Эквивалентность Морита

В абстрактной алгебре эквивалентность Морита — это отношение, определенное между кольцами , которое сохраняет многие теоретико-кольцевые свойства. Точнее, два кольца типа R , S эквивалентны Морита (обозначаются $R\approx S$ если их категории модулей эквивалентны аддитивно ) , (обозначаются ${}_{R}M\approx {}_{S}M$). Он назван в честь японского математика Киити Мориты , который в 1958 году определил эквивалентность и аналогичное понятие двойственности.

Мотивация

Кольца обычно изучаются с точки зрения их модулей , поскольку модули можно рассматривать как представления колец. Каждое кольцо R имеет естественную структуру R -модуля на самом себе, где действие модуля определяется как умножение в кольце, поэтому подход через модули является более общим и дает полезную информацию. По этой причине кольцо часто изучают, изучая категорию модулей над этим кольцом. Морита-эквивалентность доводит эту точку зрения до естественного вывода, определяя кольца как Морита-эквивалентные, если их категории модулей эквивалентны . Это понятие представляет интерес только при работе с некоммутативными кольцами , поскольку можно показать, что два коммутативных кольца Морита-эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны .

Определение

Два кольца R и S (ассоциативные, с 1) называются ( Морита ) эквивалентными , если существует эквивалентность категории (левых) модулей над R , R-Mod , и категории (левых) модулей над S , S-Мод . Можно показать, что левые категории модулей R-Mod и S-Mod эквивалентны тогда и только тогда, когда правые категории модулей Mod-R и Mod-S эквивалентны. Далее можно показать, что любой функтор из R-Mod в S-Mod , который дает эквивалентность, автоматически является аддитивным .

Примеры

Любые два изоморфных кольца Морита-эквивалентны.

Кольцо n -n с матриц элементами из R , обозначенное M _n ( R ), является Морита-эквивалентным R для любого n > 0 . Обратите внимание, что это обобщает классификацию простых артиновых колец, данную теорией Артина – Веддерберна . Чтобы убедиться в эквивалентности, заметим, что если X — левый R -модуль, то X ^н является M _n ( R )-модулем, структура которого задается умножением матриц слева от векторов-столбцов из X . Это позволяет определить функтор из категории левых R -модулей в категорию левых Mn ₍ R ) -модулей. Обратный функтор определяется путем осознания того, что для любого Mn ₍ R ) -модуля существует левый R -модуль X такой, что Mn ₍ R ) -модуль получается из X, как описано выше.

Критерии эквивалентности

Эквивалентности можно охарактеризовать следующим образом: если F : R-Mod $\to$ S-Mod и G : S-Mod $\to$ R-Mod (ковариантные) функторы , то F и G — эквивалентность тогда и только тогда, когда существует сбалансированный ( S , R ) -бимодуль P такой, что _SP — и PR _{— аддитивные} проективные конечно порожденные генераторы и существуют естественные изоморфизмы функторов $\operatorname {F} (-)\cong P\otimes _{R}-$и функторов $\operatorname {G} (-)\cong \operatorname {Hom} (_{S}P,-).$ Конечно порожденные проективные генераторы также иногда называют прогенераторами из-за их категории модулей.

Для каждого точного справа функтора F из категории лево- R модулей в категорию лево- S модулей, коммутирующего с прямыми суммами , теорема гомологической алгебры показывает, что существует (S,R) -бимодуль E такой, что функтор $\operatorname {F} (-)$ естественно изоморфен функтору $E\otimes _{R}-$. Поскольку эквивалентности по необходимости точны и коммутируют с прямыми суммами, из этого следует, что S эквивалентны по Морите тогда и только тогда, когда существуют бимодули _RM R _S и _SN и _R такие, что $M\otimes _{S}N\cong R$ как (R,R) -бимодули и $N\otimes _{R}M\cong S$ как (S,S) -бимодули. Более того, N и M связаны изоморфизмом бимодулей (S,R) : $N\cong \operatorname {Hom} (M_{S},S_{S})$.

Более конкретно, два кольца R и S эквивалентны по Морите тогда и только тогда, когда $S\cong \operatorname {End} (P_{R})$ для прогенератора модуля- P _R , что имеет место тогда и только тогда, когда

$S\cong e\mathbb {M} _{n}(R)e$

(изоморфизм колец) для некоторого натурального числа n и полного идемпотента e в кольце матриц M _n ( R ).

Известно, что если R эквивалентно по Морита S , то кольцо Z( R ) изоморфно кольцу Z( S ), где Z(-) обозначает центр кольца , и, кроме того, R / J ( R ) Морита эквивалентен S / J ( S ), где J (-) обозначает радикал Джекобсона .

Хотя изоморфные кольца эквивалентны по Морите, эквивалентные по Морите кольца могут быть неизоморфными. Простой пример: тело D эквивалентно по Морите всем своим матричным кольцам M _n ( D ), но не может быть изоморфным, когда n > 1. В специальном случае коммутативных колец кольца, эквивалентные Морита, фактически изоморфны. Это непосредственно следует из комментария выше, поскольку если R эквивалентен Морите S , $R=\operatorname {Z} (R)\cong \operatorname {Z} (S)=S$.

Свойства, сохраняемые эквивалентностью

Многие свойства сохраняются функтором эквивалентности для объектов в категории модуля. Вообще говоря, любое свойство модулей, определенное исключительно в терминах модулей и их гомоморфизмов (а не в отношении их основных элементов или кольца), является категориальным свойством , которое сохраняется функтором эквивалентности. Например, если F (-) является функтором эквивалентности от R-Mod до S-Mod , то R модуль M обладает любым из следующих свойств тогда и только тогда, когда S модуль F ( M ) обладает такими свойствами: инъективный , проективный , плоский , точный , простой , полупростой , конечно порожденный , конечно представленный , артинов и нётеров . Примеры свойств, которые не обязательно сохраняются, включают в себя свободу и цикличность .

Многие теоретико-кольцевые свойства выражаются через их модули, и поэтому эти свойства сохраняются между эквивалентными Морита кольцами. Свойства, общие для эквивалентных колец, называются Морита инвариантными свойствами . Например, кольцо R полупросто тогда и только тогда, когда все его модули полупросты, а поскольку полупростые модули сохраняются при эквивалентности Морита, эквивалентное кольцо S также должно иметь все свои модули полупростыми и, следовательно, само быть полупростым кольцом.

Иногда не сразу понятно, почему собственность следует сохранять. Например, используя одно стандартное определение регулярного кольца фон Неймана (для всех a в R существует x в R такой, что a = axa ), неясно, что эквивалентное кольцо также должно быть регулярным по фон Нейману. Однако другая формулировка такова: кольцо регулярно по фон Нейману тогда и только тогда, когда все его модули плоские. Поскольку плоскостность сохраняется при соблюдении эквивалентности Мориты, теперь ясно, что регулярность фон Неймана является инвариантом Мориты.

Следующие свойства являются инвариантами Морита:

• простой , полупростой
• фон Неймана обычный
• правый (или левый) нётер , правый (или левый) артин
• правый (или левый) самоинъективный
• квази-Фробениус
• простое , правое (или левое) примитивное , полупростое , полупримитивное
• правый (или левый) (полу)наследственный
• правый (или левый) неособый
• правый (или левый) когерентный
• полупервичный справа (или слева) , совершенный , полуидеальный
• полулокальный

Примеры свойств, которые не являются инвариантными по Морите, включают коммутативное , локальное , приведенное , доменное , правое (или левое) Голди , Фробениуса , инвариантное базисное число и конечное по Дедекину .

Существует как минимум два других теста для определения того, является ли свойство кольца ${\mathcal {P}}$ является инвариантом Морита. Элемент e в кольце R является полным идемпотентом, если e ² = е и ReR = R .

• ${\mathcal {P}}$ является Морита-инвариантным тогда и только тогда, когда кольцо R удовлетворяет условию ${\mathcal {P}}$, то то же самое происходит с eRe для каждого полного идемпотента e и с каждым кольцом матриц M _n ( R ) для каждого положительного целого числа n ;

или

• ${\mathcal {P}}$ является Морита-инвариантом тогда и только тогда, когда: для любого кольца R и полного идемпотента e в R R условию удовлетворяет ${\mathcal {P}}$ тогда и только тогда, когда кольцо eRe удовлетворяет ${\mathcal {P}}$.

Дальнейшие направления

Двойственной теории эквивалентностей является теория двойственности между категориями модулей, в которой используемые функторы являются контравариантными, а не ковариантными. Эта теория, хотя и схожа по форме, имеет существенные отличия, поскольку между категориями модулей для любых колец нет двойственности, хотя для подкатегорий двойственность может существовать. Другими словами, поскольку бесконечномерные модули вообще не рефлексивны , теорию двойственности легче применить к конечно порожденным алгебрам над нётеровыми кольцами. Возможно, неудивительно, что приведенный выше критерий имеет аналог для двойственности, где естественный изоморфизм задается в терминах функтора hom, а не тензорного функтора.

Эквивалентность Морита также может быть определена в более структурированных ситуациях, например, для симплектических группоидов и C*-алгебр . В случае C*-алгебр для получения результатов, полезных в приложениях, необходима более сильная типовая эквивалентность, называемая сильной эквивалентностью Морита , из-за дополнительной структуры C*-алгебр (вытекающей из инволютивной *-операции), а также потому, что C*-алгебры не обязательно имеют единичный элемент.

Значение в K-теории

Если два кольца эквивалентны по Морите, существует индуцированная эквивалентность соответствующих категорий проективных модулей, поскольку эквивалентности Морита сохраняют точные последовательности (и, следовательно, проективные модули). Поскольку K-теория кольца определяется (в подходе Квиллена ) в терминах гомотопических групп (грубо) классифицирующего пространства нерва алгебраическая (малой) категории конечно порожденных проективных модулей над кольцом, эквивалентные по Морите кольца должны иметь изоморфные K-группы.

Ссылки

• Андерсон, ФРВ; Фуллер, КР (1992). Кольца и категории модулей . Тексты для аспирантов по математике . Том. 13 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  0-387-97845-3 . Збл   0765.16001 .
• ДеМейер, Ф.; Ингрэм, Э. (1971). Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами . Конспект лекций по математике. Том. 181. Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-05371-2 . Збл   0215.36602 .
• Лам, Тайвань (1999). Лекции о модулях и кольцах . Тексты для аспирантов по математике . Том. 189. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . Главы 17-18-19. ISBN  978-1-4612-6802-4 . Збл   0911.16001 .
• Мейер, Ральф (1997). «Эквивалентность Морита в алгебре и геометрии» (PDF) . CiteSeerX   10.1.1.35.3449 . Проверено 22 августа 2023 г.
• Морита, Киити (1958). «Двойственность модулей и ее приложения к теории колец с условием минимума». Научные отчеты Токийского Кёику Дайгаку. Раздел А. 6 (150): 83–142. ISSN   0371-3539 . Збл   0080.25702 .

Дальнейшее чтение

• Райнер, И. (2003). Максимальные заказы . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. Том. 28. Издательство Оксфордского университета . стр. 154–169. ISBN  0-19-852673-3 . Збл   1024.16008 .