Последовательный модуль

В абстрактной алгебре M цепный модуль — это модуль над кольцом R , подмодули упорядочены которого полностью по включению . Это просто означает, что для любых двух подмодулей N ₁ и N ₂ модуля M либо $N_{1}\subseteq N_{2}$ или $N_{2}\subseteq N_{1}$ . Модуль называется последовательным, если он представляет собой прямую сумму последовательных модулей. Кольцо R называется цепным справа кольцом, если оно цепное как правый модуль над самим собой, и аналогично называется полуцепным справа кольцом, если оно является последовательным справа модулем над собой. Левое однорядное и левое последовательное кольца определяются аналогичным образом и в целом отличаются от своих правых аналогов.

Простой мотивирующий пример — факторкольцо. $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ для любого целого числа $n>1$ . Это кольцо всегда серийное и однорядное, если n — степень простого числа .

Термин «односерийный» использовался иначе, чем определение, приведенное выше: пояснения см. ниже .

Неполный алфавитный список важных авторов теории серийных колец включает математиков Кейзо Асано, И.С. Коэна, П.М. Кона , Ю. Дрозд, Д. Эйзенбуд , А. Факкини, А. В. Голди , Филип Гриффит, И. Капланский , В. В. Кириченко, Г. Кете , Х. Куппиш, И. Мурасе, Т. Накаяма , П. Пржихода, Г. Пунински и Р. Варфилд. Ссылки на каждого автора можно найти в ( Пунинский 2001а ) и ( Хазевинкель, Губарени и Кириченко 2004 ).

Следуя общему соглашению теории колец, если условие, зависящее слева/справа, задано без упоминания стороны (например, однорядное, серийное, артиново , нётерово ), то предполагается, что условие выполняется как слева, так и справа. Если не указано иное, каждое кольцо в этой статье является кольцом с единицей , а каждый модуль — единичным .

Свойства однорядных и последовательных колец и модулей [ править ]

Сразу видно, что в цепном R -модуле M все подмодули, кроме M и 0, являются одновременно существенными и лишними . Если M имеет максимальный подмодуль , то M — локальный модуль . M также, очевидно, является однородным модулем и, следовательно, непосредственно неразложим. Также легко увидеть, что каждый конечно порожденный подмодуль M может быть порожден одним элементом, и поэтому M является модулем Безу .

Известно, что кольцо эндоморфизмов End _R ( M ) является полулокальным кольцом , очень близким к локальному кольцу в том смысле, что End _R ( M ) имеет не более двух максимальных правых идеалов . Если M предполагается, что _{артиново или нётерово, то End R} ( M ) — локальное кольцо.

Поскольку кольца с единицей всегда имеют максимальный правый идеал, цепное справа кольцо обязательно локально. Как отмечалось ранее, конечно порожденный правый идеал может быть порожден одним элементом, поэтому цепные справа кольца являются Безу правыми кольцами . Правое последовательное кольцо R обязательно имеет вид $R=\oplus _{i=1}^{n}e_{i}R$ где каждый e _i — идемпотентный элемент , а e _i R — локальный последовательный модуль. Это указывает на то, что R также является полусовершенным кольцом , что является более сильным условием, чем полулокальное кольцо.

Кёте показал, что модули артиновых колец главных идеалов (которые являются частным случаем серийных колец) являются прямыми суммами циклических подмодулей . Позже Коэн и Капланский определили, что коммутативное кольцо R обладает этим свойством для своих модулей тогда и только тогда, когда R является артиновым кольцом главных идеалов. Накаяма показал, что артиновы последовательные кольца обладают этим свойством на своих модулях и что обратное неверно.

Пожалуй, наиболее общий результат о модулях серийного кольца принадлежит Дрозду и Уорфилду: он утверждает, что каждый конечно определенный модуль над серийным кольцом является прямой суммой циклических однорядных подмодулей (и, следовательно, является серийным). Если дополнительно предположить, что кольцо нётерово, то конечно представленные и конечно порожденные модули совпадают, и поэтому все конечно порожденные модули являются последовательными.

Праворядность сохраняется при прямых произведениях колец и модулей и сохраняется при факторах колец . Однорядность сохраняется для частных колец и модулей, но никогда для произведений. Прямое слагаемое последовательного модуля не обязательно является последовательным, как доказал Пунински, но прямые слагаемые конечных прямых сумм последовательных модулей являются последовательными модулями ( Příhoda 2004 ).

Было проверено, что гипотеза Якобсона верна в нетеровых серийных кольцах. ( Чаттерс и Хаджарнавис, 1980 )

Примеры [ править ]

Любой простой модуль тривиально последователен, а полупростые модули являются последовательными модулями.

Многие примеры серийных колец можно почерпнуть из структурных разделов выше. Каждое нормирование является цепным кольцом, а все артиновы кольца главных идеалов — серийными кольцами, что иллюстрируется полупростыми кольцами .

Более экзотические примеры включают верхние треугольные матрицы над телом T _n ( D ) и групповое кольцо $\mathbb {F} [G]$ для некоторого конечного поля характеристики простой имеющей p и группы G, циклическую нормальную p - силовскую подгруппу .

Структура [ править ]

В этом разделе речь пойдет в основном о нетеровских серийных кольцах и их подклассе — артиновых серийных кольцах. Обычно кольца сначала разбиваются на неразложимые кольца. Если структура этих колец известна, разложимые кольца являются прямыми произведениями неразложимых. Кроме того, для полусовершенных колец, таких как серийные кольца, базовое кольцо является Морита-эквивалентным исходному кольцу. Таким образом, если R — серийное кольцо с базисным кольцом B и структура B известна, теория эквивалентности Мориты дает, что $R\cong \mathrm {End} _{B}(P)$ где P некоторый конечно порожденный прогенератор B. — Вот почему результаты сформулированы в терминах неразложимых базисных колец.

В 1975 году Кириченко и Уорфилд независимо и одновременно опубликовали анализ структуры нетеровских, неартиновых серийных колец. Результаты были одинаковыми, однако методы, которые они использовали, сильно отличались друг от друга. Важным инструментом было изучение наследственных , нётеровых, простых колец , а также колчанов, определенных на серийных кольцах. Основной результат гласит, что нётерово справа, неартиново, базовое, неразложимое серийное кольцо можно описать как тип матричного кольца над нетеровой однорядной областью V , радикал Джекобсона J( V ) которого не равен нулю. Это кольцо матриц является подкольцом Mn _и ( V ) для некоторого n состоит из матриц с элементами из V на диагонали и выше и элементами из J( V ) ниже.

Артиновая серийная кольцевая структура классифицируется в случаях, зависящих от строения колчана. Оказывается, структура колчана базового неразложимого артиновского серийного кольца всегда представляет собой круг или линию. В случае линейного колчана кольцо изоморфно верхнетреугольным матрицам над телом (обратите внимание на сходство со строением нётеровых серийных колец в предыдущем абзаце). Полное описание структуры в случае круглого колчана выходит за рамки этой статьи, но его можно найти в ( Puninski 2001 ) . Перефразируя результат в том виде, в каком он там появляется: базовое артиново серийное кольцо, колчан которого представляет собой круг, представляет собой гомоморфный образ «раздутия» базового неразложимого серийного квазифробениусового кольца .

Свойство уникальности декомпозиции [ править ]

два модуля U и V Говорят, что имеют один и тот же класс моногенности , обозначаемый $[U]_{m}=[V]_{m}$ , если существует мономорфизм $U\rightarrow V$ и мономорфизм $V\rightarrow U$ . Можно определить двойственное понятие: говорят , что модули имеют один и тот же эпигенный класс , обозначаемый $[U]_{e}=[V]_{e}$ , если существует эпиморфизм $U\rightarrow V$ и эпиморфизм $V\rightarrow U$ .

Имеет место следующая слабая форма теоремы Крулля-Шмидта . Пусть U ₁ , ..., Un _V , V ₁ , ..., t _— n + t ненулевые цепные правые модули над кольцом R . Тогда прямые суммы $U_{1}\oplus \dots \oplus U_{n}$ и $V_{1}\oplus \dots \oplus V_{t}$ являются изоморфными R -модулями тогда и только тогда, когда n = t и существуют две перестановки $\sigma$ и $\tau$ из 1, 2, ..., n такие, что $[U_{i}]_{m}=[V_{\sigma (i)}]_{m}$ и $[U_{i}]_{e}=[V_{\tau (i)}]_{e}$ для каждого i = 1, 2, ..., n .

Этот результат, благодаря Факкини, был распространен Пржиходой в 2006 году на бесконечные прямые суммы однорядных модулей. Это расширение включает в себя так называемые квазималые однорядные модули. Эти модули были определены Нгуеном Вьет Зунгом и Факкини, а их существование было доказано Пунински. Слабая форма теоремы Крулля-Шмидта справедлива не только для цепных модулей, но и для ряда других классов модулей (двуравномерных модулей, циклически представленных модулей над серийными кольцами, ядер морфизмов между неразложимыми инъективными модулями , коравномерно представленных модулей).

Примечания об альтернативных, похожих и родственных терминах [ править ]

Правые однорядные кольца также можно назвать кольцами правой цепи ( Faith 1999 ) или кольцами правой оценки . Этот последний термин относится к кольцам оценок , которые по определению являются коммутативными, однорядными областями . По той же причине однорядные модули называются цепными модулями , а последовательные модули полуцепными модулями . Понятие цепного кольца имеет своим тезкой слово «цепь», но в целом оно не связано с цепными кольцами.

В 1930-х годах Готфрид Кёте и Кейзо Асано ввели термин Einreihig (буквально «однорядный») во время исследования колец, все модули которых являются прямыми суммами циклических подмодулей ( Кёте, 1935 ). По этой причине однорядный номер использовался для обозначения «артиновского кольца главных идеалов» даже совсем недавно, в 1970-х годах. В статье Кёте также требовалось, чтобы цепное кольцо имело уникальный композиционный ряд , что не только заставляет правый и левый идеалы быть линейно упорядоченными, но также требует, чтобы в цепочках левых и правых идеалов было только конечное число идеалов. Из-за этого исторического прецедента некоторые авторы включают условие Артина или условие конечной композиционной длины в свои определения однорядных модулей и колец.

Развивая работу Кете, Тадаси Накаяма использовал термин «обобщенное однорядное кольцо» ( Накаяма, 1941 ) для обозначения артиновского серийного кольца. Накаяма показал, что все модули над такими кольцами последовательные. Артиновы серийные кольца иногда называют алгебрами Накаямы , и они имеют хорошо развитую теорию модулей.

Уорфилд использовал термин «однородно-последовательный модуль» для последовательного модуля с дополнительным свойством, заключающимся в том, что для любых двух конечно порожденных подмодулей A и B , $A/J(A)\cong B/J(B)$ где J (−) обозначает радикал Джекобсона модуля ( Warfield 1975 ). В модуле с конечной композиционной длиной это приводит к тому, что композиционные факторы становятся изоморфными, отсюда и «однородное» прилагательное. Оказывается, что серийное кольцо R является конечной прямой суммой однородно серийных правых идеалов тогда и только тогда, когда R изоморфно полному кольцу матриц размера n × n над локальным серийным кольцом. Такие кольца также известны как первичные разложимые последовательные кольца ( Фейт, 1976 ) ( Хазевинкель, Губарени и Кириченко, 2004 ).

Учебники [ править ]

Фрэнк В. Андерсон; Кент Р. Фуллер (1992), Кольца и категории модулей , Springer, стр. 347–349, ISBN 0-387-97845-3
Чаттерс, AW; Хаярнавис, Ч.Р. (1980), Кольца с условиями цепочки , Исследовательские заметки по математике, том. 44, Питмэн, ISBN 978-0-273-08446-4
Факкини, Альберто (1998), Кольца эндоморфизмов и разложения в прямую сумму в некоторых классах модулей , Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-5908-0
Фейт, Карл (1976), Алгебра. II. Теория колец. , Основы математических наук, Вып. 191. Издательство Спрингер.
Фейт, Карл (1999), Кольца и вещи и прекрасный набор ассоциативной алгебры двадцатого века , Математические обзоры и монографии, 65. Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-0993-8
Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (2004), Algebras, rings and modules. Vol. 1. , Kluwer Academic Publishers, ISBN 1-4020-2690-0
Пунински, Геннадий (2001a), Серийные кольца , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7187-9

Первоисточники [ править ]

Эйзенбуд, Дэвид; Гриффит, Филлип (1971), «Структура серийных колец», Pacific J. Math. , 36 : 109–121, doi : 10.2140/pjm.1971.36.109
Факкини, Альберто (1996), «Крулл-Шмидт не справляется с последовательными модулями», Trans. амер. Математика. Соц. , 348 (11): 4561–4575, doi : 10.1090/s0002-9947-96-01740-0
Кете, Готфрид (1935), «Обобщенные абелевы группы с гиперкомплексным кольцом операторов. (Немецкий)», Z. , 39 : 31–44, doi : 10.1007/bf01201343.
Накаяма, Тадаси (1941), «Об алгебрах Фробениуса. II.», Анналы математики , вторая серия, 42 (1): 1–21, : 10.2307 /1968984 , hdl : 10338.dmlcz/140501 , JSTOR doi
Пржихода, Павел (2004), «Слабая теорема Крулля-Шмидта и разложение в прямую сумму серийных модулей конечной размерности Голди», J. Algebra , 281 : 332–341, doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.06.027
Пржигода, Павел (2006), «Версия слабой теоремы Крулля-Шмидта для бесконечных прямых сумм однорядных модулей», Comm. Алгебра , 34 (4): 1479–1487, номер документа : 10.1080/00927870500455049.
Пунински, Г.Т. (2002), «Артиновы и нетеровы серийные кольца», J. Math. наук. (Нью-Йорк) , 110 : 2330–2347, doi : 10.1023/A:1014906008243
Пунински, Геннадий (2001b), «Некоторые теории моделей в почти простой однорядной области и разложения последовательных модулей», J. Pure Appl. Алгебра , 163 (3): 319–337, doi : 10.1016/s0022-4049(00)00140-7.
Пунински, Геннадий (2001c), «Некоторые теории моделей исключительного однорядного кольца и разложения серийных модулей», Журнал Лондонского математического общества , 64 (2): 311–326, doi : 10.1112/s0024610701002344
Уорфилд, Роберт Б. младший (1975), «Последовательные кольца и конечно представленные модули», J. Algebra , 37 (2): 187–222, doi : 10.1016/0021-8693(75)90074-5