Сбалансированный модуль

В подполе абстрактной алгебры , известном как теория модулей , правый R- модуль M называется сбалансированным модулем (или говорят, что он обладает свойством двойного централизатора ), если каждый эндоморфизм абелевой группы M , который коммутирует со всеми R -эндоморфизмами M , является заданное умножением на кольцевой элемент. Явно, для любого аддитивного эндоморфизма f , если fg = gf для каждого R эндоморфизма g , то существует r в R такой, что f ( x ) = xr для всех x в M . В случае несбалансированных модулей найдется такое f , которое не выразимо таким образом.

На языке централизаторов сбалансированный модуль — это модуль, удовлетворяющий заключению теоремы о двойном централизаторе , то есть единственные эндоморфизмы группы M, коммутирующие со всеми R эндоморфизмами группы M, — это те, которые индуцированы правым умножением на кольцевые элементы.

Кольцо называется сбалансированным , если каждый правый модуль R сбалансирован. ^[1] Оказывается, сбалансированность — это условие симметрии колец слева и справа, поэтому нет необходимости добавлять к нему префикс «левый» или «правый».

Исследование сбалансированных модулей и колец является результатом изучения колец QF-1 и К. Дж. Несбиттом Р. М. Траллом . Это исследование было продолжено в диссертации В. П. Камилло и позднее получило полное развитие. В статье ( Dlab & Ringel 1972 ) дается особенно широкий взгляд со многими примерами. Помимо этих ссылок, К. Морита и Х. Тачикава также предоставили опубликованные и неопубликованные результаты. Неполный список авторов, внесших вклад в теорию сбалансированных модулей и колец, можно найти в ссылках.

Примеры и свойства

Примеры

Полупростые кольца сбалансированы. ^[2]
Любой ненулевой правый идеал над простым кольцом сбалансирован. ^[3]
Каждый точный модуль над квазифробениусовым кольцом сбалансирован. ^[4]
Теорема о двойном централизаторе для артиновых справа колец утверждает, что любой простой правый модуль R сбалансирован.
В статье ( Длаб и Рингель, 1972 ) содержатся многочисленные конструкции несбалансированных модулей.
было установлено В ( Nesbitt & Thrall, 1946 ) , что однорядные кольца сбалансированы. И наоборот, сбалансированное кольцо, конечно порожденное как модуль над своим центром, является цепным. ^[5]
Среди коммутативных артиновых колец сбалансированными кольцами являются в точности квазифробениусовые кольца . ^[6]

Характеристики

Быть «сбалансированным» — категориальное свойство модулей, то есть оно сохраняется эквивалентностью Морита . Явно, если F (–) является эквивалентностью Морита из категории модулей R в категорию модулей S и если M сбалансирован, то F ( M ) сбалансирован.
Структура сбалансированных колец также полностью определена в ( Dlab & Ringel 1972 ) и изложена в ( Faith 1999 , стр. 222–224).
Ввиду последнего пункта свойство быть сбалансированным кольцом является свойством Морита-инварианта.
На вопрос, в каких кольцах все конечно порожденные правые R- модули сбалансированы, уже дан ответ. Это условие оказывается эквивалентным кольца R. сбалансированности ^[7]

Примечания

^ Определения сбалансированных колец и модулей приведены в ( Camillo 1970 ), ( Cunningham & Rutter 1972 ), ( Dlab & Ringel 1972 ) и ( Faith 1999 ).
^ Бурбаки 1973 , §5, № 4, следствие 2.
^ Лам 2001 , стр.37.
^ Камилло и Фуллер 1972 .
^ Вера 1999 , стр.223.
^ Камилло 1970 , Теорема 21.
^ Длаб и Рингель 1972 .

Ссылки

Камилло, Виктор П. (1970), «Сбалансированные кольца и проблема Тралла», Пер. амер. Математика. Соц. , 149 : 143–153, doi : 10.1090/s0002-9947-1970-0260794-0 , ISSN 0002-9947 , MR 0260794

Бурбаки, Николя (1973), Алгебра, Глава 8: Модули и полупростые кольца , с. 50, ISBN 978-2-7056-1261-0

Камилло, вице-президент; Фуллер, К.Р. (1972), «Сбалансированные алгебры и алгебры QF-1», Proc. амер. Математика. Соц. , 34 (2): 373–378, doi : 10.1090/s0002-9939-1972-0306256-0 , ISSN 0002-9939 , MR 0306256

Каннингем, РС; Раттер, Э.А. младший (1972), «Свойство двойного централизатора категорично», Rocky Mountain J. Math. , 2 (4): 627–629, doi : 10.1216/rmj-1972-2-4-627 , ISSN 0035-7596 , MR 0310017

Длаб, Властимил; Рингель, Клаус Майкл (1972), «Кольца со свойством двойного централизатора» , J. Algebra , 22 (3): 480–501, doi : 10.1016/0021-8693(72)90163-9 , ISSN 0021-8693 , MR 0306258

Фейт, Карл (1999), Кольца и вещи и прекрасный набор ассоциативной алгебры двадцатого века , Математические обзоры и монографии, том. 65, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xxxiv+422, ISBN. 0-8218-0993-8 , МР 1657671
Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN. 0-387-95183-0 , МР 1838439
Несбитт, CJ; Тралл, РМ (1946), «Некоторые кольцевые теоремы с приложениями к модулярным представлениям», Ann. математики. , 2, 47 (3): 551–567, doi : 10.2307/1969092 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969092 , MR 0016760

[1] Определения сбалансированных колец и модулей приведены в ( Camillo 1970 ), ( Cunningham & Rutter 1972 ), ( Dlab & Ringel 1972 ) и ( Faith 1999 ).

[FOOTNOTEBourbaki1973§5,_No._4,_Corrolaire_2-2] Бурбаки 1973 , §5, № 4, следствие 2.

[FOOTNOTELam2001p.37-3] Лам 2001 , стр.37.

[FOOTNOTECamilloFuller1972-4] Камилло и Фуллер 1972 .

[FOOTNOTEFaith1999p.223-5] Вера 1999 , стр.223.

[FOOTNOTECamillo1970Theorem_21-6] Камилло 1970 , Теорема 21.

[FOOTNOTEDlabRingel1972-7] Длаб и Рингель 1972 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]