Режиссерский набор

В математике ( направленное множество или направленный предварительный порядок , или фильтрованное множество ) — это непустое множество. $A$ вместе с рефлексивным и транзитивным бинарным отношением $\,\leq \,$ (то есть предварительный порядок ) с дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждая пара элементов имеет верхнюю границу . Другими словами, для любого $a$ и $b$ в $A$ должно существовать $c$ в $A$ с $a\leq c$ и $b\leq c.$ Предварительный порядок направленного набора называется направлением .

Определенное выше понятие иногда называют направленный вверх набор . А направленное вниз множество определяется аналогично, это означает, что каждая пара элементов ограничена снизу. Некоторые авторы (и данная статья) предполагают, что направленное множество направлено вверх, если не указано иное. Другие авторы называют множество направленным тогда и только тогда, когда оно направлено и вверх, и вниз.

Направленные множества являются обобщением непустых вполне упорядоченных множеств . То есть все полностью упорядоченные множества являются направленными (в отличие от частично упорядоченных множеств , которые не обязательно должны быть направленными). Соединяющиеся полурешетки (которые представляют собой частично упорядоченные множества) также являются направленными множествами, но не наоборот. Аналогично решетки направлены множествами как вверх, так и вниз.

В топологии направленные множества используются для определения сетей , которые обобщают последовательности и объединяют различные понятия предела , используемые в анализе . Направленные множества также приводят к прямым пределам в абстрактной алгебре и (в более общем плане) теории категорий .

Эквивалентное определение

Помимо определения, приведенного выше, существует эквивалентное определение. – Ориентированное множество это множество $A$ с таким предпорядком , что каждое конечное подмножество $A$ имеет верхнюю границу. В этом определении из существования верхней границы пустого подмножества следует, что $A$ непусто.

Примеры

Набор натуральных чисел $\mathbb {N}$ с обычным заказом $\,\leq \,$ является одним из важнейших примеров направленного множества. Всякое полностью упорядоченное множество является направленным множеством, в том числе $(\mathbb {N} ,\leq ),$ $(\mathbb {N} ,\geq ),$ $(\mathbb {R} ,\leq ),$ и $(\mathbb {R} ,\geq ).$

(Тривиальным) примером частично упорядоченного множества, которое не является направленным, является множество $\{a,b\},$ в котором единственными отношениями порядка являются $a\leq a$ и $b\leq b.$ Менее тривиальный пример подобен следующему примеру «реалов, направленных на $x_{0}$", но в котором правило упорядочения применяется только к парам элементов на одной стороне $x_{0}$ (то есть, если взять элемент $a$ слева от $x_{0},$ и $b$ справа, тогда $a$ и $b$ несопоставимы, а подмножество $\{a,b\}$ не имеет верхней границы).

Продукт направленных наборов

Позволять $\mathbb {D} _{1}$ и $\mathbb {D} _{2}$ быть направленными множествами. Тогда декартовых произведений множество $\mathbb {D} _{1}\times \mathbb {D} _{2}$ можно превратить в направленное множество, определив $\left(n_{1},n_{2}\right)\leq \left(m_{1},m_{2}\right)$ тогда и только тогда, когда $n_{1}\leq m_{1}$ и $n_{2}\leq m_{2}.$ По аналогии с порядком продукта это направление продукта по декартову произведению. Например, набор $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ пар натуральных чисел можно превратить в направленное множество, определив $\left(n_{0},n_{1}\right)\leq \left(m_{0},m_{1}\right)$ тогда и только тогда, когда $n_{0}\leq m_{0}$ и $n_{1}\leq m_{1}.$

Направлено в точку

Если $x_{0}$ , действительное число то множество $I:=\mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace$ можно превратить в направленное множество, определив $a\leq _{I}b$ если $\left|a-x_{0}\right|\geq \left|b-x_{0}\right|$ (поэтому «большие» элементы ближе к $x_{0}$). Тогда мы говорим, что реалы были направлены на $x_{0}.$ Это пример направленного множества, которое не является ни частично упорядоченным , ни полностью упорядоченным . Это связано с тем, что антисимметрия нарушается для каждой пары. $a$ и $b$ на равном расстоянии от $x_{0},$ где $a$ и $b$ находятся на противоположных сторонах $x_{0}.$ Явно это происходит, когда $\{a,b\}=\left\{x_{0}-r,x_{0}+r\right\}$ для какого-то реального $r\neq 0,$ в этом случае $a\leq _{I}b$ и $b\leq _{I}a$ Несмотря на то $a\neq b.$ Если бы этот предварительный порядок был определен на $\mathbb {R}$ вместо $\mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace$ тогда он по-прежнему будет формировать направленный набор, но теперь у него будет (уникальный) наибольший элемент , а именно $x_{0}$; однако он все равно не будет частично заказан. Этот пример можно обобщить на метрическое пространство. $(X,d)$ определив на $X$ или $X\setminus \left\{x_{0}\right\}$ предзаказ $a\leq b$ тогда и только тогда, когда $d\left(a,x_{0}\right)\geq d\left(b,x_{0}\right).$

Максимальные и величайшие элементы

Элемент $m$ из предзаказанного набора $(I,\leq )$ является максимальным элементом, если для любого $j\in I,$ $m\leq j$ подразумевает $j\leq m.$Это величайший элемент, если для каждого $j\in I,$ $j\leq m.$

Любой предупорядоченный набор с наибольшим элементом является ориентированным множеством с тем же предварительным порядком. Например, в посете $P,$ каждое нижнее замыкание элемента; то есть каждое подмножество формы $\{a\in P:a\leq x\}$ где $x$ является фиксированным элементом из $P,$ направляется.

Каждый максимальный элемент направленного предупорядоченного множества является наибольшим элементом. Действительно, направленное предупорядоченное множество характеризуется равенством (возможно, пустого) множеств максимальных и наибольших элементов.

Включение подмножества

подмножества включения Отношение $\,\subseteq ,\,$ вместе с его двойным $\,\supseteq ,\,$ определить частичные порядки в любом заданном семействе множеств . Непустое семейство множеств — это ориентированное множество относительно частичного порядка. $\,\supseteq \,$ (соответственно, $\,\subseteq \,$) тогда и только тогда, когда пересечение (соответственно объединение) любых двух его членов содержит в качестве подмножества (соответственно содержится в качестве подмножества) некоторый третий член. В символах семья $I$ множеств направлен относительно $\,\supseteq \,$ (соответственно, $\,\subseteq \,$) тогда и только тогда, когда

для всех $A,B\in I,$ существует какой-то $C\in I$ такой, что $A\supseteq C$ и $B\supseteq C$ (соответственно, $A\subseteq C$ и $B\subseteq C$)

или эквивалентно,

для всех $A,B\in I,$ существует какой-то $C\in I$ такой, что $A\cap B\supseteq C$ (соответственно, $A\cup B\subseteq C$).

Многие важные примеры направленных множеств можно определить с помощью этих частичных порядков. Например, по определению префильтр или база фильтров — это непустое семейство множеств , которое является направленным множеством относительно частичного порядка. $\,\supseteq \,$ и это также не содержит пустого множества (это условие предотвращает тривиальность, поскольку в противном случае пустое множество было бы наибольшим элементом по отношению к $\,\supseteq \,$). Всякая π -система , представляющая собой непустое семейство множеств , замкнутое относительно пересечения любых двух своих членов, является ориентированным множеством относительно $\,\supseteq \,.$ Любая λ-система является направленным множеством относительно $\,\subseteq \,.$ Каждый фильтр , топология и σ-алгебра являются направленным множеством относительно обоих $\,\supseteq \,$ и $\,\subseteq \,.$

Хвосты сетей

По определению сеть — это функция направленного множества, а последовательность — функция натуральных чисел. $\mathbb {N} .$ Каждая последовательность канонически становится сетью, если наделить ее $\mathbb {N}$ с $\,\leq .\,$

Если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ — это любая сеть из ориентированного множества $(I,\leq )$ тогда для любого индекса $i\in I,$ набор $x_{\geq i}:=\left\{x_{j}:j\geq i{\text{ with }}j\in I\right\}$ называется хвостом $(I,\leq )$ начиная с $i.$ Семья $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right):=\left\{x_{\geq i}:i\in I\right\}$ всех хвостов является направленным множеством относительно $\,\supseteq ;\,$ по сути, это даже предфильтр.

Районы

Если $T$ является топологическим пространством и $x_{0}$ это точка в $T,$ совокупность окрестностей всех $x_{0}$ можно превратить в направленное множество, написав $U\leq V$ тогда и только тогда, когда $U$ содержит $V.$ Для каждого $U,$ $V,$ и $W$ :

• $U\leq U$ с $U$ содержит себя.
• если $U\leq V$ и $V\leq W,$ затем $U\supseteq V$ и $V\supseteq W,$ что подразумевает $U\supseteq W.$ Таким образом $U\leq W.$
• потому что $x_{0}\in U\cap V,$ и поскольку оба $U\supseteq U\cap V$ и $V\supseteq U\cap V,$ у нас есть $U\leq U\cap V$ и $V\leq U\cap V.$

Конечные подмножества

Набор $\operatorname {Finite} (I)$ всех конечных подмножеств множества $I$ направлен по отношению к $\,\subseteq \,$ поскольку даны любые два $A,B\in \operatorname {Finite} (I),$ их союз $A\cup B\in \operatorname {Finite} (I)$ является верхней границей $A$ и $B$ в $\operatorname {Finite} (I).$ Этот конкретный направленный набор используется для определения суммы ${\textstyle \sum \limits _{i\in I}}r_{i}$ ряда обобщенного ​ $I$-индексированная коллекция чисел $\left(r_{i}\right)_{i\in I}$ (или, в более общем смысле, сумма элементов абелевой топологической группы , таких как векторы в топологическом векторном пространстве ) как предел сети частичных сумм $F\in \operatorname {Finite} (I)\mapsto {\textstyle \sum \limits _{i\in F}}r_{i};$ то есть: $$\sum _{i\in I}r_{i}~:=~\lim _{F\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in F}r_{i}~=~\lim \left\{\sum _{i\in F}r_{i}\,:F\subseteq I,F{\text{ finite }}\right\}.$$

Логика

См. также: Предварительный заказ § Предварительные заказы и частичные заказы на разделах.

Позволять $S$ быть формальной теорией , представляющей собой набор предложений с определёнными свойствами (подробности о которых можно прочитать в статье по теме ). Например, $S$ может быть теорией первого порядка (например, теорией множеств Цермело–Френкеля ) или более простой теорией нулевого порядка . Предзаказной набор $(S,\Leftarrow )$ является направленным множеством, потому что если $A,B\in S$ и если $C:=A\wedge B$ обозначает предложение, образованное логическим союзом $\,\wedge ,\,$ затем $A\Leftarrow C$ и $B\Leftarrow C$ где $C\in S.$ Если $S/\sim$ – алгебра Линденбаума–Тарского, ассоциированная с $S$ затем $\left(S/\sim ,\Leftarrow \right)$ представляет собой частично упорядоченное множество, которое также является направленным множеством.

с

Пример ориентированного множества, не являющегося объединенной полурешеткой.

Направленный набор - это более общая концепция, чем полурешетка (соединения): каждая полурешетка соединения является направленным набором, поскольку желаемым является соединение или наименьшая верхняя граница двух элементов. $c.$ Однако обратное неверно, поскольку направленный набор {1000,0001,1101,1011,1111} упорядочен побитово (например, $1000\leq 1011$ держится, но $0001\leq 1000$ нет, поскольку в последнем бите 1 > 0), где {1000,0001} имеет три верхних границы, но не имеет последней верхней границы, ср. картина. (Также обратите внимание, что без 1111 набор не направлен.)

Направленные подмножества

Отношение порядка в направленном множестве не обязательно должно быть антисимметричным , и поэтому направленные множества не всегда являются частичными порядками . Однако термин «направленный набор» также часто используется в контексте частично упорядоченных множеств. В этом параметре подмножество $A$ частично упорядоченного множества $(P,\leq )$ называется направленным подмножеством, если это направленное множество в соответствии с тем же частичным порядком: другими словами, это не пустое множество , и каждая пара элементов имеет верхнюю границу. Здесь отношение порядка на элементах $A$ унаследован от $P$; по этой причине рефлексивность и транзитивность не обязательно требуются явно.

Направленное подмножество ЧУМ не обязательно должно быть замкнутым вниз ; подмножество частичного множества является направленным тогда и только тогда, когда его замыкание вниз является идеалом . Хотя определение направленного набора относится к набору, «направленному вверх» (каждая пара элементов имеет верхнюю границу), также возможно определить набор, направленный вниз, в котором каждая пара элементов имеет общую нижнюю границу. Подмножество частичного множества направлено вниз тогда и только тогда, когда его верхнее замыкание является фильтром .

Направленные подмножества используются в теории предметной области , которая изучает направленно-полные частичные порядки . Это частично упорядоченные наборы, в которых каждое направленное вверх множество должно иметь наименьшую верхнюю границу . В этом контексте направленные подмножества снова обеспечивают обобщение сходящихся последовательностей.

См. также

• Центрированное множество - Теория порядка
• Отфильтрованная категория
• Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Связанное множество - математическая концепция, касающаяся частично упорядоченных множеств в теории (частичного) порядка.
• Сеть (математика) - обобщение последовательности точек.

Ссылки

• Дж. Л. Келли (1955), Общая топология .
• Гирц, Хофманн, Кеймель и др. (2003), Непрерывные решетки и области , Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-80338-1 .