Модуль коэффициентов

В алгебре по модулю и подмодулю можно построить их фактормодуль . ^[1]^[2] Эта конструкция, описанная ниже, очень похожа на конструкцию фактор-векторного пространства . ^[3] От аналогичных факторконструкций колец и групп оно отличается тем, что в этих случаях подпространство , используемое для определения фактора, не имеет той же природы, что и объемлющее пространство (т. е. факторкольцо — это факторкольцо кольца по идеалу , а не по подкольцу , а факторгруппа — это факторгруппа по нормальной подгруппе , а не по общей подгруппе ).

Учитывая модуль $A$ над кольцом $R$ и подмодуль $B$ кольца $A$ , фактор-пространство $A / B$ определяется отношением эквивалентности

a\sim b

если и только если

b-a\in B,

для любых $a, b$ в $A$ . ^[4] Элементы $A / B$ являются классами эквивалентности. $[a]=a+B=\{a+b:b\in B\}.$ Функция $\pi :A\to A/B$ перевод $a$ из $A$ в его класс эквивалентности $a + B$ называется фактор-отображением или проекционным отображением и является гомоморфизмом модулей .

сложения В Операция на $А / определяется для$ двух классов эквивалентности как класс эквивалентности суммы двух представителей этих классов; и скалярное умножение элементов $A / B$ на элементы $R$ определяется аналогично. Обратите внимание, что необходимо показать, что эти операции четко определены . Тогда $A / B$ сам становится $R$ -модулем, называемым фактормодулем . В символах для всех $a, b$ в $A$ и $r$ в $R$ :

{\begin{aligned}&(a+B)+(b+B):=(a+b)+B,\\&r\cdot (a+B):=(r\cdot a)+B.\end{aligned}}

Примеры [ править ]

Рассмотрим кольцо полиномов , $\mathbb {R} [X]$ с действительными коэффициентами и $\mathbb {R} [X]$ -модуль $A=\mathbb {R} [X],$ . Рассмотрим подмодуль

B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]

A $на$ , то есть подмодуль всех многочленов, делящихся $X 2 + 1$ . Отсюда следует, что отношение эквивалентности, определяемое этим модулем, будет иметь вид

P (X) ~ Q (X)

тогда и только тогда, когда

P (X)

и

Q (X)

дают одинаковый остаток при делении на

X 2 + 1

.

Следовательно, в фактор- $A / B$ X $модуле 2 + 1$ то же самое, что 0; поэтому можно рассматривать $A / B$ как полученное из $\mathbb {R} [X]$ установив $X 2 + 1 = 0$ . Этот фактор-модуль изоморфен комплексным числам , рассматриваемым как модуль над действительными числами. $\mathbb {R} .$

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9 .
^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х .
^ Роман, Стивен (2008). Продвинутая линейная алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. п. 117. ИСБН 978-0-387-72828-5 .
^ Роман 2008 , с. 118 Теорема 4.7.

[1] Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9 .

[2] Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х .

[3] Роман, Стивен (2008). Продвинутая линейная алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. п. 117. ИСБН 978-0-387-72828-5 .

[4] Роман 2008 , с. 118 Теорема 4.7.

[1]

[2]

[3]

[4]