Двойственность (математика)
В математике двойственность то переводит понятия, теоремы или математические структуры в другие понятия, теоремы или структуры взаимно однозначным образом, часто (но не всегда) посредством операции инволюции : если двойственное к A есть B , двойственное B есть A. к Такие инволюции иногда имеют неподвижные точки , так что двойственное к А есть А. само Например, теорема Дезарга самодвойственна в этом смысле относительно стандартной двойственности в проективной геометрии .
В математическом контексте двойственность имеет множество значений. [1] Его описывают как «очень распространенную и важную концепцию в (современной) математике». [2] и «важная общая тема, которая проявляется почти во всех областях математики». [3]
Многие математические двойственности между объектами двух типов соответствуют спариванию билинейных функций объекта одного типа и другого объекта второго типа с некоторым семейством скаляров. Например, двойственность линейной алгебры таким образом соответствует билинейным отображениям пар векторных пространств в скаляры, двойственность между распределениями и соответствующими пробными функциями соответствует спариванию, в котором распределение интегрируется с пробной функцией, а двойственность Пуанкаре соответствует аналогичным образом. к числу пересечений , рассматриваемому как спаривание между подмногообразиями данного многообразия. [4]
С точки зрения теории категорий , двойственность также можно рассматривать как функтор , по крайней мере, в области векторных пространств. Этот функтор присваивает каждому пространству его двойственное пространство, а конструкция обратного образа присваивает каждой стрелке f : V → W ее двойственное f. ∗ : В ∗ → V ∗ .
Вводные примеры [ править ]
По словам Майкла Атьи ,
Двойственность в математике — это не теорема, а «принцип». [5]
Следующий список примеров показывает общие черты многих дуальностей, но также указывает на то, что точное значение дуальности может варьироваться от случая к случаю.
Дополнение подмножества [ править ]
Простая двойственность возникает при рассмотрении подмножеств фиксированного S. множества К любому A ⊆ S дополнение A подмножеству с [6] состоит из всех тех элементов S которые не содержатся в A. , Это снова подмножество S . Прием комплемента обладает следующими свойствами:
- Его применение дважды возвращает исходный набор, т. е. ( A с ) с = А. Об этом говорят, говоря, что операция взятия дополнения является инволюцией .
- Включение множеств A ⊆ B превращается во включение в противоположном направлении B. с ⊆ А с .
- Учитывая два подмножества A и B из S , A содержится в B с тогда и только тогда, когда B содержится в A с .
Эта двойственность проявляется в топологии как двойственность между открытым и замкнутым подмножествами некоторого фиксированного топологического пространства X : подмножество U пространства X замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение в X открыто. По этой причине многие теоремы о замкнутых множествах двойственны теоремам об открытых множествах. Например, любое объединение открытых множеств открыто, поэтому двойственно любое пересечение закрытых множеств закрыто. [7] Внутренность замыкание множества — это самое большое открытое множество, содержащееся в нем, а множества — это наименьшее закрытое множество, содержащее его. В силу двойственности дополнение внутренности любого множества U равно замыканию дополнения к U .
Двойной конус [ править ]
Двойственность геометрии обеспечивается за счет конструкции двойного конуса . Учитывая набор точек на плоскости (или, в более общем плане, указывает на ), двойственный конус определяется как множество состоящий из этих точек удовлетворяющий
- Двукратное применение операции возвращает возможно больший набор: для всех , содержится в . (Для некоторых , а именно конусы, на самом деле они равны.)
Два других свойства сохраняются без изменений:
- По-прежнему верно, что включение превращается во включение в противоположном направлении ( ).
- Даны два подмножества и самолета, содержится в тогда и только тогда, когда содержится в .
Двойное векторное пространство [ править ]
Очень важный пример двойственности возникает в линейной алгебре сопоставляется , когда любому векторному пространству V его двойственное векторное пространство V. * . Его элементами являются линейные функционалы , где K — поле , над которым V. определено Три свойства двойственного конуса переносятся на этот тип двойственности путем замены подмножеств векторным пространством и включения таких подмножеств линейными отображениями. То есть:
- Дважды применяя операцию взятия двойственного векторного пространства, мы получаем другое векторное пространство V. ** . Всегда существует карта V → V ** . Для некоторых V , а именно конечномерных векторных пространств , это отображение является изоморфизмом .
- Линейное отображение V → W порождает отображение в обратном направлении ( W * → V * ).
- Учитывая два векторных пространства V и W , отображения из V в W * соответствуют отображениям от W до V * .
Особенностью этой двойственности является то, что V и V * изоморфны некоторым объектам, а именно конечномерным векторным пространствам. для обеспечения такого изоморфизма требуется определенный выбор, например выбор базиса V Однако в некотором смысле это удачное совпадение, поскольку . Это также верно в случае, если V является гильбертовым пространством , согласно теореме о представлении Рисса .
Теория Галуа [ править ]
Во всех дуальностях, обсуждавшихся ранее, двойник объекта того же типа, что и сам объект. Например, двойственное векторному пространству снова является векторным пространством. Многие утверждения о дуальности не относятся к этому типу. Вместо этого такая двойственность обнаруживает тесную связь между объектами, казалось бы, разной природы. Одним из примеров такой более общей двойственности является теория Галуа . Для фиксированного расширения Галуа K / F можно связать группу Галуа Gal( K / E ) с любым промежуточным полем E (т. е. F ⊆ E ⊆ K ). Эта группа является подгруппой группы Галуа G = Gal( K / F ) . Обратно, любой такой подгруппе H ⊆ G существует фиксированное поле K ЧАС состоящий из элементов, фиксированных элементами из H .
По сравнению с вышеизложенным, эта двойственность имеет следующие особенности:
- Расширение F ⊆ F ′ промежуточных полей приводит к включению групп Галуа в обратном направлении: Gal( K / F ′) ⊆ Gal( K / F ) .
- Связывание Gal( K / E ) с E и K ЧАС до H обратны друг другу. Таково содержание основной теоремы теории Галуа .
Двойственности, меняющие порядок [ править ]
Учитывая частично упорядоченный набор P = ( X , ≤) (сокращение от частично упорядоченного набора; т. е. набор, в котором есть понятие упорядочения, но в котором два элемента не обязательно могут быть размещены в порядке относительно друг друга), двойственное частично упорядоченное множество P д = ( X , ≥) содержит то же основное множество, но с обратным соотношением . Знакомые примеры двойных частичных заказов включают:
- отношения подмножества и надмножества ⊂ и ⊃ на любом наборе множеств, например подмножествах фиксированного множества S . Это порождает первый пример двойственности, упомянутый выше .
- деления отношения и кратности целых чисел .
- на людей множестве отношения потомок и предок .
— Преобразование двойственности это инволютивный антиавтоморфизм f S частично упорядоченного множества , то есть , меняющая порядок инволюция f : S → S . [9] [10] В некоторых важных случаях эти простые свойства однозначно определяют преобразование с точностью до некоторых простых симметрий. Например, если f1 является , f2 их два преобразования двойственности, то композиция порядковым автоморфизмом S — ; таким образом, любые два преобразования двойственности различаются только порядковым автоморфизмом. Например, все порядковые автоморфизмы набора степеней S = 2 Р индуцируются перестановками R .
Понятие, определенное для частичного порядка P, будет соответствовать двойственному понятию на двойственном частично упорядоченном множестве P. д . Например, элемент P P. будет максимальным элементом минимальный д : минимальность и максимальность — двойственные понятия в теории порядка. Другими парами двойственных понятий являются верхняя и нижняя границы , нижние множества и верхние множества , идеалы и фильтры .
В топологии открытые множества и закрытые множества — это двойственные понятия: дополнение открытого множества является замкнутым, и наоборот. В теории матроидов семейство множеств, дополняющих независимые множества данного матроида, сами образуют другой матроид, называемый двойственным матроидом .
Двойственность, меняющая измерения [ править ]
Существует множество различных, но взаимосвязанных двойственностей, в которых геометрические или топологические объекты соответствуют другим объектам того же типа, но с инверсией размеров характеристик объектов. Классическим примером этого является двойственность Платоновых тел , в которой куб и октаэдр образуют двойственную пару, додекаэдр и икосаэдр образуют двойственную пару, а тетраэдр самодуален. Двойственный многогранник любого из этих многогранников может быть образован как выпуклая оболочка центральных точек каждой грани основного многогранника, поэтому вершины двойственного многогранника соответствуют один к одному с гранями простого многогранника. Аналогично, каждое ребро двойственного соответствует ребру простого, а каждая грань двойственного соответствует вершине простого. Эти соответствия сохраняют инцидентность: если две части основного многогранника касаются друг друга, то же касается и соответствующих двух частей двойственного многогранника . В более общем смысле, используя концепцию полярного возвратно-поступательного движения , любое выпуклый многогранник или, в более общем смысле, любой выпуклый многогранник соответствует двойственному многограннику или двойственному многограннику, причем i -мерный признак n -мерного многогранника соответствует ( n - i - 1) -мерному признаку двойственного многогранника. Сохраняющая инцидентность природа двойственности отражается в том факте, что решетки граней простых и двойственных многогранников или многогранников сами по себе являются теоретико-порядковыми двойственными . Двойственность многогранников и теоретико-порядковая двойственность являются инволюциями : двойственный многогранник двойственного многогранника любого многогранника является исходным многогранником, а двукратное обращение всех отношений порядка возвращает к исходному порядку. Выбор другого центра полярности приводит к геометрически различным двойственным многогранникам, но все они имеют одинаковую комбинаторную структуру.
Из любого трехмерного многогранника можно составить планарный граф — граф его вершин и ребер. Двойственный многогранник имеет двойственный граф — граф с одной вершиной для каждой грани многогранника и с одним ребром для каждых двух соседних граней. Та же концепция двойственности плоского графа может быть обобщена на графы, нарисованные на плоскости, но не исходящие из трехмерного многогранника, или, в более общем плане, на вложения графов на поверхностях более высокого рода: можно нарисовать двойственный граф, поместив одна вершина внутри каждой области, ограниченной циклом ребер во вложении, и рисование ребра, соединяющего любые две области, имеющие общее граничное ребро. Важный пример этого типа взят из вычислительной геометрии : двойственность для любого конечного набора S плоскости между триангуляцией Делоне S и Вороного диаграммой S. точек на Как и в случае с двойственными многогранниками и двойственными многогранниками, двойственность графов на поверхностях представляет собой инволюцию, обращающую размерность: каждая вершина в простом внедренном графе соответствует области двойственного вложения, каждое ребро в простом графе пересекается ребром в двойственном. , и каждая область основного соответствует вершине двойственного. Двойственный граф зависит от того, как встроен основной граф: разные планарные вложения одного графа могут привести к разным двойственным графам. Дуальность матроида — это алгебраическое расширение двойственности планарного графа в том смысле, что двойственный матроид графического матроида планарного графа изоморфен графическому матроиду двойственного графа.
также встречается своего рода геометрическая двойственность В теории оптимизации , но не та, которая меняет местами измерения. Линейная программа может быть задана системой действительных переменных (координатами точки в евклидовом пространстве). ), систему линейных ограничений (определяющих, что точка лежит в полупространстве ; пересечение этих полупространств представляет собой выпуклый многогранник, допустимую область программы) и линейную функцию (что оптимизировать). Каждая линейная программа имеет двойственную задачу с одним и тем же оптимальным решением, но переменные в двойственной задаче соответствуют ограничениям в основной задаче и наоборот.
Двойственность в логике и теории множеств [ править ]
В логике функции или отношения A и B считаются двойственными, если A ( ¬x ) = ¬B ( x ) , где ¬ — логическое отрицание . Основная двойственность этого типа — это двойственность кванторов ∃ и ∀ в классической логике. Они двойственны, потому что ∃ x .¬ P ( x ) и ¬∀ x . P ( x ) эквивалентны для всех предикатов P в классической логике: если существует x , для которого P не выполняется, то неверно, что P выполняется для всех x (но обратное не выполняется конструктивно). Из этой фундаментальной логической двойственности вытекают еще несколько:
- Говорят, что формула выполнима присвоены значения в определенной модели, если ее свободным переменным , которые делают ее истинной; оно действительно, если каждое присвоение его свободным переменным делает его истинным. Выполнимость и обоснованность двойственны, поскольку недействительными являются именно те формулы, отрицания которых выполнимы, а невыполнимыми являются те формулы, отрицания которых действительны. Это можно рассматривать как частный случай предыдущего пункта, когда квантификаторы варьируются в зависимости от интерпретации.
- В классической логике операторы ∧ и ∨ двойственны в этом смысле, поскольку (¬ x ∧ ¬ y ) и ¬( x ∨ y ) эквивалентны. Это означает, что для каждой теоремы классической логики существует эквивалентная двойственная теорема. Законы де Моргана являются примерами. В более общем смысле, ∧ (¬ x i ) = ¬ ∨ x i . Левая часть истинна тогда и только тогда, когда ∀ i .¬ x i , а правая часть тогда и только тогда, когда ¬∃ i . х я .
- В модальной логике □ p означает , что предложение p «необходимо» истинно, а ◊ p что p «возможно» истинно. Большинство интерпретаций модальной логики приписывают этим двум операторам двойное значение. Например, в семантике Крипке « p возможно истинно» означает «существует некоторый мир W такой, что p истинно в » , тогда как « p обязательно истинно» означает «для всех миров W p W истинно в W ». Тогда двойственность □ и ◊ следует из аналогичной двойственности ∀ и ∃ . Другие двойственные модальные операторы ведут себя аналогично. Например, во временной логике есть операторы, обозначающие «будет истинно в какой-то момент в будущем» и «будет истинно в любое время в будущем», которые также являются двойственными.
Из этого следуют другие аналогичные двойственности:
- Теоретико-множественное объединение и пересечение двойственны относительно дополнения множеств оператора ⋅ С . То есть, А С ∩ Б С знак равно ( А ∪ B ) С и, в более общем смысле, ∩ A С
α знак равно ( ∪ А α ) С . Это следует из двойственности ∀ и ∃ : элемент x является членом ∩ A С
α тогда и только тогда, когда ∀ α .¬ x ∈ A α и является членом ( ∪ A α ) С тогда и только тогда, когда ¬∃ α . Икс ∈ А α .
Двойные объекты [ править ]
Группу дуальностей можно описать, наделив для любого математического объекта X множество морфизмов ( X , D ) в некоторый фиксированный объект D со структурой, аналогичной структуре X. Hom Иногда это называют внутренним Hom . В общем, это дает истинную двойственность только для конкретного выбора D , и в этом случае X * = Hom ( X , D ) называется двойственным к X . Всегда существует отображение X в бидуальное , то есть двойственное двойственному.
Еще раз о двойственных векторных пространствах [ править ]
Построение двойственного векторного пространства
Изоморфизмы V и V ∗ и внутренние пространства продукта [ править ]
Векторное пространство V изоморфно V ∗ именно в том случае, если V конечномерно. В этом случае такой изоморфизм эквивалентен невырожденной билинейной форме
Двойственность в проективной геометрии [ править ]
В некоторых проективных плоскостях можно найти геометрические преобразования , которые отображают каждую точку проективной плоскости в линию, а каждую линию проективной плоскости в точку способом, сохраняющим инцидентность. [11] Для таких плоскостей возникает общий принцип двойственности в проективных плоскостях : для любой теоремы в такой плоской проективной геометрии замена повсюду терминов «точка» и «линия» приводит к новой, равно истинной теореме. [12] Простой пример: утверждение «две точки определяют уникальную линию, линия, проходящая через эти точки» имеет двойственное утверждение: «две линии определяют уникальную точку, точку пересечения этих двух линий». Дополнительные примеры см. в разделе Двойственные теоремы .
Концептуальное объяснение этого явления в некоторых плоскостях (особенно в плоскостях поля) предлагает двойственное векторное пространство. Действительно, точки проективной плоскости соответствуют одномерным субвекторным пространствам [13] а прямые на проективной плоскости соответствуют субвекторным пространствам размерности 2. Двойственность в таких проективных геометриях возникает из-за присвоения одномерному подпространство состоящий из этих линейных карт которые удовлетворяют . Как следствие формулы размерности линейной алгебры , это пространство двумерно, т. е. соответствует прямой на проективной плоскости, ассоциированной с .
(Положительно определенная) билинейная форма
векторные пространства и Топологические пространства гильбертовы
В области топологических векторных пространств существует аналогичная конструкция, заменяющая двойственное векторное пространство топологическим двойственным векторным пространством. Существует несколько представлений о топологическом дуальном пространстве, и каждое из них порождает определенное понятие двойственности. Топологическое векторное пространство канонически изоморфный своему бидуальному называется рефлексивным пространством :
Примеры:
- Как и в конечномерном случае, в каждом гильбертовом пространстве H его скалярное произведение ⟨⋅, ⋅⟩ определяет отображение которая является биекцией согласно теореме о представлении Рисса . Как следствие, каждое гильбертово пространство является рефлексивным банаховым пространством .
- Двойственное нормированное L пространство п -пространство — это L д где 1/ p + 1/ q = 1 при условии, что 1 ⩽ p < ∞ , но двойственное к L ∞ больше, чем L 1 . Следовательно, L 1 не является рефлексивным.
- Распределения представляют собой линейные функционалы на соответствующих пространствах функций. Они являются важным техническим средством в теории уравнений в частных производных (УЧП): вместо непосредственного решения УЧП может быть проще сначала решить УЧП в «слабом смысле», т. е. найти распределение, которое удовлетворяет УЧП и Во-вторых, чтобы показать, что решение на самом деле должно быть функцией. [14] Все стандартные пространства распределений — , , — рефлексивные локально выпуклые пространства. [15]
Дальнейшие двойные объекты [ править ]
Двойственная решетка решетки L вид имеет
Двойные категории [ править ]
Противоположная категория и присоединенные функторы [ править ]
В другой группе дуальностей объекты одной теории переводятся в объекты другой теории, а отображения между объектами первой теории переводятся в морфизмы второй теории, но с обратным направлением. На языке теории категорий это представляет собой контравариантный функтор между двумя категориями C и D :
что для любых двух объектов X и Y из C дает карту
Этот функтор может быть или не быть эквивалентностью категорий . Существуют различные ситуации, когда такой функтор является эквивалентностью противоположной категории C на C и D. Используя двойственность этого типа, каждое утверждение первой теории можно перевести в «двойственное» утверждение второй теории, где направление всех стрелок должно быть изменено на противоположное. [17] Следовательно, любая двойственность между категориями C и D формально аналогична эквивалентности между C и D. на ( С на и Д ). Однако во многих случаях противоположные категории не имеют собственного значения, что делает двойственность дополнительным, отдельным понятием. [18]
Категория, эквивалентная своей двойственной, называется самодвойственной . Примером самодвойственной категории является категория гильбертовых пространств . [19]
Многие теоретико-категорные понятия существуют парами в том смысле, что они соответствуют друг другу при рассмотрении противоположной категории. Например, декартовы произведения Y 1 × Y 2 и непересекающиеся объединения множеств Y 1 ⊔ Y 2 двойственны друг другу в том смысле, что
и
для любого X. множества Это частный случай более общего явления двойственности, при котором пределы в категории C соответствуют копределам в противоположной категории C. на ; Дальнейшими конкретными примерами этого являются эпиморфизмы и мономорфизмы , в частности фактор-модули (или группы и т. д.) и подмодули , прямые произведения и прямые суммы (также называемые копродукциями , чтобы подчеркнуть аспект двойственности). Поэтому в некоторых случаях доказательства некоторых утверждений можно сократить вдвое, используя такое явление двойственности. Дальнейшими понятиями, связанными с такой категориальной двойственностью, являются проективные и инъективные модули в гомологической алгебре . [20] расслоения и кофибрации в топологии и, в более общем смысле, модельных категориях . [21]
Два функтора F : C → D и G : D → C сопряжены C если для всех объектов c в D и d в ,
естественным образом. Собственно, соответствие пределов и копределов является примером сопряженных, поскольку имеется присоединение
между функтором копредела, который присваивает любой диаграмме в C, индексированной некоторой категорией I, ее копредел, и диагональным функтором, который отображает любой объект c из C в постоянную диаграмму, которая имеет c во всех местах. Двойственно,
Пространства и функции [ править ]
Двойственность Гельфанда — это двойственность между коммутативными C*-алгебрами A и компактными хаусдорфовыми пространствами X. То же самое: он сопоставляет X пространство непрерывных функций (которые обращаются в нуль на бесконечности) от X до C — комплексных чисел. наоборот, пространство X можно восстановить из A как спектр A И . Двойственность как Гельфанда, так и Понтрягина может быть выведена в значительной степени формальным, теоретико-категорным способом. [22]
существует двойственность образом в алгебраической геометрии между коммутативными кольцами и аффинными схемами : каждому коммутативному кольцу A соответствует аффинный спектр Spec A. Подобным же И наоборот, учитывая аффинную схему S можно получить обратно кольцо, взяв глобальные сечения структурного пучка OS , . Кроме того, гомоморфизмы колец находятся во взаимно однозначном соответствии с морфизмами аффинных схем, тем самым имеет место эквивалентность
- (Коммутативные кольца) на ≅ (аффинные схемы) [23]
Аффинные схемы являются локальными строительными блоками схем . Таким образом, предыдущий результат говорит о том, что локальная теория схем — это то же самое, что и коммутативная алгебра , изучение коммутативных колец.
Некоммутативная геометрия черпает вдохновение из двойственности Гельфанда и изучает некоммутативные C*-алгебры, как если бы они были функциями в некотором воображаемом пространстве. Дуальность Таннаки–Крейна является некоммутативным аналогом двойственности Понтрягина. [24]
Связи Галуа с
В ряде ситуаций две двойственные друг другу категории фактически возникают из частично упорядоченных множеств, т. е. существует некое представление о том, что один объект «меньше», чем другой. Двойственность, которая соблюдает рассматриваемый порядок, известна как связь Галуа . Примером может служить стандартная двойственность в теории Галуа , упомянутая во введении: большее расширение поля соответствует — при отображении, которое ставит в соответствие любому расширению L ⊃ K (внутри некоторого фиксированного большего поля Ω) группу Галуа Gal (Ω/ L ) — меньшая группа. [25]
Совокупность всех открытых подмножеств топологического пространства X образует полную алгебру Гейтинга . Существует двойственность, известная как двойственность Камня , соединяющая трезвые пространства и пространственные места .
Двойственность Понтрягина [ править ]
Двойственность Понтрягина дает двойственность в категории локально компактных абелевых групп : для любой такой группы G характеров группа
- χ( G ) = Hom ( G , S 1 )
задаваемые непрерывными групповыми гомоморфизмами из G в группу окружностей S 1 может быть наделен компактно-открытой топологией . Двойственность Понтрягина утверждает, что группа характеров снова является локально компактной абелевой и что
- G ≅ χ(χ( G )). [26]
Более того, дискретные группы соответствуют компактным абелевым группам ; конечные группы соответствуют конечным группам. С одной стороны, Понтрягин — частный случай гельфандовской двойственности. С другой стороны, это концептуальная причина анализа Фурье , см. ниже.
двойственность Аналитическая
В анализе задачи часто решают путем перехода к двойственному описанию функций и операторов.
Преобразование Фурье переключается между функциями в векторном пространстве и его двойственном пространстве:
- Преобразование Лапласа аналогично преобразованию Фурье и заменяет операторы умножения на многочлены линейными дифференциальными операторами с постоянным коэффициентом .
- Преобразование Лежандра — важная аналитическая двойственность, которая переключает скорости в лагранжевой механике и импульсы в гамильтоновой механике .
Гомологии и когомологии [ править ]
Теоремы, показывающие, что определенные объекты, представляющие интерес, являются двойственными пространствами (в смысле линейной алгебры) других объектов, представляющих интерес, часто называют двойственностями . Многие из этих двойственностей задаются билинейным спариванием двух K -векторных пространств.
- А ⊗ Б → К .
, для совершенных спариваний существует изоморфизм A к двойственному B Следовательно .
Двойственность Пуанкаре [ править ]
Двойственность Пуанкаре гладкого компактного комплексного многообразия X задается спариванием сингулярных когомологий с C -коэффициентами (эквивалентно пучковыми когомологиями постоянного пучка C ).
- ЧАС я (X) ⊗ H 2 п - я (Х) → С ,
где n размерность X. — (комплексная ) [27] Двойственность Пуанкаре также может быть выражена как отношение сингулярных гомологий и когомологий де Рама , утверждая, что отображение
(интегрирование дифференциальной k -формы по 2 n − k -(вещественному) -мерному циклу) является идеальным спариванием.
Двойственность Пуанкаре также меняет местами измерения; это соответствует тому факту, что если топологическое многообразие представлено как клеточный комплекс , то двойственный комплекс (высокомерное обобщение двойственного плоского графа) представляет то же многообразие. В двойственности Пуанкаре этот гомеоморфизм отражается в изоморфизме k-й группы гомологий и ( n − k )-й группы когомологий .
Двойственность в алгебраической и арифметической геометрии [ править ]
Та же модель двойственности справедлива для гладкого проективного многообразия над сепарабельно замкнутым полем , вместо этого используются l-адические когомологии с Q ℓ -коэффициентами. [28] Это далее обобщается на возможные сингулярные многообразия , используя вместо этого когомологии пересечения , двойственность, называемую двойственностью Вердье . [29] Двойственность Серра или когерентная двойственность аналогичны приведенным выше утверждениям, но вместо этого применяются к когомологиям когерентных пучков . [30]
Оказывается, с увеличением уровня общности для понимания этих теорем полезно или необходимо все больше технических знаний: современная формулировка этих дуальностей может быть сделана с использованием производных категорий и определенных функторов прямого и обратного образа пучков (по отношению к классическая аналитическая топология на многообразиях для двойственности Пуанкаре, l-адических пучков и этальной топологии во втором случае и относительно когерентных пучков для когерентной двойственности).
Еще одна группа подобных утверждений двойственности встречается в арифметике : этальные когомологии конечных , локальных и глобальных полей (также известные как когомологии Галуа , поскольку этальные когомологии над полем эквивалентны групповым когомологиям (абсолютной) группы Галуа поля) признать похожие пары. Например, абсолютная группа Галуа G ( F q ) конечного поля изоморфна , бесконечное пополнение Z , целые числа. Следовательно, идеальное спаривание (для любого G -модуля M )
- ЧАС н ( г , M ) × ЧАС 1− н ( G , Hom ( M , Q / Z )) → Q / Z [31]
является прямым следствием двойственности Понтрягина конечных групп. Для локальных и глобальных полей существуют аналогичные утверждения ( локальная двойственность и глобальная двойственность или двойственность Пуату-Тейта ). [32]
См. также [ править ]
- Сопряженный функтор
- Автономная категория
- Выпуклое тело и полярное тело.
- Двойное абелевое многообразие
- Двойной базис
- Двойной (теория категорий)
- Двойной код
- Двойственность (электротехника)
- Двойственность (оптимизация)
- Дуализирующий модуль
- Дуализирующая связка
- Двойная решетка
- Двойная норма
- Двойственные числа , некоторая ассоциативная алгебра ; термин «двойной» здесь является синонимом слова «двойной » и не имеет отношения к понятиям, данным выше.
- Двойная система
- Рубашка двойственности
- Ленглендс двойной
- Линейное программирование # Двойственность
- Список дуальностей
- Двойственность Матлиса
- Двойственность Петри
- Двойственность Понтрягина
- S-двойственность
- Т-двойственность , Зеркальная симметрия
Примечания [ править ]
- ^ Атья 2007 , с. 1
- ^ Кострикин 2001. Эта цитата является первым предложением последнего раздела «Комментарии» в этом одностраничном документе.
- ^ Гауэрс 2008 , с. 187, кол. 1
- ^ Гауэрс 2008 , с. 189, кол. 2
- ^ Атья 2007 , с. 1
- ^ Дополнение также обозначается как S \ A .
- ^ Рудин (1976 , стр. 34)
- ^ Точнее, — наименьший замкнутый выпуклый конус, содержащий .
- ^ Артштейн-Авидан и Милман, 2007 г.
- ^ Артштейн-Авидан и Милман, 2008 г.
- ^ Веблен и Янг, 1965 .
- ^ (Веблен и Янг , 1965 , глава I, теорема 11)
- ^ В более общем плане можно рассматривать проективные плоскости над любым полем, например, комплексными числами, конечными полями или даже телами .
- ^ См . эллиптическую регулярность .
- ^ Эдвардс (1965 , 8.4.7).
- ^ Фултон 1993
- ^ Мак Лейн 1998 , гл. II.1.
- ^ (Лам 1999 , §19C)
- ^ Иржи Адамек; Дж. Росицки (1994). Локально презентабельные и доступные категории . Издательство Кембриджского университета. п. 62. ИСБН 978-0-521-42261-1 .
- ^ Вайбель ( 1994 )
- ^ Дуайер и Спалиньски ( 1995 )
- ^ Негрепонтис 1971 .
- ^ Хартсхорн 1966 , Гл. II.2, особенно. Предложение II.2.3
- ^ Радостный и улица ( 1991 )
- ^ См. (Lang 2002 , теорема VI.1.1) о конечных расширениях Галуа.
- ^ (Лумис 1953 , стр. 151, раздел 37D)
- ^ Гриффитс и Харрис 1994 , с. 56
- ^ Милн 1980 , Гл. VI.11.
- ^ Иверсен 1986 , Гл. VII.3, VII.5
- ^ Хартсхорн 1966 , Гл. III.7
- ^ Милн ( 2006 , Пример I.1.10)
- ^ Мазур ( 1973 ); Милн ( 2006 )
Ссылки [ править ]
Двойственность в целом [ править ]
- Атья, Майкл (2007). «Конспекты лекций по двойственности в математике и физике Института математики Университета Барселоны (IMUB)» (PDF) .
- Кострикин, А.И. (2001) [1994], «Двойственность» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
- Гауэрс, Тимоти (2008), «III.19 Двойственность», The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 187–190 .
- Картье, Пьер (2001), «Безумный рабочий день: от Гротендика до Конна и Концевича. Эволюция понятий пространства и симметрии» , Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 38 (4): 389–408, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00913-2 , ISSN 0002-9904 , MR 1848254 (нетехнический обзор некоторых аспектов геометрии, включая двойственность)
Двойственность в алгебраической топологии [ править ]
- Джеймс К. Беккер и Дэниел Генри Готлиб, История двойственности в алгебраической топологии
Конкретные двойственности [ править ]
- Артштейн-Авидан, Шири ; Милман, Виталий (2008), «Концепция двойственности проекций меры выпуклых тел», Journal of Functional Analysis , 254 (10): 2648–66, CiteSeerX 10.1.1.417.3470 , doi : 10.1016/j.jfa.2007.11 .008 . Также авторский сайт .
- Арштейн-Авидан, Шири; Милман, Виталий (2007), «Характеристика концепции двойственности» , Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences , 14 : 42–59, заархивировано из оригинала 24 июля 2011 г. , получено 30 мая 2009 г. Также авторский сайт .
- Дуайер, Уильям Г .; Спалиньский, Ян (1995), «Гомотопические теории и модельные категории» , Справочник по алгебраической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 73–126, MR 1361887 , заархивировано из оригинала 09 февраля 2021 г. , получено 3 марта 2009 г. -11
- Фултон, Уильям (1993), Введение в торические многообразия , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00049-7
- Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9 , МР 1288523
- Хартсхорн, Робин (1966), Остатки и двойственность , Конспект лекций по математике, том. 20, Springer-Verlag , стр. 20–48, ISBN. 978-3-540-34794-1
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , МР 0463157 , OCLC 13348052
- Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3 , МР 0842190
- Джоял, Андре ; Стрит, Росс (1991), «Введение в дуальность Таннака и квантовые группы» (PDF) , Теория категорий , Конспекты лекций по математике, том. 1488, Springer-Verlag , стр. 413–492, doi : 10.1007/BFb0084235 , ISBN. 978-3-540-46435-8 , МР 1173027
- Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике, том. 189, Шпрингер-Верлаг , ISBN 978-0-387-98428-5 , МР 1653294
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 211, Шпрингер-Верлаг , ISBN 978-0-387-95385-4 , МР 1878556
- Лумис, Линн Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Д. Ван Ностранд, стр. x+190, hdl : 2027/uc1.b4250788
- Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2
- Мазур, Барри (1973), «Заметки о распространении когомологий числовых полей», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 6 (4): 521–552, doi : 10.24033/asens.1257 , ISSN 0012-9593 , МР 0344254
- Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7
- Милн, Джеймс С. (2006), Теоремы арифметической двойственности (2-е изд.), Чарльстон, Южная Каролина: BookSurge, LLC, ISBN 978-1-4196-4274-6 , МР 2261462
- Негрепонтис, Джоан В. (1971), «Двойственность в анализе с точки зрения троек», Journal of Algebra , 19 (2): 228–253, doi : 10.1016/0021-8693(71)90105-0 , ISSN 0021-8693 , МР 0280571
- Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 0-07-054235-Х
- Веблен, Освальд ; Янг, Джон Уэсли (1965), Проективная геометрия. Том. 1, 2 , Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co., MR 0179666
- Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55987-4 , МР 1269324
- Эдвардс, RE (1965). Функциональный анализ. Теория и приложения . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356 .