Соседство (математика)

Чтобы узнать о концепции теории графов, см. Окрестность (теория графов) .

Набор $V$ на плоскости является окрестностью точки $p$ если маленький диск вокруг $p$ содержится в $V.$ Маленький диск вокруг $p$ это открытый набор $U.$

В топологии и смежных областях математики окрестность окрестность или ( ) — одно из основных понятий топологического пространства . Оно тесно связано с понятиями открытой площадки и интерьера . Интуитивно говоря, окрестность точки — это набор точек, содержащий эту точку, где можно переместиться на некоторую величину в любом направлении от этой точки, не выходя из множества.

Определения

Окрестность точки

Если $X$ является топологическим пространством и $p$ это точка в $X,$ тогда район из $p$ является подмножеством $V$ из $X$ который включает в себя открытый набор $U$ содержащий $p$, $$p\in U\subseteq V\subseteq X.$$

Это эквивалентно точке $p\in X$ принадлежащий топологической внутренности $V$ в $X.$

Район $V$ не обязательно должно быть открытым подмножеством $X.$ Когда $V$ открыт (соответственно закрыт, компактен и т. д.) в $X,$ это называется открытое соседство (соответственно закрытое соседство, компактное соседство и т. д.). Некоторые авторы требуют, чтобы районы были открытыми, поэтому важно учитывать их условности.

Замкнутый прямоугольник не имеет окрестностей ни в одном из своих углов, ни на границе, поскольку не существует открытого множества, содержащего какой-либо угол.

Множество, являющееся окрестностью каждой из своих точек, является открытым, поскольку его можно выразить как объединение открытых множеств, содержащих каждую из его точек. Замкнутый прямоугольник, как показано на рисунке, не является окрестностью всех его точек; точки на краях или углах прямоугольника не содержатся ни в каком открытом множестве, содержащемся внутри прямоугольника.

Совокупность всех окрестностей точки называется системой окрестностей в этой точке.

Окрестности множества

Если $S$ является подмножеством топологического пространства $X$ то окрестность , $S$ это набор $V$ который включает в себя открытый набор $U$ содержащий $S$, $$S\subseteq U\subseteq V\subseteq X.$$Отсюда следует, что набор $V$ это район $S$ тогда и только тогда, когда она является окрестностью всех точек из $S.$ Более того, $V$ это район $S$ тогда и только тогда, когда $S$ часть интерьера это $V.$Район $S$ это также открытое подмножество $X$ называется открытый район $S.$Окрестность точки — лишь частный случай этого определения.

В метрическом пространстве

Набор $S$ в плоскости и однородной окрестности $V$ из $S.$

Эпсилон-окрестность числа $a$ на действительной числовой прямой.

В метрическом пространстве $M=(X,d),$ набор $V$ является окрестностью точки $p$ если существует открытый шар с центром $p$ и радиус $r>0,$ такой, что $$B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X:d(x,p)<r\}$$содержится в $V.$

$V$ называется равномерной окрестностью множества $S$ если существует положительное число $r$ такой, что для всех элементов $p$ из $S,$$$B_{r}(p)=\{x\in X:d(x,p)<r\}$$содержится в $V.$

При этом же условии для $r>0,$ тот $r$-район $S_{r}$ из набора $S$ это совокупность всех точек $X$ находящиеся на расстоянии меньшем $r$ от $S$ (или, что то же самое, $S_{r}$ является объединением всех открытых шаров радиуса $r$ которые сосредоточены в какой-то точке $S$): $$S_{r}=\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p).$$

Из этого непосредственно следует, что $r$-окрестность является однородной окрестностью, и что множество является равномерным окрестностью тогда и только тогда, когда оно содержит $r$-соседство за некоторую величину $r.$

Примеры

Множество M является окрестностью числа a , поскольку существует ε-окрестность числа a, которая является подмножеством числа M.

Учитывая набор действительных чисел $\mathbb {R}$ с обычной евклидовой метрикой и подмножеством $V$ определяется как $$V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,1/n\right),$$затем $V$ является окрестностью множества $\mathbb {N}$ натуральных чисел , но не является равномерной окрестностью этого множества.

Топология из окрестностей

См. также: Фильтры в топологии , Топологическое пространство § Определение окрестности и Аксиоматические основы топологических пространств § Определение через окрестности.

Приведенное выше определение полезно, если понятие открытого множества уже определено. Существует альтернативный способ определения топологии: сначала определить систему окрестностей , а затем открыть множества как те множества, которые содержат окрестность каждой из своих точек.

Система соседства на $X$ это назначение фильтра $N(x)$ подмножеств $X$ каждому $x$ в $X,$ такой, что

1. суть $x$ является элементом каждого $U$ в $N(x)$
2. каждый $U$ в $N(x)$ содержит некоторые $V$ в $N(x)$ такой, что для каждого $y$ в $V,$ $U$ находится в $N(y).$

Можно показать, что оба определения совместимы, то есть топология, полученная из системы соседства, определенной с использованием открытых множеств, является исходной, и наоборот, если исходить из системы соседства.

Однородные кварталы

В едином пространстве $S=(X,\Phi ),$ $V$ называется однородной окрестностью $P$ если есть окружение $U\in \Phi$ такой, что $V$ содержит все точки $X$ это $U$-близко к какой-то точке $P;$ то есть, $U[x]\subseteq V$ для всех $x\in P.$

Удаленный район

окрестность Удаленная точки $p$ (иногда называемая проколотой окрестностью ) — это окрестность $p,$ без $\{p\}.$ Например, интервал $(-1,1)=\{y:-1<y<1\}$ это район $p=0$ в реальной строке , поэтому набор $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}$ является удаленным районом $0.$ Удаленная окрестность данной точки на самом деле не является окрестностью этой точки. Понятие удаленной окрестности встречается в определении предела функции и предельных точек (среди прочего).

См. также

• Изолированная точка - точка подмножества S, вокруг которой нет других точек из S.
• Система окрестностей — (для точки x) совокупность всех окрестностей для точки x. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Регион (математика) — связанное открытое подмножество топологического пространства. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Трубчатая окрестность - окрестность подмногообразия, гомеоморфного нормальному расслоению этого подмногообразия. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-97926-3 .
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN  3-88538-006-4 .
• Каплански, Ирвинг (2001). Теория множеств и метрические пространства . Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2694-8 .
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90125-6 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .