Ли такая, что $X^{[p]}(v)=X^{p}(v)$ для всех $X\in {\mathfrak {g}}$ и $v\in V$. Ограниченное представительство ${\mathfrak {g}}$ эквивалентны модулям над ограниченной обертывающей алгеброй.

Классификация простых алгебр Ли

Простые алгебры Ли конечной размерности над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики были классифицированы Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном в 1880-х и 1890-х годах с использованием корневых систем . А именно, каждая простая алгебра Ли имеет тип _An , _Bn , _Cn , _Dn , _E6 , _E7 , _E8 , _F4 или _G2 . (Например, простая алгебра Ли типа An _— это алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}(n+1)$ ( n +1) x ( n +1) матриц нулевого следа .)

В характеристике p >0 классификация простых алгебраических групп такая же, как и в нулевой характеристике. Их алгебры Ли в большинстве случаев просты, поэтому существуют простые алгебры Ли An _, Bn _, Cn _, Dn _, E6 _, E7 _, E8 _, F4 _, G2 _, называемые (в этом контексте) классические простые алгебры Ли. (Поскольку классические простые алгебры Ли происходят из алгебраических групп, они ограничены.) Удивительно, но существует также много других конечномерных простых алгебр Ли с характеристикой p > 0. В частности, существуют простые алгебры Ли картановского типа , являющиеся конечномерными аналогами бесконечномерных алгебр Ли в нулевой характеристике, изученных Картаном. А именно, Картан изучал алгебру Ли векторных полей на гладком многообразии размерности n или подалгебру векторных полей, сохраняющих форму объема , симплектическую форму или контактную структуру . В характеристике p > 0 простые алгебры Ли картановского типа включают как ограничиваемые, так и неограничиваемые примеры.

Ричард Эрл Блок и Роберт Ли Уилсон (1988) классифицировали ограниченные простые алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики p >7. А именно, все они классического или картановского типа. Александр Премет и Хельмут Стрейд (2004) распространили классификацию на алгебры Ли, которые не требуют ограничений, а также на более широкий диапазон характеристик. (В характеристике 5 Айк Меликян нашел другое семейство простых алгебр Ли.) А именно, каждая простая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики p > 3 принадлежит к классическому, картановскому или меликяновскому типу.

Переписка Якобсона с Галуа

Соответствие Галуа Якобсона для чисто неразделимых расширений полей выражается в терминах ограниченных алгебр Ли.

Ссылки

• Блок, Ричард Э .; Уилсон, Роберт Ли (1988), «Классификация ограниченных простых алгебр Ли», Journal of Algebra , 114 (1): 115–259, doi : 10.1016/0021-8693(88)90216-5 , ISSN   0021-8693 , МР   0931904 .
• Демазюр, Мишель ; Габриэль, Пьер (1970), Алгебраические группы. Том I: Алгебраическая геометрия, общие положения, коммутативные группы , Париж: Массон, ISBN  978-2225616662 , МР   0302656
• Джейкобсон, Натан (1979) [1962], алгебры Ли , Dover Publications , ISBN  0-486-63832-4 , МР   0559927
• Янцен, Йенс Карстен (2003) [1987], Представления алгебраических групп (2-е изд.), Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-3527-2 , МР   2015057
• Премет, Александр; Стрейд, Хельмут (2006), «Классификация конечномерных простых алгебр Ли в простых характеристиках», Представления алгебраических групп, квантовых групп и алгебр Ли , Современная математика, том. 413, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 185–214, arXiv : math/0601380 , MR   2263096.
• Страде, Хельмут; Фарнштейнер, Рольф (1988), Модульные алгебры Ли и их представления , Марсель Деккер , ISBN  0-8247-7594-5 , МР   0929682
• Стрейд, Хельмут (2004), Простые алгебры Ли над полями положительной характеристики , вып. 1, Вальтер де Грюйтер , ISBN  3-11-014211-2 , МР   2059133