Колмогоровское пространство
Эта статья нуждается в дополнительных ссылок для проверки . ( апрель 2022 г. ) |
Аксиомы разделения в топологических пространствах | |
---|---|
Колмогорова Классификация | |
Т 0 | (Kolmogorov) |
Т 1 | (Фреше) |
Т 2 | (Хаусдорф) |
T 2 ½ | (Урысон) |
полностью Т 2 | (полностью Хаусдорф) |
TТ3 | (обычный Хаусдорф) |
T 3½ | (Тихонов) |
Т 4 | (обычно Хаусдорф) |
TТ5 | (совершенно нормально Хаусдорф) |
TТ6 | (совершенно нормально Хаусдорф) |
В топологии и смежных разделах математики топологическое пространство X является T 0 пространством или пространством Колмогорова (названным в честь Андрея Колмогорова ), если для каждой пары различных точек X хотя бы одна из них имеет окрестность , не содержащую другую. [1] В пространстве T 0 все точки топологически различимы .
Это условие, называемое T0 условием аксиом , является самой слабой из разделения . Почти все топологические пространства, обычно изучаемые в математике, являются T0 пространствами . В частности, все T 1 пространства , т. е. все пространства, в которых для каждой пары различных точек каждая имеет окрестность, не содержащую другую, являются T 0 пространствами . Сюда входят все пространства Т 2 (или Хаусдорфы) , т. е. все топологические пространства, в которых различные точки имеют непересекающиеся окрестности. С другой стороны, каждое трезвое пространство (которое может и не быть T 1 ) есть T 0 ; это включает в себя лежащее в основе топологическое пространство любой схемы . Учитывая любое топологическое пространство, можно построить пространство T 0 , идентифицируя топологически неразличимые точки.
Пространства T0 , не являющиеся пространствами T1, — это в точности те пространства, для которых предварительный порядок специализации является нетривиальным частичным порядком . Такие пространства естественным образом возникают в информатике , особенно в денотационной семантике .
Определение [ править ]
Пространство T0 топологически точек — топологическое пространство, в котором каждая пара различных различима . То есть для любых двух разных точек x и y существует открытое множество , содержащее одну из этих точек, а не другую. Точнее, топологическое пространство X является колмогоровским или если и только если: [1]
- Если и , существует открытое множество O такое, что либо или .
Обратите внимание, что топологически различимые точки автоматически различны. С другой стороны, если одноэлементные множества { x } и { y } разделены , то точки x и y должны быть топологически различимы. То есть,
- разделены ⇒ топологически различимы ⇒ различимы
Свойство топологически различимости, вообще говоря, сильнее, чем различимости, но слабее, чем разделенности. В пространстве T 0 вторая стрелка выше также меняет направление; точки различны тогда и только тогда, когда они различимы. Вот как аксиома T0 согласуется с остальными аксиомами разделения .
Примеры и контрпримеры [ править ]
Почти все топологические пространства, обычно изучаемые в математике, имеют вид T 0 . В частности, все хаусдорфовые (T 2 ) пространства , T 1 пространства и трезвые пространства являются T 0 .
Пробелы, отличные от T 0 [ править ]
- Множество, состоящее из более чем одного элемента, с тривиальной топологией . Никакие точки не различимы.
- Набор Р 2 где открытые множества представляют собой декартово произведение открытого множества в R и самого R , т. е. топологии произведение R с обычной топологией и R с тривиальной топологией; точки ( a , b ) и ( a , c ) не различимы.
- Пространство всех измеримых функций f от вещественной прямой R до комплексной плоскости C таких, что интеграл Лебега . Две функции, одинаковые почти всюду, неразличимы. См. также ниже.
Пробелы, которые являются T 0 , но не T 1 [ править ]
- Топология Зарисского на Spec( R ), простом спектре коммутативного кольца R , всегда равна T 0 , но обычно не T 1 . Незамкнутые точки соответствуют простым идеалам , которые не являются максимальными . Они важны для понимания схем .
- Топология конкретной точки на любом множестве, содержащем по крайней мере два элемента, равна T 0 , но не T 1, поскольку конкретная точка не замкнута (ее замыканием является все пространство). Важным частным случаем является пространство Серпинского , которое представляет собой особую точечную топологию на множестве {0,1}.
- Топология исключенной точки на любом множестве, содержащем по крайней мере два элемента, — это T 0 , но не T 1 . Единственная закрытая точка — это исключенная точка.
- на Топология Александрова частично упорядоченном множестве равна T 0 , но не будет T 1 , если порядок не дискретен (согласно равенству). Каждое конечное пространство T 0 относится к этому типу. Сюда также входят топологии конкретной точки и исключенной точки как особые случаи.
- Топология правильного порядка на полностью упорядоченном множестве является аналогичным примером.
- Топология перекрывающихся интервалов аналогична топологии конкретной точки, поскольку каждое непустое открытое множество включает 0.
- В общем случае топологическое пространство X будет T 0 тогда и только тогда, когда предварительный порядок специализации на X является частичным порядком . Однако X будет T 1 тогда и только тогда, когда порядок дискретен (т.е. соответствует равенству). Таким образом, пространство будет T 0, но не T 1 тогда и только тогда, когда предварительный порядок специализации на X является недискретным частичным порядком.
Работа с T 0 пробелами [ править ]
Все обычно изучаемые топологические пространства относятся к T 0 . Действительно, когда математики во многих областях, особенно в анализе , естественным образом сталкиваются с пространствами, отличными от T 0 , они обычно заменяют их пространствами T 0 способом, который будет описан ниже. Чтобы мотивировать высказанные идеи, рассмотрим хорошо известный пример. Пространство Л 2 ( R ) — это пространство всех измеримых функций f от вещественной прямой R до комплексной плоскости C таких, что интеграл Лебега от | ж ( Икс )| 2 на всей вещественной прямой конечно . Это пространство должно стать нормированным векторным пространством , определив норму || ж || быть квадратным корнем этого интеграла. Проблема в том, что на самом деле это не норма, а только полунорма , потому что существуют функции, отличные от нулевой функции , чьи (полу)нормы равны нулю . Стандартное решение — определить L 2 ( R ) быть набором классов эквивалентности функций вместо непосредственного набора функций. При этом создается факторпространство исходного полунормированного векторного пространства, и этот фактор является нормированным векторным пространством. Он наследует несколько удобных свойств полунормированного пространства; см. ниже.
В общем, когда вы имеете дело с фиксированной топологией T на множестве X , полезно, если эта топология равна T 0 . С другой стороны, когда X фиксировано, но T может изменяться в определенных границах, принудить T принимать значение T 0 может быть неудобно, поскольку топологии, отличные от T 0, часто являются важными особыми случаями. Таким образом, может быть важно понять как Т 0 , так и не Т 0 версии различных условий, которые могут быть помещены в топологическое пространство.
Фактор Колмогорова [ править ]
Топологическая неотличимость точек есть отношение эквивалентности . Независимо от того, каким топологическим пространством X может быть изначально, фактор-пространством по этому отношению эквивалентности всегда является T 0 . называется фактором Колмогорова X Это фактор- пространство , который мы будем обозначать KQ( X ). Конечно, если бы изначально T0 , было то KQ( X ) и X гомеоморфны естественно X . Категорически пространства Колмогорова являются отражающей подкатегорией топологических пространств, а фактор Колмогорова является отражателем.
Топологические пространства X и Y эквивалентны по Колмогорову, если их колмогоровские факторы гомеоморфны. Благодаря этой эквивалентности сохраняются многие свойства топологических пространств; то есть, если X и Y эквивалентны по Колмогорову, то X обладает таким свойством тогда и только тогда, когда Y обладает таким свойством. С другой стороны, большинство других свойств топологических пространств предполагают T 0 -ность; то есть, если X обладает таким свойством, то X должен быть T 0 . Лишь несколько свойств, таких как недискретное пространство , являются исключениями из этого эмпирического правила. Более того, многие структуры , определенные в топологических пространствах, можно переносить между X и KQ( X ). В результате, если у вас есть топологическое пространство, отличное от T 0 , с определенной структурой или свойством, то вы обычно можете сформировать пространство T 0 с теми же структурами и свойствами, взяв фактор Колмогорова.
Пример Л 2 ( R ) отображает эти функции. С точки зрения топологии полунормированное векторное пространство, с которого мы начали, имеет много дополнительной структуры; например, это векторное пространство и оно имеет полунорму, и они определяют псевдометрику и равномерную структуру , совместимые с топологией. Кроме того, у этих структур есть несколько свойств; например, полунорма удовлетворяет тождеству параллелограмма , и однородная структура является полной . Пространство не T 0, поскольку любые две функции из L 2 ( R ), равные почти всюду, неотличимы в этой топологии. Когда мы формируем фактор Колмогорова, фактическое L 2 ( R ), эти структуры и свойства сохраняются. Таким образом, Л 2 ( R ) также является полным полунормированным векторным пространством, удовлетворяющим тождеству параллелограмма. Но на самом деле мы получаем немного больше, поскольку пространство теперь равно T 0 . Полунорма является нормой тогда и только тогда, когда лежащая в ее основе топология равна T 0 , поэтому L 2 ( R ) на самом деле является полным нормированным векторным пространством, удовлетворяющим тождеству параллелограмма, иначе известным как гильбертово пространство . И именно гильбертово пространство математики (и физики в квантовой механике ) обычно хотят изучать. Заметим, что обозначение L 2 ( R ) обычно обозначает фактор Колмогорова, набор классов эквивалентности функций, интегрируемых с квадратом, которые различаются на множествах нулевой меры, а не просто векторное пространство функций, интегрируемых с квадратом, как предполагает обозначение.
Удаление Т 0 [ править ]
Хотя исторически нормы были определены первыми, люди также придумали определение полунормы, которая является своего рода отличной от T 0 версией нормы, . В общем, можно определить не-T 0 версии как свойств, так и структур топологических пространств. Во-первых, рассмотрим такое свойство топологических пространств, как хаусдорфовость . Затем можно определить другое свойство топологических пространств, определив, что пространство X удовлетворяет этому свойству тогда и только тогда, когда фактор Колмогорова KQ( X ) хаусдорфов. Это разумное, хотя и менее известное свойство; в этом случае такое пространство X называется предрегулярным . (Оказывается даже более прямое определение предрегулярности). Теперь рассмотрим структуру, которую можно разместить в топологических пространствах, например метрику . Мы можем определить новую структуру в топологических пространствах, если примером структуры на X будет просто метрика на KQ( X ). Это разумная структура на X ; это псевдометрика . (Опять же, существует более прямое определение псевдометрики.)
Таким образом, существует естественный способ убрать Т0 - ность из требований к свойству или структуре. Как правило, легче изучать пространства, имеющие T 0 , но также может быть проще позволить структурам, отличным от T 0 , получить более полную картину. Требование T 0 можно добавлять или удалять произвольно, используя концепцию фактора Колмогорова.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б Карно, Збигнев (1994). «О топологических пространствах Колмогорова» (PDF) . Журнал формализованной математики . 6 (опубликовано в 2003 г.).
- Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший, Контрпримеры в топологии . Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Дуврское издание).