Кольцо КвазиФробениуса

В математике, особенно в теории колец , класс колец Фробениуса и их обобщения являются продолжением работы, проделанной над алгебрами Фробениуса . Вероятно, наиболее важным обобщением являются квазифробениусовые кольца (QF-кольца), которые, в свою очередь, обобщаются правыми псевдофробениусовыми кольцами (PF-кольцами) и правыми конечно псевдофробениусовыми кольцами (FPF-кольцами). Другие разнообразные обобщения квазифробениусовых колец включают QF-1 , QF-2 и QF-3 кольца .

Эти типы колец можно рассматривать как потомков алгебр, рассмотренных Георгом Фробениусом . Неполный список пионеров квазифробениусовых колец включает Р. Брауэра , К. Мориту , Т. Накаяму , К. Дж. Несбитта и Р. М. Тралла .

Определения

Кольцо R является квазифробениусовым тогда и только тогда, когда R удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

R нётерово с одной стороны и самоинъективно с одной стороны.
R артиново на стороне и самоинъективно на стороне.
Все правые (или все левые) R модули , которые являются проективными, также инъективны .
Все правые (или все левые) R- модули, инъективные, также проективны.

Кольцо Фробениуса R — это кольцо, удовлетворяющее любому из следующих эквивалентных условий. Пусть J J( R ) радикал Джекобсона R = .

R квазифробениусовский, а цоколь $\mathrm {soc} (R_{R})\cong R/J$ как правые R- модули.
R квазифробениусов и $\mathrm {soc} (_{R}R)\cong R/J$ как левые R- модули.
Как правые R- модули $\mathrm {soc} (R_{R})\cong R/J$ , и как левые R модули $\mathrm {soc} (_{R}R)\cong R/J$ .

Для коммутативного кольца R следующие условия эквивалентны:

R - Фробениус
R квазифробениусовский
R — конечная прямая сумма локальных артиновых колец, имеющих единственные минимальные идеалы . (Такие кольца являются примерами «нульмерных локальных колец Горенштейна ».)

Кольцо R является псевдофробениусовым справа, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

Каждый точный правый R- модуль является генератором категории правых R- модулей.
R самоинъективен справа и является когенератором Mod -R .
R самоинъективен справа и конечно копорожден как правый R- модуль.
R самоинъективно справа и правое кольцо Каша .
R самоинъективен справа, , soc( RR _{полулокален} ) является существенным подмодулем R. цоколь а
R — когенератор Mod- R и левое кольцо Каша.

Кольцо R является конечно псевдофробениусовым справа тогда и только тогда, когда каждый конечно порожденный точный правый модуль R является генератором Mod -R .

Обобщения Тралла QF-1,2,3

В своей основополагающей статье ( Тралл, 1948 ) Р.М. Тралл сосредоточил внимание на трех конкретных свойствах (конечномерных) QF-алгебр и изучил их изолированно. При дополнительных предположениях эти определения также можно использовать для обобщения колец КФ. Среди других математиков, пионеров этих обобщений, были К. Морита и Х. Тачикава.

Следуя ( Anderson & Fuller 1992 ), пусть R — левое или правое артиново кольцо:

R является QF-1, если все точные левые модули и точные правые модули являются сбалансированными модулями .
R является QF-2, если каждый неразложимый проективный правый модуль и каждый неразложимый проективный левый модуль имеют единственный минимальный подмодуль. (То есть у них простые цоколи.)
R является QF-3, если E ( RR _{инъективные} ) и E( _RR оболочки ) являются проективными модулями.

Схема нумерации не обязательно описывает иерархию. При более мягких условиях эти три класса колец могут не содержать друг друга. Однако в предположении, что R является левым или правым артиновым, кольца QF-2 являются QF-3. Есть даже пример кольца QF-1 и QF-3, которое не является QF-2.

Примеры

Любая k -алгебра Фробениуса является кольцом Фробениуса.
Каждое полупростое кольцо квазифробениусово, поскольку все модули проективны и инъективны. Однако верно даже больше: все полупростые кольца являются фробениусовыми. Это легко проверяется по определению, поскольку для полупростых колец $\mathrm {soc} (R_{R})=\mathrm {soc} (_{R}R)=R$ и J = рад( R ) = 0.
Фактор -кольцо $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ является QF для любого натурального числа n >1.
Все коммутативные артиновы серийные кольца являются фробениусовыми и фактически обладают дополнительным свойством: каждое фактор-кольцо R / I также является фробениусовым. Оказывается, среди коммутативных артиновых колец серийными являются именно те кольца, все (ненулевые) факторы которых являются фробениусовыми.
Многие экзотические кольца PF и FPF можно найти в качестве примеров в Faith & Page (1984).

См. также

Квазифробениусовая алгебра Ли

Примечания

Определения для QF, PF и FPF, как легко видеть, являются категориальными свойствами, и поэтому они сохраняются эквивалентностью Мориты , однако то, что они являются кольцами Фробениуса, не сохраняются.

Для односторонних нётеровых колец условия левого и правого PF совпадают с QF, но кольца FPF по-прежнему различны.

Конечномерная алгебра R над полем k -алгеброй Фробениуса является k тогда и только тогда, когда R — кольцо Фробениуса.

Кольца QF обладают тем свойством, что все их модули могут быть встроены в свободный R. модуль Это можно увидеть следующим образом. Модуль M вкладывается в свою инъективную оболочку E ( M ), которая теперь также проективна. Как проективный модуль, E ( M ) является слагаемым свободного модуля F , и поэтому E ( M ) вкладывается в F с отображением включения. Комбинируя эти две карты, вкладывается в F. M

Учебники

Андерсон, Фрэнк Уайли; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1
Вера, Карл; Пейдж, Стэнли (1984), Теория колец FPF: достоверные модули и генераторы Mod-$R$ , Серия лекций Лондонского математического общества № 88, Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511721250 , ISBN 0-521-27738-8 , МР 0754181
Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5 , МР 1653294
Николсон, ВК; Юсиф, MF (2003), Кольца Квази-Фробениуса , Cambridge University Press, ISBN 0-521-81593-2

Ссылки

Для колец QF-1, QF-2, QF-3:

Морита, Киити (1958), «Об алгебрах, для которых каждое точное представление является своим вторым коммутатором», Math. З. , 69 : 429–434, doi : 10.1007/bf01187420 , ISSN 0025-5874
Рингель, Клаус Майкл; Тачикава, Хироюки (1974), «Кольца ${\rm QF}-3$», Дж. Рейн Ангью. Математика , 272 : 49–72, ISSN 0075-4102.
Тралл, Р.М. (1948), «Некоторые обобщения квазифробениусовых алгебр», Trans. амер. Математика. Соц. , 64 : 173–183, doi : 10.1090/s0002-9947-1948-0026048-0 , ISSN 0002-9947