Теорема Крулля – Шмидта

В математике теорема Крулля -Шмидта утверждает, что группа, определенным условиям конечности на цепочках подгрупп подчиненная , может быть однозначно записана как конечное прямое произведение неразложимых подгрупп.

Определения

Мы говорим, что группа G удовлетворяет условию возрастающей цепи (ACC) на подгруппах, если каждая последовательность подгрупп группы G :

1=G_{0}\leq G_{1}\leq G_{2}\leq \cdots \,

в конечном итоге константа, т. е. существует N такое, что G _N = G _{N +1} = G _{N +2} = ... . Мы говорим, что G удовлетворяет ACC для нормальных подгрупп, если каждая такая последовательность нормальных подгрупп G в конечном итоге становится постоянной.

Аналогичным образом можно определить условие нисходящей цепи для (нормальных) подгрупп, рассматривая все убывающие последовательности (нормальных) подгрупп:

G=G_{0}\geq G_{1}\geq G_{2}\geq \cdots .\,

Очевидно, что все конечные группы удовлетворяют как ACC, так и DCC на подгруппах. Бесконечная циклическая группа $\mathbf {Z}$ удовлетворяет ACC, но не DCC, поскольку (2) > (2) ² > (2) ³ > ... представляет собой бесконечную убывающую последовательность подгрупп. С другой стороны, $p^{\infty }$ -торсионная часть $\mathbf {Q} /\mathbf {Z}$ ( квазициклическая p -группа ) удовлетворяет DCC, но не ACC.

что группа G неразложима , если ее нельзя записать в виде прямого произведения нетривиальных подгрупп G = H × K. Мы говорим ,

Заявление

Если $G$ является группой, которая удовлетворяет условиям ACC или DCC на нормальных подгруппах, то существует ровно один способ записи $G$ как прямой продукт $G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{k}\,$ конечного числа неразложимых подгрупп группы $G$ . Единственность здесь означает, что прямые разложения на неразложимые подгруппы обладают свойством обмена. То есть: предположим $G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,$ это еще одно выражение $G$ как произведение неразложимых подгрупп. Затем $k=l$ и происходит переиндексация $H_{i}$ это удовлетворительно

$G_{i}$ и $H_{i}$ изоморфны каждому $i$ ;
$G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,$ для каждого $r$ .

Доказательство

Доказать существование относительно просто: пусть $S$ — множество всех нормальных подгрупп, которые не могут быть записаны в виде произведения неразложимых подгрупп. Более того, любая неразложимая подгруппа (тривиально) является одночленным прямым произведением самой себя и, следовательно, разложима. Если Крулль-Шмидт терпит неудачу, то $S$ содержит $G$ ; поэтому мы можем итеративно построить нисходящий ряд прямых факторов; это противоречит ДКК. Затем можно обратить конструкцию и показать, что все прямые факторы $G$ появляются таким образом. ^[1]

С другой стороны, доказательство единственности довольно длинное и требует ряда технических лемм. Полное изложение см. ^[2]

Примечание

Теорема не утверждает существование нетривиального разложения, а просто утверждает, что любые два таких разложения (если они существуют) одинаковы.

Разложение Ремака

, Разложение Ремака введенное Робертом Ремаком , ^[3] представляет собой разложение абелевой группы или подобного объекта в конечную прямую сумму неразложимых объектов. Теорема Крулля – Шмидта дает условия существования разложения Ремака и уникальности его факторов.

Теорема Крулля–Шмидта для модулей

Если $E\neq 0$ — это модуль , который удовлетворяет условиям ACC и DCC на подмодулях (то есть он одновременно нётеров и артинов или, что то же самое, имеет конечную длину ), тогда $E$ является прямой суммой неразложимых модулей . С точностью до перестановки неразложимые компоненты такой прямой суммы определяются однозначно с точностью до изоморфизма. ^[4]

В общем случае теорема неверна, если предположить, что модуль нётеров или артинов. ^[5]

История

Современная теорема Крулля-Шмидта была впервые доказана Джозефом Веддерберном ( Ann. of Math (1909)) для конечных групп, хотя он упоминает, что некоторая заслуга принадлежит более раннему исследованию Г. А. Миллера , где рассматривались прямые произведения абелевых групп. . Теорема Веддерберна формулируется как свойство обмена между прямыми разложениями максимальной длины. Однако доказательство Веддерберна не использует автоморфизмы.

В диссертации Роберта Ремака (1911) был получен тот же результат о единственности, что и Веддерберна, но также доказано (в современной терминологии), что группа центральных автоморфизмов действует транзитивно на множестве прямых разложений максимальной длины конечной группы. Из этой более сильной теоремы Ремак также доказал различные следствия, в том числе то, что группы с тривиальным центром и совершенные группы имеют единственное разложение Ремака .

Отто Шмидт ( Sur les produits Directs , SMF Bull. 41 (1913), 161–164) упростил основные теоремы Ремака до трехстраничного предшественника сегодняшних доказательств из учебников. Его метод улучшает использование Ремаком идемпотентов для создания соответствующих центральных автоморфизмов. И Ремак, и Шмидт опубликовали последующие доказательства и следствия своих теорем.

Вольфганг Крулл ( Über verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen, MZ 23 (1925) 161–196) вернулся к Г. А. Миллера исходной проблеме о прямых произведениях абелевых групп путем распространения на абелевы группы операторов с условиями восходящей и нисходящей цепочки. Чаще всего это выражается на языке модулей. Его доказательство показывает, что идемпотенты, используемые в доказательствах Ремака и Шмидта, могут быть ограничены гомоморфизмами модулей; остальные детали доказательства практически не изменились.

О. Оре объединил доказательства из различных категорий, включая конечные группы, абелевы группы операторов, кольца и алгебры, доказав теорему Веддерберна об обмене, справедливую для модульных решеток с условиями нисходящей и возрастающей цепочки. Это доказательство не использует идемпотентов и не опровергает транзитивность теорем Ремака.

Куроша «Теория групп» » Зассенхауза и «Теория групп включают доказательства Шмидта и Оре под именем Ремака-Шмидта, но признают Веддерберна и Оре. В более поздних текстах используются названия Крулля-Шмидта (« Алгебра Хангерфорда ») и Крулля-Шмидта. – Адзумая (Кёртис-Райнер). Имя Крулля – Шмидта сейчас широко заменяют любую теорему, касающуюся единственности прямых произведений максимального размера. Некоторые авторы предпочитают называть прямое разложение разложением Ремака максимального размера, чтобы отметить его вклад.

См. также

Категория Крулля – Шмидта

Ссылки

^ Томас В. Хангерфорд (6 декабря 2012 г.). Алгебра . Springer Science & Business Media. п. 83. ИСБН 978-1-4612-6101-8 .
^ Хангерфорд 2012, стр.86-8.
^ Ремак, Роберт (1911), «О разложении конечных групп на прямые неразложимые факторы» , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 139 : 293–308, doi : 10.1515/crll.1911.139.293 , ISSN 0075 - 4102 , ЯФМ 42.0156.01
^ Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . Том. 2 (2-е изд.). Дувр. п. 115. ИСБН 978-0-486-47187-7 .
^ Факкини, Альберто; Гербера, Долорс; Леви, Лоуренс С.; Вамос, Питер (1 декабря 1995 г.). «Крулл-Шмидт не подходит для артиновых модулей» . Труды Американского математического общества . 123 (12): 3587. doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1277109-4 .

Дальнейшее чтение

А. Факкини: Теория модулей. Кольца эндоморфизмов и разложения в прямую сумму в некоторых классах модулей. Прогресс в математике, 167. Birkhäuser Verlag, Базель, 1998. ISBN 3-7643-5908-0
К.М. Рингель: Крулль–Ремак–Шмидт не работает для артиновых модулей над локальными кольцами. Алгебр. Представлять. Теория 4 (2001), вып. 1, 77–86.

Внешние ссылки

Страница в PlanetMath

[Hungerford2012-1] Томас В. Хангерфорд (6 декабря 2012 г.). Алгебра . Springer Science & Business Media. п. 83. ИСБН 978-1-4612-6101-8 .

[2] Хангерфорд 2012, стр.86-8.

[3] Ремак, Роберт (1911), «О разложении конечных групп на прямые неразложимые факторы» , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 139 : 293–308, doi : 10.1515/crll.1911.139.293 , ISSN 0075 - 4102 , ЯФМ 42.0156.01

[4] Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . Том. 2 (2-е изд.). Дувр. п. 115. ИСБН 978-0-486-47187-7 .

[5] Факкини, Альберто; Гербера, Долорс; Леви, Лоуренс С.; Вамос, Питер (1 декабря 1995 г.). «Крулл-Шмидт не подходит для артиновых модулей» . Труды Американского математического общества . 123 (12): 3587. doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1277109-4 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]