Квазифробениусовая алгебра Ли

В математике квазифробениусовая алгебра Ли

$({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )$

над полем $k$ является алгеброй Ли

$({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,])$

снабжен невырожденной кососимметричной билинейной формой

$\beta :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to k$ алгебры , который является 2- коциклом Ли ${\mathfrak {g}}$ со значениями в $k$. Другими словами,

$\beta \left(\left[X,Y\right],Z\right)+\beta \left(\left[Z,X\right],Y\right)+\beta \left(\left[Y,Z\right],X\right)=0$

для всех $X$, $Y$, $Z$ в ${\mathfrak {g}}$.

Если $\beta$ является кограницей, а это означает, что существует линейная форма $f:{\mathfrak {g}}\to k$ такой, что

$\beta (X,Y)=f(\left[X,Y\right]),$

затем

$({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )$

называется алгеброй Ли Фробениуса .

Эквивалентность с прелиевыми алгебрами с невырожденной инвариантной кососимметричной билинейной формой

Если $({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )$ является квазифробениусовой алгеброй Ли, можно определить на ${\mathfrak {g}}$ еще один билинейный продукт $\triangleleft$ по формуле

$\beta \left(\left[X,Y\right],Z\right)=\beta \left(Z\triangleleft Y,X\right)$.

Тогда у человека есть $\left[X,Y\right]=X\triangleleft Y-Y\triangleleft X$ и

$({\mathfrak {g}},\triangleleft )$

является прелиевой алгеброй .

См. также

• Коалгебра лжи
• Биалгебра лжи
• Когомологии алгебры Ли
• Алгебра Фробениуса
• Кольцо КвазиФробениуса

Ссылки

• Джейкобсон, Натан, Алгебры Ли , Переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN   0-486-63832-4
• Виджаянти Чари и Эндрю Прессли, Путеводитель по квантовым группам , (1994), Cambridge University Press, Кембридж ISBN   0-521-55884-0 .