Циклический модуль

В математике , точнее в теории колец , циклический модуль или моногенный модуль. — модуль над кольцом , порождённый одним элементом. Эта концепция является обобщением понятия циклической группы , то есть абелевой группы (т.е. Z -модуля), порождённой одним элементом.

Определение

Левый R -модуль M называется циклическим , если M может быть порожден одним элементом, т.е. M = ( x ) = Rx = { rx | r ∈ R } для некоторого x в M . Аналогично, правый R -модуль N является циклическим, если N = yR для некоторого y ∈ N .

Примеры

• 2 Z как Z -модуль является циклическим модулем.
• Фактически каждая циклическая группа является циклическим Z -модулем.
• Каждый простой R -модуль M является циклическим модулем, поскольку , порожденный любым ненулевым элементом x из M, обязательно является целым модулем M. подмодуль В общем случае модуль является простым тогда и только тогда, когда он ненулевой и порождается каждым из своих ненулевых элементов.
• Если кольцо R рассматривать как левый модуль над собой, то его циклические подмодули являются в точности его левыми главными идеалами как кольца. То же самое справедливо и для R как правого R -модуля, с соответствующими изменениями .
• Если R - это F [ x ], кольцо многочленов над полем F , а V - R -модуль, который также является конечномерным векторным пространством над F , то жордановые блоки действующие x, на V, являются циклическими подмодулями. (Все жордановы блоки изоморфны F − [ x ] / x ( λ ) ^н ; могут существовать и другие циклические подмодули с разными аннуляторами ; см. ниже.)

Характеристики

• Для циклического R -модуля M порожденного x , существует канонический изоморфизм и R / Ann _Rx Rx где Ann _, M обозначает аннулятор x между в R. ,

См. также

• Конечно сгенерированный модуль

Ссылки

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , том. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN  0-387-97845-3 , МР   1245487
• Б. Хартли ; Т. О. Хоукс (1970). Кольца, модули и линейная алгебра . Чепмен и Холл. стр. 77 , 152. ISBN.  0-412-09810-5 .
• Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, стр. 147–149, ISBN  978-0-201-55540-0 , Збл   0848.13001