Двойной код

В теории кодирования двойственный код кода линейного

C\subset \mathbb {F} _{q}^{n}

линейный код, определяемый формулой

C^{\perp }=\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}\mid \langle x,c\rangle =0\;\forall c\in C\}

где

\langle x,c\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}c_{i}

является скалярным произведением. В терминах линейной алгебры двойственный код является аннулятором C . относительно билинейной формы $\langle \cdot \rangle$ . Размерность C и его двойника : сумме равна длине n всегда в

\dim C+\dim C^{\perp }=n.

Генерирующая матрица для двойного кода является матрицей проверки четности для исходного кода и наоборот. Двойник двойного кода всегда является исходным кодом.

Самодвойственные коды [ править ]

Самодуальный код — это код, который является двойственным самому себе. Отсюда следует, что n четно и dim C = n /2. Если самодвойственный код таков, что вес каждого кодового слова кратен некоторой константе $c>1$ , то он принадлежит к одному из следующих четырех типов: ^[1]

Коды типа I — это двоичные самодвойственные коды, которые не являются дважды четными . Коды типа I всегда четные (каждое кодовое слово имеет четный вес Хэмминга ).
Коды типа II — это двоичные самодвойственные коды, которые вдвойне четны.
Коды типа III представляют собой троичные самодвойственные коды. Каждое кодовое слово в коде типа III имеет вес Хэмминга, кратный 3.
Коды типа IV являются самодвойственными кодами над F ₄ . Они снова равны.

Коды типов I, II, III или IV существуют только в том случае, если длина n кратна 2, 8, 4 или 2 соответственно.

Если самодуальный код имеет порождающую матрицу вида $G=[I_{k}|A]$ , то двойной код $C^{\perp }$ имеет матрицу-генератор $[-{\bar {A}}^{T}|I_{k}]$ , где $I_{k}$ это $(n/2)\times (n/2)$ идентификационная матрица и ${\bar {a}}=a^{q}\in \mathbb {F} _{q}$ .