Преемственность Скотта

В математике , если даны два частично упорядоченных множества P и Q , функция f : P → Q между ними является непрерывной по Скотту (названной в честь математика Даны Скотт ), если она сохраняет все направленные супремумы . То есть для каждого направленного подмножества D множества P с верхней границей в P его образ имеет верхнюю границу в Q , и эта верхняя граница является образом верхней границы D , т.е. $\sqcup f[D]=f(\sqcup D)$, где $\sqcup$ это направленное соединение. Когда $Q$ является частным набором истинностных значений, т.е. пространством Серпинского , то непрерывные по Скотту функции являются характеристическими функциями открытых множеств, и, таким образом, пространство Серпинского является классифицирующим пространством для открытых множеств.

Подмножество O частично упорядоченного множества P называется Скотт-открытым , если оно является верхним множеством и если оно недоступно направленными соединениями , т. е. если все направленные множества D с супремумом в O имеют непустое пересечение с O . Открытые по Скотту подмножества частично упорядоченного множества P образуют топологию на P , топологию Скотта . Функция между частично упорядоченными множествами является непрерывной по Скотту тогда и только тогда, когда она непрерывна относительно топологии Скотта.

Топология Скотта была впервые определена Даной Скотт для полных решеток , а затем для произвольных частично упорядоченных множеств.

Непрерывные по Скотту функции используются при изучении моделей лямбда-исчислений. и денотативная семантика компьютерных программ.

Свойства

Непрерывная по Скотту функция всегда монотонна , то есть если $A\leq _{P}B$ для $A,B\subset P$, затем $f(A)\leq _{Q}f(B)$.

Подмножество направленного полного частичного порядка замкнуто относительно топологии Скотта, индуцированной частичным порядком, тогда и только тогда, когда оно является нижним множеством и замкнуто относительно супремумов направленных подмножеств.

Направленный полный частичный порядок (dcpo) с топологией Скотта всегда является пространством Колмогорова (т. е. он удовлетворяет T ₀ аксиоме разделения ). Однако dcpo с топологией Скотта является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда порядок тривиален. Множества, открытые по Скотту, образуют полную решетку, если они упорядочены по включению .

Для любого пространства Колмогорова топология индуцирует отношение порядка в этом пространстве, порядок специализации : x ≤ y только тогда, когда каждая открытая окрестность x y также является открытой окрестностью тогда и . Отношение порядка dcpo D может быть восстановлено из открытых по Скотту множеств как порядок специализации, индуцированный топологией Скотта. Однако dcpo, оснащенный топологией Скотта, не обязательно должен быть трезвым : порядок специализации, индуцированный топологией трезвого пространства, превращает это пространство в dcpo, но топология Скотта, полученная на основе этого порядка, тоньше, чем исходная топология.

Примеры

Открытые множества в данном топологическом пространстве, упорядоченные по включению, образуют решетку , на которой может быть определена топология Скотта. Подмножество X топологического пространства T компактно покрытие относительно топологии на T (в том смысле, что каждое X содержит ) конечное подпокрытие X тогда и только тогда, когда множество открытых окрестностей X открытое открыто относительно топология Скотта.

Для CPO , декартовой закрытой категории dcpo, двумя особенно примечательными примерами непрерывных по Скотту функций являются curry и apply .

Нуэль Белнап использовал непрерывность Скотта для расширения логических связок до четырехзначной логики .

См. также

• Топология Александрова
• Верхняя топология

Ссылки

• «Топология Скотта» . ПланетаМатематика .