Единый модуль

В абстрактной алгебре модуль называется равномерным , если пересечение любых двух ненулевых подмодулей ненулевое. Это равносильно утверждению, что каждый ненулевой подмодуль M является существенным подмодулем . Кольцо можно назвать равномерным справа (левым) кольцом, если оно однородно как правый (левый) модуль над собой.

Альфред Голди использовал понятие унифицированных модулей, чтобы построить меру размерности модулей, теперь известную как унифицированная размерность (или размерность Голди ) модуля. Равномерная размерность обобщает некоторые, но не все аспекты понятия размерности векторного пространства . Конечная равномерная размерность была ключевым предположением для нескольких теорем Голди, включая теорему Голди , которая характеризует, какие кольца являются правыми порядками в полупростом кольце . Модули конечной равномерной размерности обобщают как артиновы, так и нётеровы модули .

В литературе однородную размерность также называют просто размерностью модуля или рангом модуля . Равномерное измерение не следует путать с соответствующим понятием, также принадлежащим Голди, о пониженном ранге модуля.

Свойства и примеры унифицированных модулей

Единообразие модуля обычно не сохраняется за счет прямых произведений или фактормодулей. Прямая сумма двух ненулевых однородных модулей всегда содержит два подмодуля с нулевым пересечением, а именно два исходных слагаемых модуля. Если N ₁ и N ₂ — собственные подмодули однородного модуля M и ни один из подмодулей не содержит другого, то $M/(N_{1}\cap N_{2})$ не может быть однородным, так как

$N_{1}/(N_{1}\cap N_{2})\cap N_{2}/(N_{1}\cap N_{2})=\{0\}.$

Однорядные модули однородны, а однородные модули обязательно непосредственно неразложимы. Любая коммутативная область является равномерным кольцом, поскольку если a и b — ненулевые элементы двух идеалов, то произведение ab — ненулевой элемент в пересечении идеалов.

Единый размер модуля

Следующая теорема позволяет определить размерность модулей с помощью равномерных подмодулей. Это модульная версия теоремы о векторном пространстве:

Теорема: Если U _i и V _j являются членами конечного набора равномерных подмодулей модуля M такого, что $\oplus _{i=1}^{n}U_{i}$ и $\oplus _{i=1}^{m}V_{i}$ оба являются существенными подмодулями модуля M , то n = m .

Равномерная размерность модуля M , обозначаемая u.dim( M ), определяется как n, если существует конечное множество равномерных подмодулей U _i таких, что $\oplus _{i=1}^{n}U_{i}$ является существенным подмодулем M . Предыдущая теорема гарантирует, что это n корректно определено. Если такого конечного набора подмодулей не существует, то u.dim( M ) определяется как ∞. Говоря о равномерном размере кольца, необходимо уточнить, измеряется ли u.dim( , _RR скорее, u.dim( _RR или ) ). На противоположных сторонах кольца можно иметь два разных одинаковых размера.

Если N — подмодуль M , то u.dim( N ) ⩽ u.dim( M ) с равенством в точности тогда, когда N — существенный M. подмодуль В частности, M и его инъективная оболочка E ( M ) всегда имеют одну и ту же однородную размерность. Также верно, что u.dim( M ) = n тогда и только тогда, когда E ( M ) является прямой суммой n неразложимых инъективных модулей .

Можно показать, что u.dim( M ) = ∞ тогда и только тогда, когда M содержит бесконечную прямую сумму ненулевых подмодулей. Таким образом, если M нётерово или артиново, M имеет конечную равномерную размерность. Если M имеет конечную композиционную длину k , то u.dim( M ) ≤ k с равенством в точности тогда, когда M является полупростым модулем . ( Лам 1999 )

Стандартный результат состоит в том, что правая нётерова область является правой областью Оре . Фактически, мы можем восстановить этот результат из другой теоремы, приписываемой Голди, которая утверждает, что следующие три условия эквивалентны для области D :

• D прав, Оре
• u.dim( D _D ) знак равно 1
• u.dim( D _D ) < ∞

Полые модули и одинаковые размеры

Двойственным N понятием однородного модуля является понятие полого модуля : модуль M называется полым, если N ₁ и 2 _{являются} подмодулями M такими, что $N_{1}+N_{2}=M$, то либо N ₁ = M , либо N ₂ = M . Эквивалентно, можно также сказать, что каждый собственный подмодуль M является лишним подмодулем .

Эти модули также допускают аналог равномерного измерения, называемый коравномерным измерением , корангом , полым измерением или двойным измерением Голди . Исследования полых модулей и равномерных размеров проводились в ( Fleury 1974 ), ( Reiter 1981 ), ( Takeuchi 1976 ), ( Varadarajan 1979 ) и ( Miyashita 1966 ). Читателя следует предупредить, что Флери исследовал различные способы дуализации измерения Голди. Версии полого измерения Варадараджана, Такеучи и Рейтера, возможно, являются более естественными. Гжещук и Пучиловский в ( Grezeszcuk & Puczylowski 1984 ) дали определение равномерной размерности модулярных решеток, так что полая размерность модуля была однородной размерностью его двойственной решетки подмодулей.

всегда Конечно- копорожденный модуль имеет конечную равномерную размерность. Возникает вопрос: имеет ли конечно порожденный модуль конечную полую размерность? Ответ оказывается отрицательным: в ( Сарат и Варадараджан 1979 ) было показано, что если модуль M имеет конечную полую размерность, то M / J ( M ) является полупростым артиновым модулем . Существует много колец с единицей, для которых R / J ( R ) не является полупростым артиновым, и если такое кольцо R , то R само по себе конечно порождено, но имеет бесконечную полую размерность.

Позже Сарат и Варадараджан показали, что M / J ( M полупростой артиновский ) также достаточен для того, чтобы M имел конечную полую размерность, при условии, что J ( M является лишним подмодулем M. ) Это показывает, что кольца R с конечной полой размерностью как левый, так и правый R -модуль являются в точности полулокальными кольцами .

Дополнительным следствием результата Варадараджана является то, что имеет _RR конечную полую размерность точно так же, как _RR и . Это контрастирует со случаем конечной равномерной размерности, поскольку известно, что кольцо может иметь конечную равномерную размерность с одной стороны и бесконечную равномерную размерность с другой.

Учебники

• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике, том. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN.  978-0-387-98428-5 , МР   1653294

Первоисточники

• Флери, Патрик (1974), «Заметка о дуализации измерения Голди», Canadian Mathematical Bulletin , 17 (4): 511–517, doi : 10.4153/cmb-1974-090-0
• Голди, AW (1958), "Структура простых колец в условиях восходящей цепи", Proc. Лондонская математика. Соц. , Серия 3, 8 (4): 589–608, doi : 10.1112/plms/s3-8.4.589 , ISSN   0024-6115 , MR   0103206
• Голди, AW (1960), «Полупервичные кольца максимального состояния», Proc. Лондонская математика. Соц. , Серия 3, 10 : 201–220, doi : 10.1112/plms/s3-10.1.201 , ISSN   0024-6115 , MR   0111766
• Грежещук, П.; Пучиловски, Э. (1984), «О Голди и двойном измерении Голди», Журнал чистой и прикладной алгебры , 31 (1–3): 47–55, doi : 10.1016/0022-4049(84)90075-6
• Ханна, А.; Шамсуддин, А. (1984), Двойственность в категории модулей: Приложения , Рейнхард Фишер, ISBN  978-3889270177
• Мияшита, Ю. (1966), «Квазипроективные модули, совершенные модули и теорема для модулярных решеток», J. Fac. наук. Хоккайдо сер. Я , 19 : 86–110, МР   0213390
• Райтер, Э. (1981), «Двойственное условию возрастающей цепи Голди на прямых суммах подмодулей», Bull. Калькуттская математика. Соц. , 73 : 55–63
• Сарат, Б.; Варадараджан, К. (1979), «Двойное измерение Голди II», Communications in Algebra , 7 (17): 1885–1899, doi : 10.1080/00927877908822434
• Такеучи, Т. (1976), «О коконечномерных модулях», Hokkaido Mathematical Journal , 5 (1): 1–43, doi : 10.14492/hokmj/1381758746 , ISSN   0385-4035 , MR   0213390
• Варадараджан, К. (1979), «Двойное измерение Голди», сообщение. Алгебра , 7 (6): 565–610, doi : 10.1080/00927877908822364 , ISSN   0092-7872 , MR   0524269