Jump to content

Двойственность (математика)

(Перенаправлено с Dual (математика) )

В математике двойственность то переводит понятия, теоремы или математические структуры в другие понятия, теоремы или структуры взаимно однозначным образом, часто (но не всегда) посредством операции инволюции : если двойственное к A есть B , двойственное B есть A. к Такие инволюции иногда имеют неподвижные точки , так что двойственное к А есть А. само Например, теорема Дезарга самодвойственна в этом смысле относительно стандартной двойственности в проективной геометрии .

В математическом контексте двойственность имеет множество значений. [1] Его описывают как «очень распространенную и важную концепцию в (современной) математике». [2] и «важная общая тема, которая проявляется почти во всех областях математики». [3]

Многие математические двойственности между объектами двух типов соответствуют спариванию билинейных функций объекта одного типа и другого объекта второго типа с некоторым семейством скаляров. Например, двойственность линейной алгебры таким образом соответствует билинейным отображениям пар векторных пространств в скаляры, двойственность между распределениями и соответствующими пробными функциями соответствует спариванию, в котором распределение интегрируется с пробной функцией, а двойственность Пуанкаре соответствует аналогичным образом. к числу пересечений , рассматриваемому как спаривание между подмногообразиями данного многообразия. [4]

С точки зрения теории категорий , двойственность также можно рассматривать как функтор , по крайней мере, в области векторных пространств. Этот функтор присваивает каждому пространству его двойственное пространство, а конструкция обратного образа присваивает каждой стрелке f : V W ее двойственное f. : В V .

Вводные примеры [ править ]

По словам Майкла Атьи ,

Двойственность в математике — это не теорема, а «принцип». [5]

Следующий список примеров показывает общие черты многих дуальностей, но также указывает на то, что точное значение дуальности может варьироваться от случая к случаю.

Дополнение подмножества [ править ]

Простая двойственность возникает при рассмотрении подмножеств фиксированного S. множества К любому A S дополнение A подмножеству с [6] состоит из всех тех элементов S которые не содержатся в A. , Это снова подмножество S . Прием комплемента обладает следующими свойствами:

  • Его применение дважды возвращает исходный набор, т. е. ( A с ) с = А. ​Об этом говорят, говоря, что операция взятия дополнения является инволюцией .
  • Включение множеств A B превращается во включение в противоположном направлении B. с А с .
  • Учитывая два подмножества A и B из S , A содержится в B с тогда и только тогда, когда B содержится в A с .

Эта двойственность проявляется в топологии как двойственность между открытым и замкнутым подмножествами некоторого фиксированного топологического пространства X : подмножество U пространства X замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение в X открыто. По этой причине многие теоремы о замкнутых множествах двойственны теоремам об открытых множествах. Например, любое объединение открытых множеств открыто, поэтому двойственно любое пересечение закрытых множеств закрыто. [7] Внутренность замыкание множества — это самое большое открытое множество, содержащееся в нем, а множества — это наименьшее закрытое множество, содержащее его. В силу двойственности дополнение внутренности любого множества U равно замыканию дополнения к U .

Двойной конус [ править ]

Набор C (синий) и его двойной конус C. * (красный).

Двойственность геометрии обеспечивается за счет конструкции двойного конуса . Учитывая набор точек на плоскости (или, в более общем плане, указывает на ), двойственный конус определяется как множество состоящий из этих точек удовлетворяющий

по всем пунктам в , как показано на схеме.В отличие от упомянутого выше дополнения множеств, в целом неверно, что двукратное применение конструкции двойного конуса возвращает исходный набор. . Вместо, это самый маленький конус [8] содержащий который может быть больше, чем . Следовательно, эта двойственность слабее предыдущей, поскольку

  • Двукратное применение операции возвращает возможно больший набор: для всех , содержится в . (Для некоторых , а именно конусы, на самом деле они равны.)

Два других свойства сохраняются без изменений:

  • По-прежнему верно, что включение превращается во включение в противоположном направлении ( ).
  • Даны два подмножества и самолета, содержится в тогда и только тогда, когда содержится в .

Двойное векторное пространство [ править ]

Очень важный пример двойственности возникает в линейной алгебре сопоставляется , когда любому векторному пространству V его двойственное векторное пространство V. * . Его элементами являются линейные функционалы , где K поле , над которым V. определено Три свойства двойственного конуса переносятся на этот тип двойственности путем замены подмножеств векторным пространством и включения таких подмножеств линейными отображениями. То есть:

  • Дважды применяя операцию взятия двойственного векторного пространства, мы получаем другое векторное пространство V. ** . Всегда существует карта V V ** . Для некоторых V , а именно конечномерных векторных пространств , это отображение является изоморфизмом .
  • Линейное отображение V W порождает отображение в обратном направлении ( W * V * ).
  • Учитывая два векторных пространства V и W , отображения из V в W * соответствуют отображениям от W до V * .

Особенностью этой двойственности является то, что V и V * изоморфны некоторым объектам, а именно конечномерным векторным пространствам. для обеспечения такого изоморфизма требуется определенный выбор, например выбор базиса V Однако в некотором смысле это удачное совпадение, поскольку . Это также верно в случае, если V является гильбертовым пространством , согласно теореме о представлении Рисса .

Теория Галуа [ править ]

Во всех дуальностях, обсуждавшихся ранее, двойник объекта того же типа, что и сам объект. Например, двойственное векторному пространству снова является векторным пространством. Многие утверждения о дуальности не относятся к этому типу. Вместо этого такая двойственность обнаруживает тесную связь между объектами, казалось бы, разной природы. Одним из примеров такой более общей двойственности является теория Галуа . Для фиксированного расширения Галуа K / F можно связать группу Галуа Gal( K / E ) с любым промежуточным полем E (т. е. F E K ). Эта группа является подгруппой группы Галуа G = Gal( K / F ) . Обратно, любой такой подгруппе H G существует фиксированное поле K ЧАС состоящий из элементов, фиксированных элементами из H .

По сравнению с вышеизложенным, эта двойственность имеет следующие особенности:

  • Расширение F F промежуточных полей приводит к включению групп Галуа в обратном направлении: Gal( K / F ′) ⊆ Gal( K / F ) .
  • Связывание Gal( K / E ) с E и K ЧАС до H обратны друг другу. Таково содержание основной теоремы теории Галуа .

Двойственности, меняющие порядок [ править ]

Диаграмма Хассе набора степеней {1,2,3,4} , частично упорядоченного по . Двойное ЧУУ, т. е. упорядочение по , получается переворачиванием диаграммы вверх дном. Зеленые узлы образуют верхний набор и нижний набор в исходном и двойственном порядке соответственно.

Учитывая частично упорядоченный набор P = ( X , ≤) (сокращение от частично упорядоченного набора; т. е. набор, в котором есть понятие упорядочения, но в котором два элемента не обязательно могут быть размещены в порядке относительно друг друга), двойственное частично упорядоченное множество P д = ( X , ≥) содержит то же основное множество, но с обратным соотношением . Знакомые примеры двойных частичных заказов включают:

  • отношения подмножества и надмножества и на любом наборе множеств, например подмножествах фиксированного множества S . Это порождает первый пример двойственности, упомянутый выше .
  • деления отношения и кратности целых чисел .
  • на людей множестве отношения потомок и предок .

Преобразование двойственности это инволютивный антиавтоморфизм f S частично упорядоченного множества , то есть , меняющая порядок инволюция f : S S . [9] [10] В некоторых важных случаях эти простые свойства однозначно определяют преобразование с точностью до некоторых простых симметрий. Например, если f1 является , f2 их два преобразования двойственности, то композиция порядковым автоморфизмом S ; таким образом, любые два преобразования двойственности различаются только порядковым автоморфизмом. Например, все порядковые автоморфизмы набора степеней S = 2 Р индуцируются перестановками R .

Понятие, определенное для частичного порядка P, будет соответствовать двойственному понятию на двойственном частично упорядоченном множестве P. д . Например, элемент P P. будет максимальным элементом минимальный д : минимальность и максимальность — двойственные понятия в теории порядка. Другими парами двойственных понятий являются верхняя и нижняя границы , нижние множества и верхние множества , идеалы и фильтры .

В топологии открытые множества и закрытые множества — это двойственные понятия: дополнение открытого множества является замкнутым, и наоборот. В теории матроидов семейство множеств, дополняющих независимые множества данного матроида, сами образуют другой матроид, называемый двойственным матроидом .

Двойственность, меняющая измерения [ править ]

Характеристики куба и его двойного октаэдра соответствуют один к одному с обратными размерами.

Существует множество различных, но взаимосвязанных двойственностей, в которых геометрические или топологические объекты соответствуют другим объектам того же типа, но с инверсией размеров характеристик объектов. Классическим примером этого является двойственность Платоновых тел , в которой куб и октаэдр образуют двойственную пару, додекаэдр и икосаэдр образуют двойственную пару, а тетраэдр самодуален. Двойственный многогранник любого из этих многогранников может быть образован как выпуклая оболочка центральных точек каждой грани основного многогранника, поэтому вершины двойственного многогранника соответствуют один к одному с гранями простого многогранника. Аналогично, каждое ребро двойственного соответствует ребру простого, а каждая грань двойственного соответствует вершине простого. Эти соответствия сохраняют инцидентность: если две части основного многогранника касаются друг друга, то же касается и соответствующих двух частей двойственного многогранника . В более общем смысле, используя концепцию полярного возвратно-поступательного движения , любое выпуклый многогранник или, в более общем смысле, любой выпуклый многогранник соответствует двойственному многограннику или двойственному многограннику, причем i -мерный признак n -мерного многогранника соответствует ( n - i - 1) -мерному признаку двойственного многогранника. Сохраняющая инцидентность природа двойственности отражается в том факте, что решетки граней простых и двойственных многогранников или многогранников сами по себе являются теоретико-порядковыми двойственными . Двойственность многогранников и теоретико-порядковая двойственность являются инволюциями : двойственный многогранник двойственного многогранника любого многогранника является исходным многогранником, а двукратное обращение всех отношений порядка возвращает к исходному порядку. Выбор другого центра полярности приводит к геометрически различным двойственным многогранникам, но все они имеют одинаковую комбинаторную структуру.

Плоский граф выделен синим цветом, а его двойственный график — красным.

Из любого трехмерного многогранника можно составить планарный граф — граф его вершин и ребер. Двойственный многогранник имеет двойственный граф — граф с одной вершиной для каждой грани многогранника и с одним ребром для каждых двух соседних граней. Та же концепция двойственности плоского графа может быть обобщена на графы, нарисованные на плоскости, но не исходящие из трехмерного многогранника, или, в более общем плане, на вложения графов на поверхностях более высокого рода: можно нарисовать двойственный граф, поместив одна вершина внутри каждой области, ограниченной циклом ребер во вложении, и рисование ребра, соединяющего любые две области, имеющие общее граничное ребро. Важный пример этого типа взят из вычислительной геометрии : двойственность для любого конечного набора S плоскости между триангуляцией Делоне S и Вороного диаграммой S. точек на Как и в случае с двойственными многогранниками и двойственными многогранниками, двойственность графов на поверхностях представляет собой инволюцию, обращающую размерность: каждая вершина в простом внедренном графе соответствует области двойственного вложения, каждое ребро в простом графе пересекается ребром в двойственном. , и каждая область основного соответствует вершине двойственного. Двойственный граф зависит от того, как встроен основной граф: разные планарные вложения одного графа могут привести к разным двойственным графам. Дуальность матроида — это алгебраическое расширение двойственности планарного графа в том смысле, что двойственный матроид графического матроида планарного графа изоморфен графическому матроиду двойственного графа.

также встречается своего рода геометрическая двойственность В теории оптимизации , но не та, которая меняет местами измерения. Линейная программа может быть задана системой действительных переменных (координатами точки в евклидовом пространстве). ), систему линейных ограничений (определяющих, что точка лежит в полупространстве ; пересечение этих полупространств представляет собой выпуклый многогранник, допустимую область программы) и линейную функцию (что оптимизировать). Каждая линейная программа имеет двойственную задачу с одним и тем же оптимальным решением, но переменные в двойственной задаче соответствуют ограничениям в основной задаче и наоборот.

Двойственность в логике и теории множеств [ править ]

В логике функции или отношения A и B считаются двойственными, если A ( ¬x ) = ¬B ( x ) , где ¬ — логическое отрицание . Основная двойственность этого типа — это двойственность кванторов ∃ и ∀ в классической логике. Они двойственны, потому что x P ( x ) и ¬∀ x . P ( x ) эквивалентны для всех предикатов P в классической логике: если существует x , для которого P не выполняется, то неверно, что P выполняется для всех x (но обратное не выполняется конструктивно). Из этой фундаментальной логической двойственности вытекают еще несколько:

  • Говорят, что формула выполнима присвоены значения в определенной модели, если ее свободным переменным , которые делают ее истинной; оно действительно, если каждое присвоение его свободным переменным делает его истинным. Выполнимость и обоснованность двойственны, поскольку недействительными являются именно те формулы, отрицания которых выполнимы, а невыполнимыми являются те формулы, отрицания которых действительны. Это можно рассматривать как частный случай предыдущего пункта, когда квантификаторы варьируются в зависимости от интерпретации.
  • В классической логике операторы ∧ и двойственны в этом смысле, поскольку x ∧ ¬ y ) и ¬( x y ) эквивалентны. Это означает, что для каждой теоремы классической логики существует эквивалентная двойственная теорема. Законы де Моргана являются примерами. В более общем смысле, x i ) = ¬ x i . Левая часть истинна тогда и только тогда, когда i x i , а правая часть тогда и только тогда, когда ¬∃ i . х я .
  • В модальной логике p означает , что предложение p «необходимо» истинно, а p что p «возможно» истинно. Большинство интерпретаций модальной логики приписывают этим двум операторам двойное значение. Например, в семантике Крипке « p возможно истинно» означает «существует некоторый мир W такой, что p истинно в » , тогда как « p обязательно истинно» означает «для всех миров W p W истинно в W ». Тогда двойственность и следует из аналогичной двойственности и . Другие двойственные модальные операторы ведут себя аналогично. Например, во временной логике есть операторы, обозначающие «будет истинно в какой-то момент в будущем» и «будет истинно в любое время в будущем», которые также являются двойственными.

Из этого следуют другие аналогичные двойственности:

  • Теоретико-множественное объединение и пересечение двойственны относительно дополнения множеств оператора С . То есть, А С Б С знак равно ( А B ) С и, в более общем смысле, A С
    α
    знак равно ( А α ) С
    . Это следует из двойственности и : элемент x является членом A С
    α
    тогда и только тогда, когда α x A α и является членом ( A α ) С тогда и только тогда, когда ¬∃ α . Икс А α .

Двойные объекты [ править ]

Группу дуальностей можно описать, наделив для любого математического объекта X множество морфизмов ( X , D ) в некоторый фиксированный объект D со структурой, аналогичной структуре X. Hom Иногда это называют внутренним Hom . В общем, это дает истинную двойственность только для конкретного выбора D , и в этом случае X * = Hom ( X , D ) называется двойственным к X . Всегда существует отображение X в бидуальное , то есть двойственное двойственному.

Он присваивает некоторому x X карту, которая сопоставляет любому отображению f : X D (т. е. элементу из Hom( X , D ) ) значение f ( x ) .В зависимости от конкретной рассматриваемой двойственности, а также от объекта X это отображение может быть или не быть изоморфизмом.

Еще раз о двойственных векторных пространствах [ править ]

Построение двойственного векторного пространства

упомянутое во введении является примером такой двойственности. Действительно, набор морфизмов, т. е. линейных отображений , сам по себе образует векторное пространство. Карта V V ** упомянутое выше всегда инъективно. изоморфизм тогда и только тогда, когда размерность V Он сюръективен и, следовательно , конечна. Этот факт характеризует конечномерные векторные пространства без привязки к базису.

Изоморфизмы V и V и внутренние пространства продукта [ править ]

Векторное пространство V изоморфно V именно в том случае, если V конечномерно. В этом случае такой изоморфизм эквивалентен невырожденной билинейной форме

В этом случае V называется пространством внутреннего продукта .Например, если K — поле действительных или комплексных чисел , любая положительно определенная билинейная форма порождает такой изоморфизм. В римановой геометрии V считается касательным пространством многообразия , и такие положительные билинейные формы называются римановыми метриками . Их цель – измерение углов и расстояний. Таким образом, двойственность является фундаментальной основой этой отрасли геометрии. Другое применение пространств внутреннего продукта — звезда Ходжа , которая обеспечивает соответствие между элементами внешней алгебры . Для n -мерного векторного пространства звездный оператор Ходжа отображает k -формы в ( n - k ) -формы. Это можно использовать для формулировки уравнений Максвелла . В этом облике двойственность, присущая внутреннему пространству продукта, меняет роль магнитного и электрического полей .

Двойственность в проективной геометрии [ править ]

Полный четырехугольник , конфигурация из четырех точек и шести линий на проективной плоскости (слева), и его двойственная конфигурация, полный четырехугольник, с четырьмя линиями и шестью точками (справа).

В некоторых проективных плоскостях можно найти геометрические преобразования , которые отображают каждую точку проективной плоскости в линию, а каждую линию проективной плоскости в точку способом, сохраняющим инцидентность. [11] Для таких плоскостей возникает общий принцип двойственности в проективных плоскостях : для любой теоремы в такой плоской проективной геометрии замена повсюду терминов «точка» и «линия» приводит к новой, равно истинной теореме. [12] Простой пример: утверждение «две точки определяют уникальную линию, линия, проходящая через эти точки» имеет двойственное утверждение: «две линии определяют уникальную точку, точку пересечения этих двух линий». Дополнительные примеры см. в разделе Двойственные теоремы .

Концептуальное объяснение этого явления в некоторых плоскостях (особенно в плоскостях поля) предлагает двойственное векторное пространство. Действительно, точки проективной плоскости соответствуют одномерным субвекторным пространствам [13] а прямые на проективной плоскости соответствуют субвекторным пространствам размерности 2. Двойственность в таких проективных геометриях возникает из-за присвоения одномерному подпространство состоящий из этих линейных карт которые удовлетворяют . Как следствие формулы размерности линейной алгебры , это пространство двумерно, т. е. соответствует прямой на проективной плоскости, ассоциированной с .

(Положительно определенная) билинейная форма

дает отождествление этой проективной плоскости с . Конкретно, двойственность приписывает его ортогональный . Явные формулы двойственности в проективной геометрии возникают посредством этого отождествления.

векторные пространства и Топологические пространства гильбертовы

В области топологических векторных пространств существует аналогичная конструкция, заменяющая двойственное векторное пространство топологическим двойственным векторным пространством. Существует несколько представлений о топологическом дуальном пространстве, и каждое из них порождает определенное понятие двойственности. Топологическое векторное пространство канонически изоморфный своему бидуальному называется рефлексивным пространством :

Примеры:

Дальнейшие двойные объекты [ править ]

Двойственная решетка решетки L вид имеет

набор линейных функций в действительном векторном пространстве, содержащем решетку, которые отображают точки решетки в целые числа . Это используется при построении торических многообразий . [16] локально Двойственная Понтрягину компактная топологическая группа G имеет вид
непрерывные групповые гомоморфизмы со значениями в окружности (с умножением комплексных чисел как групповой операцией).

Двойные категории [ править ]

Противоположная категория и присоединенные функторы [ править ]

В другой группе дуальностей объекты одной теории переводятся в объекты другой теории, а отображения между объектами первой теории переводятся в морфизмы второй теории, но с обратным направлением. На языке теории категорий это представляет собой контравариантный функтор между двумя категориями C и D :

Ф : С Д

что для любых двух объектов X и Y из C дает карту

Хом C ( Икс , Y ) → Хом D ( F ( Y ), F ( Икс ))

Этот функтор может быть или не быть эквивалентностью категорий . Существуют различные ситуации, когда такой функтор является эквивалентностью противоположной категории C на C и D. ​Используя двойственность этого типа, каждое утверждение первой теории можно перевести в «двойственное» утверждение второй теории, где направление всех стрелок должно быть изменено на противоположное. [17] Следовательно, любая двойственность между категориями C и D формально аналогична эквивалентности между C и D. на ( С на и Д ). Однако во многих случаях противоположные категории не имеют собственного значения, что делает двойственность дополнительным, отдельным понятием. [18]

Категория, эквивалентная своей двойственной, называется самодвойственной . Примером самодвойственной категории является категория гильбертовых пространств . [19]

Многие теоретико-категорные понятия существуют парами в том смысле, что они соответствуют друг другу при рассмотрении противоположной категории. Например, декартовы произведения Y 1 × Y 2 и непересекающиеся объединения множеств Y 1 Y 2 двойственны друг другу в том смысле, что

Хом ( Икс , Y 1 × Y 2 ) знак равно Хом ( Икс , Y 1 ) × Хом ( Икс , Y 2 )

и

Хом ( Y 1 Y 2 , Икс ) знак равно Хом ( Y 1 , Икс ) × Хом ( Y 2 , Икс )

для любого X. множества Это частный случай более общего явления двойственности, при котором пределы в категории C соответствуют копределам в противоположной категории C. на ; Дальнейшими конкретными примерами этого являются эпиморфизмы и мономорфизмы , в частности фактор-модули (или группы и т. д.) и подмодули , прямые произведения и прямые суммы (также называемые копродукциями , чтобы подчеркнуть аспект двойственности). Поэтому в некоторых случаях доказательства некоторых утверждений можно сократить вдвое, используя такое явление двойственности. Дальнейшими понятиями, связанными с такой категориальной двойственностью, являются проективные и инъективные модули в гомологической алгебре . [20] расслоения и кофибрации в топологии и, в более общем смысле, модельных категориях . [21]

Два функтора F : C D и G : D C сопряжены C если для всех объектов c в D и d в ,

Hom D (F( c ), d ) ≅ Hom C ( c , G ( d )) ,

естественным образом. Собственно, соответствие пределов и копределов является примером сопряженных, поскольку имеется присоединение

колим: C я С

между функтором копредела, который присваивает любой диаграмме в C, индексированной некоторой категорией I, ее копредел, и диагональным функтором, который отображает любой объект c из C в постоянную диаграмму, которая имеет c во всех местах. Двойственно,

Δ: С С я : лим .

Пространства и функции [ править ]

Двойственность Гельфанда — это двойственность между коммутативными C*-алгебрами A и компактными хаусдорфовыми пространствами X. То же самое: он сопоставляет X пространство непрерывных функций (которые обращаются в нуль на бесконечности) от X до C — комплексных чисел. наоборот, пространство X можно восстановить из A как спектр A И . Двойственность как Гельфанда, так и Понтрягина может быть выведена в значительной степени формальным, теоретико-категорным способом. [22]

существует двойственность образом в алгебраической геометрии между коммутативными кольцами и аффинными схемами : каждому коммутативному кольцу A соответствует аффинный спектр Spec A. Подобным же И наоборот, учитывая аффинную схему S можно получить обратно кольцо, взяв глобальные сечения структурного пучка OS , . Кроме того, гомоморфизмы колец находятся во взаимно однозначном соответствии с морфизмами аффинных схем, тем самым имеет место эквивалентность

(Коммутативные кольца) на ≅ (аффинные схемы) [23]

Аффинные схемы являются локальными строительными блоками схем . Таким образом, предыдущий результат говорит о том, что локальная теория схем — это то же самое, что и коммутативная алгебра , изучение коммутативных колец.

Некоммутативная геометрия черпает вдохновение из двойственности Гельфанда и изучает некоммутативные C*-алгебры, как если бы они были функциями в некотором воображаемом пространстве. Дуальность Таннаки–Крейна является некоммутативным аналогом двойственности Понтрягина. [24]

Связи Галуа с

В ряде ситуаций две двойственные друг другу категории фактически возникают из частично упорядоченных множеств, т. е. существует некое представление о том, что один объект «меньше», чем другой. Двойственность, которая соблюдает рассматриваемый порядок, известна как связь Галуа . Примером может служить стандартная двойственность в теории Галуа , упомянутая во введении: большее расширение поля соответствует — при отображении, которое ставит в соответствие любому расширению L K (внутри некоторого фиксированного большего поля Ω) группу Галуа Gal (Ω/ L ) — меньшая группа. [25]

Совокупность всех открытых подмножеств топологического пространства X образует полную алгебру Гейтинга . Существует двойственность, известная как двойственность Камня , соединяющая трезвые пространства и пространственные места .

Двойственность Понтрягина [ править ]

Двойственность Понтрягина дает двойственность в категории локально компактных абелевых групп : для любой такой группы G характеров группа

χ( G ) = Hom ( G , S 1 )

задаваемые непрерывными групповыми гомоморфизмами из G в группу окружностей S 1 может быть наделен компактно-открытой топологией . Двойственность Понтрягина утверждает, что группа характеров снова является локально компактной абелевой и что

G ≅ χ(χ( G )). [26]

Более того, дискретные группы соответствуют компактным абелевым группам ; конечные группы соответствуют конечным группам. С одной стороны, Понтрягин — частный случай гельфандовской двойственности. С другой стороны, это концептуальная причина анализа Фурье , см. ниже.

двойственность Аналитическая

В анализе задачи часто решают путем перехода к двойственному описанию функций и операторов.

Преобразование Фурье переключается между функциями в векторном пространстве и его двойственном пространстве:

и наоборот
Если f — это L 2 -функция на R или R Н , скажем, тогда так и есть и . Более того, преобразование меняет местами операции умножения и свертки в соответствующих функциональных пространствах . Концептуальное объяснение преобразования Фурье дает упомянутая выше двойственность Понтрягина, примененная к локально компактным группам R (или R Н и т. д.): любой характер R задается равенством ξ ↦ e −2 пикс . Дуализирующий характер преобразования Фурье имеет множество других проявлений, например, в альтернативных описаниях квантово-механических систем в терминах координатных и импульсных представлений.

Гомологии и когомологии [ править ]

Теоремы, показывающие, что определенные объекты, представляющие интерес, являются двойственными пространствами (в смысле линейной алгебры) других объектов, представляющих интерес, часто называют двойственностями . Многие из этих двойственностей задаются билинейным спариванием двух K -векторных пространств.

А Б К .

, для совершенных спариваний существует изоморфизм A к двойственному B Следовательно .

Двойственность Пуанкаре [ править ]

Двойственность Пуанкаре гладкого компактного комплексного многообразия X задается спариванием сингулярных когомологий с C -коэффициентами (эквивалентно пучковыми когомологиями постоянного пучка C ).

ЧАС я (X) ⊗ H 2 п - я (Х) → С ,

где n размерность X. — (комплексная ) [27] Двойственность Пуанкаре также может быть выражена как отношение сингулярных гомологий и когомологий де Рама , утверждая, что отображение

(интегрирование дифференциальной k -формы по 2 n k -(вещественному) -мерному циклу) является идеальным спариванием.

Двойственность Пуанкаре также меняет местами измерения; это соответствует тому факту, что если топологическое многообразие представлено как клеточный комплекс , то двойственный комплекс (высокомерное обобщение двойственного плоского графа) представляет то же многообразие. В двойственности Пуанкаре этот гомеоморфизм отражается в изоморфизме k-й группы гомологий и ( n k )-й группы когомологий .

Двойственность в алгебраической и арифметической геометрии [ править ]

Та же модель двойственности справедлива для гладкого проективного многообразия над сепарабельно замкнутым полем , вместо этого используются l-адические когомологии с Q -коэффициентами. [28] Это далее обобщается на возможные сингулярные многообразия , используя вместо этого когомологии пересечения , двойственность, называемую двойственностью Вердье . [29] Двойственность Серра или когерентная двойственность аналогичны приведенным выше утверждениям, но вместо этого применяются к когомологиям когерентных пучков . [30]

Оказывается, с увеличением уровня общности для понимания этих теорем полезно или необходимо все больше технических знаний: современная формулировка этих дуальностей может быть сделана с использованием производных категорий и определенных функторов прямого и обратного образа пучков (по отношению к классическая аналитическая топология на многообразиях для двойственности Пуанкаре, l-адических пучков и этальной топологии во втором случае и относительно когерентных пучков для когерентной двойственности).

Еще одна группа подобных утверждений двойственности встречается в арифметике : этальные когомологии конечных , локальных и глобальных полей (также известные как когомологии Галуа , поскольку этальные когомологии над полем эквивалентны групповым когомологиям (абсолютной) группы Галуа поля) признать похожие пары. Например, абсолютная группа Галуа G ( F q ) конечного поля изоморфна , бесконечное пополнение Z , целые числа. Следовательно, идеальное спаривание (для любого G -модуля M )

ЧАС н ( г , M ) × ЧАС 1− н ( G , Hom ( M , Q / Z )) → Q / Z [31]

является прямым следствием двойственности Понтрягина конечных групп. Для локальных и глобальных полей существуют аналогичные утверждения ( локальная двойственность и глобальная двойственность или двойственность Пуату-Тейта ). [32]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Атья 2007 , с. 1
  2. ^ Кострикин 2001. Эта цитата является первым предложением последнего раздела «Комментарии» в этом одностраничном документе.
  3. ^ Гауэрс 2008 , с. 187, кол. 1
  4. ^ Гауэрс 2008 , с. 189, кол. 2
  5. ^ Атья 2007 , с. 1
  6. ^ Дополнение также обозначается как S \ A .
  7. ^ Рудин (1976 , стр. 34)
  8. ^ Точнее, — наименьший замкнутый выпуклый конус, содержащий .
  9. ^ Артштейн-Авидан и Милман, 2007 г.
  10. ^ Артштейн-Авидан и Милман, 2008 г.
  11. ^ Веблен и Янг, 1965 .
  12. ^ (Веблен и Янг , 1965 , глава I, теорема 11)
  13. ^ В более общем плане можно рассматривать проективные плоскости над любым полем, например, комплексными числами, конечными полями или даже телами .
  14. ^ См . эллиптическую регулярность .
  15. ^ Эдвардс (1965 , 8.4.7).
  16. ^ Фултон 1993
  17. ^ Мак Лейн 1998 , гл. II.1.
  18. ^ (Лам 1999 , §19C)
  19. ^ Иржи Адамек; Дж. Росицки (1994). Локально презентабельные и доступные категории . Издательство Кембриджского университета. п. 62. ИСБН  978-0-521-42261-1 .
  20. ^ Вайбель ( 1994 )
  21. ^ Дуайер и Спалиньски ( 1995 )
  22. ^ Негрепонтис 1971 .
  23. ^ Хартсхорн 1966 , Гл. II.2, особенно. Предложение II.2.3
  24. ^ Радостный и улица ( 1991 )
  25. ^ См. (Lang 2002 , теорема VI.1.1) о конечных расширениях Галуа.
  26. ^ (Лумис 1953 , стр. 151, раздел 37D)
  27. ^ Гриффитс и Харрис 1994 , с. 56
  28. ^ Милн 1980 , Гл. VI.11.
  29. ^ Иверсен 1986 , Гл. VII.3, VII.5
  30. ^ Хартсхорн 1966 , Гл. III.7
  31. ^ Милн ( 2006 , Пример I.1.10)
  32. ^ Мазур ( 1973 ); Милн ( 2006 )

Ссылки [ править ]

Двойственность в целом [ править ]

Двойственность в алгебраической топологии [ править ]

Конкретные двойственности [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: b7c601f6601324b666036be1f4311e4e__1718081460
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/b7/4e/b7c601f6601324b666036be1f4311e4e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Duality (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)