Сингулярный подмодуль

В разделах абстрактной алгебры, известных как теория колец и теория модулей , каждый правый (соответственно левый) R - модуль M имеет сингулярный подмодуль, из элементов, аннуляторами которых являются существенные правые (соответственно левые) идеалы в R. состоящий В обозначениях множеств его обычно обозначают как ${\mathcal {Z}}(M)=\{m\in M\mid \mathrm {ann} (m)\subseteq _{e}R\}\,$. Для общих колец , ${\mathcal {Z}}(M)$ является хорошим обобщением подмодуля кручения tors( M ), который чаще всего определяется для областей . В случае, когда R — коммутативная область, $\operatorname {tors} (M)={\mathcal {Z}}(M)$.

Если R — любое кольцо, ${\mathcal {Z}}(R_{R})$ определяется с учетом R как правого модуля, и в этом случае ${\mathcal {Z}}(R_{R})$ является двусторонним идеалом R, правым сингулярным идеалом R называемым . Левосторонний аналог. ${\mathcal {Z}}(_{R}R)$ определяется аналогично. Это возможно для ${\mathcal {Z}}(R_{R})\neq {\mathcal {Z}}(_{R}R)$.

Определения

Вот несколько определений, используемых при изучении сингулярных подмодулей и сингулярных идеалов. Далее M является R -модулем:

• M называется сингулярным модулем, если ${\mathcal {Z}}(M)=M\,$.
• M называется неособым модулем, если ${\mathcal {Z}}(M)=\{0\}\,$.
• R называется несингулярным справа, если ${\mathcal {Z}}(R_{R})=\{0\}\,$. кольцо Левонеособое определяется аналогично, с использованием левого сингулярного идеала, и вполне возможно, что кольцо будет несингулярным справа, но не слева.

В кольцах с единицей всегда так: ${\mathcal {Z}}(R_{R})\subsetneq R\,$, поэтому «правое сингулярное кольцо» обычно не определяется так же, как сингулярные модули. Некоторые авторы использовали слово «кольцо единственного числа» в значении «имеет ненулевой сингулярный идеал», однако это использование не согласуется с использованием прилагательных для модулей.

Характеристики

Некоторые общие свойства сингулярного подмодуля включают:

• ${\mathcal {Z}}(M_{R})\cdot \mathrm {soc} (R_{R})=\{0\}\,$ где $\mathrm {soc} (M_{R})\,$ обозначает цоколь ​ $R_{R}$.
• Если f — гомоморфизм -модулей R из M в N , то $f({\mathcal {Z}}(M))\subseteq {\mathcal {Z}}(N)\,$.
• Если N — подмодуль M то , ${\mathcal {Z}}(N)=N\cap {\mathcal {Z}}(M)\,$.
• Свойства «особые» и «неособые» являются инвариантными свойствами Морита .
• Особые идеалы кольца содержат центральные нильпотентные элементы кольца. Следовательно, особый идеал коммутативного кольца содержит нильрадикал кольца.
• Общим свойством торсионного подмодуля является то, что $t(M/t(M))=\{0\}\,$, но это не обязательно верно для сингулярного подмодуля. Однако если R — неособое справа кольцо, то ${\mathcal {Z}}(M/{\mathcal {Z}}(M))=\{0\}\,$.
• Если N — существенный подмодуль модуля M (оба правых модуля), то M / N сингулярен. Если M — свободный модуль или R несингулярен справа, то обратное верно.
• неособен Полупростой модуль тогда и только тогда, когда он является проективным модулем .
• Если R — самоинъективное справа кольцо , то ${\mathcal {Z}}(R_{R})=J(R)\,$, где J( ) радикал Джекобсона R R .

Примеры

Неособые справа кольца — очень широкий класс, включающий приведенные кольца , правые (полу)наследственные кольца , регулярные кольца фон Неймана , области , полупростые кольца , кольца Бэра и правые кольца Риккарта .

Для коммутативных колец неособость эквивалентна редуцированному кольцу.

Важные теоремы

Теорема Джонсона (принадлежащая Р.Э. Джонсону ( Lam 1999 , стр. 376)) содержит несколько важных эквивалентностей. Для любого кольца R следующие условия эквивалентны:

1. R несингулярен справа.
2. E Инъективная оболочка RR ) ₍ является неособым правым R -модулем.
3. Кольцо эндоморфизмов $S=\mathrm {End} (E(R_{R}))\,$ является полупримитивным кольцом (т. е. $J(S)=\{0\}\,$).
4. Максимальное правое кольцо частных $Q_{max}^{r}(R)$ является регулярным по фон Нейману.

Правая неособенность также сильно взаимодействует с правыми самоинъективными кольцами.

Теорема: Если R — самоинъективное справа кольцо, то следующие условия на R эквивалентны: несингулярность справа, регулярность по фон Нейману, полунаследственность справа, право Рикарта, Бэра, полупримитивность. ( Лам 1999 , стр. 262)

В статье ( Зельмановиц, 1983 ) неособые модули использовались для характеристики класса колец, максимальное правое кольцо частных которых имеет определенную структуру.

Теорема: Если R — кольцо, то $Q_{max}^{r}(R)$ является полным справа линейным кольцом тогда и только тогда, когда R имеет неособый, точный , равномерный модуль . Более того, $Q_{max}^{r}(R)$ является конечным прямым произведением полных линейных колец тогда и только тогда, когда R имеет неособый точный модуль с конечной равномерной размерностью .

Учебники

• Гудерл, КР (1976), Теория колец: Несингулярные кольца и модули , Чистая и прикладная математика, № 33, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., стр. viii+206, MR   0429962
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN  978-0-387-98428-5 , МР   1653294

Первоисточники

• Зельмановиц, Дж. М. (1983), "Строение колец с точными неособыми модулями", Trans. амер. Математика. Соц. , 278 (1): 347–359, doi : 10.2307/1999320 , ISSN   0002-9947 , MR   0697079