Jump to content

Двойной (теория категорий)

В теории категорий , разделе математики , двойственность — это соответствие между свойствами категории C и двойственными свойствами противоположной категории C. на . Учитывая утверждение относительно категории C , путем замены источника и цели каждого морфизма , а также замены порядка составления двух морфизмов, соответствующее двойственное утверждение получается относительно противоположной категории C. на . Двойственность как таковая — это утверждение, что истина инвариантна относительно этой операции над утверждениями. Другими словами, если утверждение истинно относительно C , то его двойственное утверждение верно и относительно C. на . Кроме того, если утверждение ложно относительно C , то его двойственное утверждение должно быть ложным относительно C. на .

Учитывая конкретную категорию C , часто бывает, что противоположная категория C на само по себе является абстрактным. С на не обязательно должна быть категорией, возникающей из математической практики. В этом случае другая категория D также называется находящейся в двойственности с C, если D и C на эквивалентны как категории .

В случае, когда C и его противоположность C на эквивалентны, такая категория самодуальна. [1]

Формальное определение

[ редактировать ]

Мы определяем элементарный язык теории категорий как двусортный язык первого порядка , в котором объекты и морфизмы представляют собой отдельные виды, а отношения объекта являются источником или целью морфизма и символом для составления двух морфизмов.

Пусть σ — любое утверждение на этом языке. Образуем двойственный σ на следующее:

  1. Поменяйте местами каждое появление «источника» в σ на «цель».
  2. Поменяйте местами порядок составления морфизмов. То есть заменить каждое вхождение с

Неформально эти условия гласят, что двойственное утверждение формируется путем перестановки стрелок и композиций .

Двойственность — это наблюдение, что σ истинно для некоторой категории C тогда и только тогда, когда σ на верно для C на . [2] [3]

  • Морфизм является мономорфизмом , если подразумевает . Выполняя двойную операцию, получаем утверждение, что подразумевает Для морфизма , именно это и означает, что f является эпиморфизмом . Короче говоря, свойство быть мономорфизмом двойственно свойству быть эпиморфизмом.

Применяя двойственность, это означает, что морфизм в некоторой категории C является мономорфизмом тогда и только тогда, когда обратный морфизм в противоположной категории C на является эпиморфизмом.

  • Примером может служить изменение направления неравенств в частичном порядке . Таким образом, если X множество и ≤ отношение частичного порядка, мы можем определить новое отношение частичного порядка ≤ new с помощью
x new y тогда и только тогда, когда y x .

Этот пример с порядками является особым случаем, поскольку частичные заказы соответствуют определенному виду категории, в которой Hom( A , B ) может иметь не более одного элемента. В приложениях к логике это выглядит как очень общее описание отрицания (то есть доказательства идут в противоположном направлении). Например, если мы возьмем противоположность решетке , мы обнаружим, что встречи и соединения поменялись ролями. Это абстрактная форма законов Де Моргана или двойственности, примененная к решеткам.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Иржи Адамек; Дж. Росицки (1994). Локально презентабельные и доступные категории . Издательство Кембриджского университета. п. 62. ИСБН  978-0-521-42261-1 .
  2. ^ Мак Лейн 1978 , с. 33.
  3. ^ Аводи 2010 , с. 53-55.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 868a9d9136c7f5352ef747205be94d80__1709673300
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/86/80/868a9d9136c7f5352ef747205be94d80.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Dual (category theory) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)