Полная алгебра Гейтинга

В математике , особенно в теории порядка , полная алгебра Гейтинга — это алгебра Гейтинга , полная как решетка . Полные алгебры Гейтинга представляют собой объекты трёх различных категорий ; категория CHey , категория Loc локалей , и ее противоположность категория Frm фреймов. Хотя эти три категории содержат одни и те же объекты, они различаются своими морфизмами и поэтому получают разные имена. Только морфизмы CHey являются гомоморфизмами полных гейтинговых алгебр.

Локали и фреймы образуют основу бессмысленной топологии , которая вместо того, чтобы строиться на топологии множества точек , переделывает идеи общей топологии в категориальных терминах как утверждения о фреймах и локалях.

Определение

Рассмотрим частично упорядоченное множество ( P , ≤), которое представляет собой полную решетку . Тогда P является Гейтинга полной алгеброй или фреймом , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

• P — гейтинговая алгебра, т. е. операция $(x\land \cdot )$ имеет правый сопряженный также называемый нижним сопряженным (монотонной) связности Галуа ) для каждого элемента x из P. (

• Для всех элементов x из P и всех подмножеств S из P следующий закон бесконечной дистрибутивности : выполняется

$x\land \bigvee _{s\in S}s=\bigvee _{s\in S}(x\land s).$

• P — дистрибутивная решетка, т. е. для всех x , y и z в P мы имеем

$x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)$

и встречи $(x\land \cdot )$ непрерывны по Скотту (т.е. сохраняют верхнюю границу множества ) для всех x в P. направленного

Следующее определение импликации Гейтинга : $a\to b=\bigvee \{c\mid a\land c\leq b\}.$

Используя немного больше теории категорий, мы можем эквивалентно определить фрейм как частично кополный декартово замкнутое упорядоченное множество .

Примеры

Система всех открытых множеств данного топологического пространства, упорядоченная по включению, является полной алгеброй Гейтинга.

Фреймы и локали

Объекты являются категории CHey , категории Frm фреймов и категории локалей Loc полными гейтинговыми алгебрами. Эти категории различаются тем, что представляет собой морфизм :

• Морфизмы Frm — это (обязательно монотонные ) функции, сохраняющие конечные пересечения и произвольные соединения.

• Определение алгебры Гейтинга решающим образом предполагает существование правых сопряженных к бинарной операции встречи, которые вместе определяют дополнительную операцию импликации . Таким образом, морфизмы CHey являются морфизмами фреймов, которые, кроме того, сохраняют импликацию.

• Морфизмы Loc противоположны морфизмам Frm , и их обычно называют картами (локалей).

Связь локалей и их отображений с топологическими пространствами и непрерывными функциями можно представить следующим образом. Позволять $f:X\to Y$ быть любой картой. Степенные множества P ( X ) и P ( Y ) являются полными булевыми алгебрами , а отображение $f^{-1}:P(Y)\to P(X)$ является гомоморфизмом полных булевых алгебр. что пространства X и Y являются топологическими пространствами , наделенными топологией O ( X ) и O ( Y ) открытых множеств на X и Y. Предположим , Обратите внимание, что O ( X ) и O ( Y ) являются подкадрами P ( X ) и P ( Y ). Если $f$ является непрерывной функцией, то $f^{-1}:O(Y)\to O(X)$сохраняет конечные пересечения и произвольные соединения этих подфреймов. Это показывает, что O является функтором из категории Top топологических пространств в Loc , принимающим любое непрерывное отображение

$f:X\to Y$

на карту

$O(f):O(X)\to O(Y)$

в Loc , который определен в Frm как гомоморфизм репера обратного образа

$f^{-1}:O(Y)\to O(X).$

Дана карта местностей $f:A\to B$ в Loc принято писать $f^{*}:B\to A$ для гомоморфизма репера, определяющего его в Frm . Используя это обозначение, $O(f)$ определяется уравнением $O(f)^{*}=f^{-1}.$

И наоборот, любой локаль A имеет топологическое пространство S ( A ), называемое его спектром , которое лучше всего аппроксимирует локаль. Кроме того, любая карта локалей $f:A\to B$ определяет непрерывное отображение $S(A)\to S(B).$ Более того, это присвоение является функториальным: пусть P (1) обозначает локаль, которая получается как набор мощности терминального набора. $1=\{*\},$ точки S ( A ) являются отображениями $p:P(1)\to A$ в Loc , т. е. гомоморфизмы реперов $p^{*}:A\to P(1).$

Для каждого $a\in A$ мы определяем $U_{a}$ как набор точек $p\in S(A)$ такой, что $p^{*}(a)=\{*\}.$ Легко проверить, что это определяет гомоморфизм репера $A\to P(S(A)),$ образ которого, следовательно, является топологией на S ( A ). Тогда, если $f:A\to B$ это карта локалей, до каждой точки $p\in S(A)$ мы присваиваем точку $S(f)(q)$ определяется путем разрешения $S(f)(p)^{*}$ быть составом $p^{*}$ с $f^{*},$ следовательно, получаем непрерывное отображение $S(f):S(A)\to S(B).$ Это определяет функтор $S$ от Loc до Top который справа сопряжен с O. ,

Любая локаль, изоморфная топологии своего спектра, называется пространственным , а любое топологическое пространство, гомеоморфное спектру своей локали открытых множеств, — трезвым . Сопряжение топологических пространств и локалей ограничивается эквивалентностью категорий между трезвыми пространствами и пространственными локалями.

Любая функция, сохраняющая все соединения (и, следовательно, любой гомоморфизм фреймов), имеет правый сопряженный, и, наоборот, любая функция, сохраняющая все соединения, имеет левый сопряженный. Следовательно, категория Loc изоморфна категории, объектами которой являются фреймы, а морфизмами — функции, сохраняющие встречи, левые сопряженные которых сохраняют конечные встречи. Это часто рассматривается как представление Loc , но его не следует путать с самим Loc , морфизмы которого формально совпадают с гомоморфизмами реперов в противоположном направлении.

Литература

• П.Т. Джонстон , «Каменные пространства» , Кембриджские исследования по высшей математике 3, издательство Кембриджского университета , Кембридж, 1982. ( ISBN   0-521-23893-5 )

По-прежнему отличный ресурс о локалях и полных алгебрах Хейтинга.

• Г. Гирц, К. Х. Хофманн, К. Кеймель, Дж. Д. Лоусон, М. Мислов и Д. С. Скотт , Непрерывные решетки и области , В энциклопедии математики и ее приложений , Vol. 93, Издательство Кембриджского университета, 2003. ISBN   0-521-80338-1

Включает характеристику с точки зрения непрерывности соответствия.

• Фрэнсис Борсо: Справочник по категорической алгебре III , том 52 Энциклопедии математики и ее приложений . Издательство Кембриджского университета, 1994.

Удивительно обширный ресурс по локалям и алгебрам Гейтинга. Принимает более категоричную точку зрения.

• Стивен Викерс , Топология через логику , издательство Кембриджского университета, 1989, ISBN   0-521-36062-5 .

• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-83414-7 . Збл   1034.18001 .

Внешние ссылки

• Язык в n Lab