Двойной (теория категорий)
В теории категорий , разделе математики , двойственность — это соответствие между свойствами категории C и двойственными свойствами противоположной категории C. на . Учитывая утверждение относительно категории C , путем замены источника и цели каждого морфизма , а также замены порядка составления двух морфизмов, соответствующее двойственное утверждение получается относительно противоположной категории C. на . Двойственность как таковая — это утверждение, что истина инвариантна относительно этой операции над утверждениями. Другими словами, если утверждение истинно относительно C , то его двойственное утверждение верно и относительно C. на . Кроме того, если утверждение ложно относительно C , то его двойственное утверждение должно быть ложным относительно C. на .
Учитывая конкретную категорию C , часто бывает, что противоположная категория C на само по себе является абстрактным. С на не обязательно должна быть категорией, возникающей из математической практики. В этом случае другая категория D также называется находящейся в двойственности с C, если D и C на эквивалентны как категории .
В случае, когда C и его противоположность C на эквивалентны, такая категория самодуальна. [1]
Формальное определение
[ редактировать ]Мы определяем элементарный язык теории категорий как двусортный язык первого порядка , в котором объекты и морфизмы представляют собой отдельные виды, а отношения объекта являются источником или целью морфизма и символом для составления двух морфизмов.
Пусть σ — любое утверждение на этом языке. Образуем двойственный σ на следующее:
- Поменяйте местами каждое появление «источника» в σ на «цель».
- Поменяйте местами порядок составления морфизмов. То есть заменить каждое вхождение с
Неформально эти условия гласят, что двойственное утверждение формируется путем перестановки стрелок и композиций .
Двойственность — это наблюдение, что σ истинно для некоторой категории C тогда и только тогда, когда σ на верно для C на . [2] [3]
Примеры
[ редактировать ]- Морфизм является мономорфизмом , если подразумевает . Выполняя двойную операцию, получаем утверждение, что подразумевает Для морфизма , именно это и означает, что f является эпиморфизмом . Короче говоря, свойство быть мономорфизмом двойственно свойству быть эпиморфизмом.
Применяя двойственность, это означает, что морфизм в некоторой категории C является мономорфизмом тогда и только тогда, когда обратный морфизм в противоположной категории C на является эпиморфизмом.
- Примером может служить изменение направления неравенств в частичном порядке . Таким образом, если X — множество и ≤ отношение частичного порядка, мы можем определить новое отношение частичного порядка ≤ new с помощью
- x ≤ new y тогда и только тогда, когда y ≤ x .
Этот пример с порядками является особым случаем, поскольку частичные заказы соответствуют определенному виду категории, в которой Hom( A , B ) может иметь не более одного элемента. В приложениях к логике это выглядит как очень общее описание отрицания (то есть доказательства идут в противоположном направлении). Например, если мы возьмем противоположность решетке , мы обнаружим, что встречи и соединения поменялись ролями. Это абстрактная форма законов Де Моргана или двойственности, примененная к решеткам.
- Пределы и копределы — двойственные понятия.
- Расслоения и корасслоения — примеры двойственных понятий в алгебраической топологии и теории гомотопий . В этом контексте двойственность часто называют двойственностью Экмана – Хилтона .
См. также
[ редактировать ]- Сопряженный функтор
- Двойной объект
- Двойственность (математика)
- Противоположная категория
- Площадь Пуляции
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Иржи Адамек; Дж. Росицки (1994). Локально презентабельные и доступные категории . Издательство Кембриджского университета. п. 62. ИСБН 978-0-521-42261-1 .
- ^ Мак Лейн 1978 , с. 33.
- ^ Аводи 2010 , с. 53-55.
- «Двойная категория» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- «Принцип двойственности» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- «Двойственность» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Мак Лейн, Сондерс (1978). Категории для работающего математика (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. п. 33. ISBN 1441931236 . OCLC 851741862 .
- Аводи, Стив (2010). Теория категорий (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 53–55. ISBN 978-0199237180 . OCLC 740446073 .