Колмогоровское пространство

Аксиомы разделения в топологических пространствах
Колмогорова Классификация
Т 0	(Kolmogorov)
Т 1	(Фреше)
Т 2	(Хаусдорф)
T 2 ½	(Урысон)
полностью Т 2	(полностью Хаусдорф)
TТ3	(обычный Хаусдорф)
T 3½	(Тихонов)
Т 4	(обычно Хаусдорф)
TТ5	(совершенно нормально Хаусдорф)
TТ6	(совершенно нормально Хаусдорф)
История

В топологии и смежных разделах математики топологическое пространство X является T ₀ пространством или пространством Колмогорова (названным в честь Андрея Колмогорова ), если для каждой пары различных точек X хотя бы одна из них имеет окрестность , не содержащую другую. В пространстве T ₀ все точки топологически различимы .

Это условие, называемое T0 _{условием} аксиом , является самой слабой из разделения . Почти все топологические пространства, обычно изучаемые в математике, являются _T0 пространствами . В частности, все T ₁ пространства , т. е. все пространства, в которых для каждой пары различных точек каждая имеет окрестность, не содержащую другую, являются _{T 0} пространствами . Сюда входят все пространства Т ₂ (или Хаусдорфы) , т. е. все топологические пространства, в которых различные точки имеют непересекающиеся окрестности. С другой стороны, каждое трезвое пространство (которое может и не быть T ₁ ) есть T ₀ ; это включает в себя лежащее в основе топологическое пространство любой схемы . Учитывая любое топологическое пространство, можно построить пространство T ₀ , идентифицируя топологически неразличимые точки.

Пространства T0 _, не являющиеся пространствами T1, _— это в точности те пространства, для которых предварительный порядок специализации является нетривиальным частичным порядком . Такие пространства естественным образом возникают в информатике , особенно в денотационной семантике .

Определение

Пространство T0 _{топологически} точек — топологическое пространство, в котором каждая пара различных различима . То есть для любых двух разных точек x и y существует открытое множество , содержащее одну из этих точек, а не другую. Точнее, топологическое пространство X является колмогоровским или $\mathbf {T} _{0}$ если и только если:

Если $a,b\in X$ и $a\neq b$, существует открытое множество O такое, что либо $(a\in O)\wedge (b\notin O)$ или $(a\notin O)\wedge (b\in O)$.

Обратите внимание, что топологически различимые точки автоматически различны. С другой стороны, если одноэлементные множества { x } и { y } разделены , то точки x и y должны быть топологически различимы. То есть,

разделены ⇒ топологически различимы ⇒ различимы

Свойство топологически различимости, вообще говоря, сильнее, чем различимости, но слабее, чем разделенности. В пространстве T ₀ вторая стрелка выше также меняет направление; точки различны тогда и только тогда, когда они различимы. Вот как аксиома T0 _{согласуется} с остальными аксиомами разделения .

Примеры и контрпримеры

Почти все топологические пространства, обычно изучаемые в математике, имеют вид T ₀ . В частности, все хаусдорфовые (T ₂ ) пространства , T ₁ пространства и трезвые пространства являются T ₀ .

Пробелы, отличные от T ₀

• Множество, состоящее из более чем одного элемента, с тривиальной топологией . Никакие точки не различимы.
• Набор Р ² где открытые множества представляют собой декартово произведение открытого множества в R и самого R , т. е. топологии произведение R с обычной топологией и R с тривиальной топологией; точки ( a , b ) и ( a , c ) не различимы.
• Пространство всех измеримых функций f от вещественной прямой R до комплексной плоскости C таких, что интеграл Лебега $\left(\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{\frac {1}{2}}<\infty$. Две функции, одинаковые почти всюду, неразличимы. См. также ниже.

Пробелы, которые являются T ₀ , но не T ₁

• Топология Зарисского на Spec( R ), простом спектре коммутативного кольца R , всегда равна T ₀ , но обычно не T ₁ . Незамкнутые точки соответствуют простым идеалам , которые не являются максимальными . Они важны для понимания схем .
• Топология конкретной точки на любом множестве, содержащем по крайней мере два элемента, равна T ₀ , но не T _1, поскольку конкретная точка не замкнута (ее замыканием является все пространство). Важным частным случаем является пространство Серпинского , которое представляет собой особую точечную топологию на множестве {0,1}.
• Топология исключенной точки на любом множестве, содержащем по крайней мере два элемента, — это T ₀ , но не T ₁ . Единственная закрытая точка — это исключенная точка.
• на Топология Александрова частично упорядоченном множестве равна T ₀ , но не будет T ₁ , если порядок не дискретен (согласно равенству). Каждое конечное пространство T ₀ относится к этому типу. Сюда также входят топологии конкретной точки и исключенной точки как особые случаи.
• Топология правильного порядка на полностью упорядоченном множестве является аналогичным примером.
• Топология перекрывающихся интервалов аналогична топологии конкретной точки, поскольку каждое непустое открытое множество включает 0.
• В общем случае топологическое пространство X будет T ₀ тогда и только тогда, когда предварительный порядок специализации на X является частичным порядком . Однако X будет T ₁ тогда и только тогда, когда порядок дискретен (т.е. соответствует равенству). Таким образом, пространство будет T _0, но не T ₁ тогда и только тогда, когда предварительный порядок специализации на X является недискретным частичным порядком.

Работа с _{T 0} пробелами

Все обычно изучаемые топологические пространства относятся к T ₀ . Действительно, когда математики во многих областях, особенно в анализе , естественным образом сталкиваются с пространствами, отличными от T ₀ , они обычно заменяют их пространствами T ₀ способом, который будет описан ниже. Чтобы мотивировать высказанные идеи, рассмотрим хорошо известный пример. Пространство Л ² ( R ) — это пространство всех измеримых функций f от вещественной прямой R до комплексной плоскости C таких, что интеграл Лебега от | ж ( Икс )| ² на всей вещественной прямой конечно . Это пространство должно стать нормированным векторным пространством , определив норму || ж || быть квадратным корнем этого интеграла. Проблема в том, что на самом деле это не норма, а только полунорма , потому что существуют функции, отличные от нулевой функции , чьи (полу)нормы равны нулю . Стандартное решение — определить L ² ( R ) быть набором классов эквивалентности функций вместо непосредственного набора функций. При этом создается факторпространство исходного полунормированного векторного пространства, и этот фактор является нормированным векторным пространством. Он наследует несколько удобных свойств полунормированного пространства; см. ниже.

В общем, когда вы имеете дело с фиксированной топологией T на множестве X , полезно, если эта топология равна T ₀ . С другой стороны, когда X фиксировано, но T может изменяться в определенных границах, принудить T принимать значение T ₀ может быть неудобно, поскольку топологии, отличные от T _0, часто являются важными особыми случаями. Таким образом, может быть важно понять как Т ₀ , так и не Т ₀ версии различных условий, которые могут быть помещены в топологическое пространство.

Фактор Колмогорова

Топологическая неотличимость точек есть отношение эквивалентности . Независимо от того, каким топологическим пространством X может быть изначально, фактор-пространством по этому отношению эквивалентности всегда является T ₀ . называется фактором Колмогорова X Это фактор- пространство , который мы будем обозначать KQ( X ). Конечно, если бы изначально T0 _, было то KQ( X ) и X гомеоморфны естественно X . Категорически пространства Колмогорова являются отражающей подкатегорией топологических пространств, а фактор Колмогорова является отражателем.

Топологические пространства X и Y эквивалентны по Колмогорову, если их колмогоровские факторы гомеоморфны. Благодаря этой эквивалентности сохраняются многие свойства топологических пространств; то есть, если X и Y эквивалентны по Колмогорову, то X обладает таким свойством тогда и только тогда, когда Y обладает таким свойством. С другой стороны, большинство других свойств топологических пространств предполагают T ₀ -ность; то есть, если X обладает таким свойством, то X должен быть T ₀ . Лишь несколько свойств, таких как недискретное пространство , являются исключениями из этого эмпирического правила. Более того, многие структуры , определенные в топологических пространствах, можно переносить между X и KQ( X ). В результате, если у вас есть топологическое пространство, отличное от T ₀ , с определенной структурой или свойством, то вы обычно можете сформировать пространство T ₀ с теми же структурами и свойствами, взяв фактор Колмогорова.

Пример Л ² ( R ) отображает эти функции. С точки зрения топологии полунормированное векторное пространство, с которого мы начали, имеет много дополнительной структуры; например, это векторное пространство и оно имеет полунорму, и они определяют псевдометрику и равномерную структуру , совместимые с топологией. Кроме того, у этих структур есть несколько свойств; например, полунорма удовлетворяет тождеству параллелограмма , и однородная структура является полной . Пространство не T _0, поскольку любые две функции из L ² ( R ), равные почти всюду, неотличимы в этой топологии. Когда мы формируем фактор Колмогорова, фактическое L ² ( R ), эти структуры и свойства сохраняются. Таким образом, Л ² ( R ) также является полным полунормированным векторным пространством, удовлетворяющим тождеству параллелограмма. Но на самом деле мы получаем немного больше, поскольку пространство теперь равно T ₀ . Полунорма является нормой тогда и только тогда, когда лежащая в ее основе топология равна T ₀ , поэтому L ² ( R ) на самом деле является полным нормированным векторным пространством, удовлетворяющим тождеству параллелограмма, иначе известным как гильбертово пространство . И именно гильбертово пространство математики (и физики в квантовой механике ) обычно хотят изучать. Заметим, что обозначение L ² ( R ) обычно обозначает фактор Колмогорова, набор классов эквивалентности функций, интегрируемых с квадратом, которые различаются на множествах нулевой меры, а не просто векторное пространство функций, интегрируемых с квадратом, как предполагает обозначение.

Удаление Т ₀

Хотя исторически нормы были определены первыми, люди также придумали определение полунормы, которая является своего рода _{отличной от T 0} версией нормы, . В общем, можно определить не-T ₀ версии как свойств, так и структур топологических пространств. Во-первых, рассмотрим такое свойство топологических пространств, как хаусдорфовость . Затем можно определить другое свойство топологических пространств, определив, что пространство X удовлетворяет этому свойству тогда и только тогда, когда фактор Колмогорова KQ( X ) хаусдорфов. Это разумное, хотя и менее известное свойство; в этом случае такое пространство X называется предрегулярным . (Оказывается даже более прямое определение предрегулярности). Теперь рассмотрим структуру, которую можно разместить в топологических пространствах, например метрику . Мы можем определить новую структуру в топологических пространствах, если примером структуры на X будет просто метрика на KQ( X ). Это разумная структура на X ; это псевдометрика . (Опять же, существует более прямое определение псевдометрики.)

Таким образом, существует естественный способ убрать Т0 _- ность из требований к свойству или структуре. Как правило, легче изучать пространства, имеющие T ₀ , но также может быть проще позволить структурам, отличным от T ₀ , получить более полную картину. Требование T ₀ можно добавлять или удалять произвольно, используя концепцию фактора Колмогорова.

См. также

• Трезвое пространство

Ссылки

• Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший, Контрпримеры в топологии . Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN   0-486-68735-X (Дуврское издание).