Отдельные наборы
Аксиомы разделения в топологических пространствах | |
---|---|
Колмогорова Классификация | |
Т 0 | (Kolmogorov) |
Т 1 | (Фреше) |
Т 2 | (Хаусдорф) |
T 2 ½ | (Урысон) |
полностью Т 2 | (полностью Хаусдорф) |
TТ3 | (обычный Хаусдорф) |
T 3½ | (Тихонов) |
Т 4 | (обычно Хаусдорф) |
TТ5 | (совершенно нормально Хаусдорф) |
TТ6 | (совершенно нормально Хаусдорф) |
В этой статье есть несколько проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти шаблонные сообщения )
|
В топологии и смежных разделах математики , разделенные множества — это пары подмножеств данного топологического пространства связанные друг с другом определенным образом: грубо говоря, не перекрывающиеся и не соприкасающиеся. Понятие о том, когда два множества разделены или нет, важно как для понятия связных пространств (и их связных компонентов), так и для аксиом разделения топологических пространств.
Разделенные множества не следует путать с разделенными пространствами (определенными ниже), которые в некоторой степени родственны, но различны. Сепарабельные пространства — это снова совершенно другая топологическая концепция.
Определения [ править ]
Существуют различные способы объединения двух подмножеств и топологического пространства можно считать разделенными. Самый простой способ разделения двух множеств — это если они не пересекаются , то есть если их пересечение является пустым множеством . Это свойство не имеет ничего общего с топологией как таковой, а лишь с теорией множеств . Каждое из приведенных ниже свойств является более строгим, чем непересекаемость, и включает в себя некоторую топологическую информацию. Свойства представлены в порядке возрастания специфичности, каждое из которых является более сильным понятием, чем предыдущее.
Более ограничительное свойство состоит в том, что и являются разделены в другого если каждый из них не пересекается с замыканием :
Это свойство известно как условие разделения Хаусдорфа-Ленна . [1] Поскольку каждое множество содержится в своем замыкании, два отдельных множества автоматически должны быть непересекающимися. Сами замыкания не обязательно должны быть отделены друг от друга; например, интервалы и разделены реальной линией хотя точка 1 принадлежит обоим их замыканиям. Более общий пример: в любом метрическом пространстве два открытых шара и разделены всякий раз, когда Свойство быть разделенным также можно выразить через производное множество (обозначенное штрихом): и разделяются, когда они не пересекаются и каждый из них не пересекается с производным набором другого, то есть (Как и в случае с первым вариантом определения, производные множества и не обязательно должны быть отделены друг от друга.)
Наборы и являются разделены кварталами, если есть кварталы из и из такой, что и непересекающиеся. (Иногда вы увидите требование, что и быть открытыми районами, но в конечном итоге это не имеет никакого значения.) Например, и ты мог бы взять и Заметим, что если любые два множества разделены окрестностями, то они заведомо разделены. Если и открыты и непересекающиеся, то их необходимо разделить по окрестностям; просто возьми и По этой причине разделенность часто используется с закрытыми множествами (как в обычной аксиоме разделения ).
Наборы и являются разделены закрытыми окрестностями, если есть закрытая окрестность из и закрытый район из такой, что и непересекающиеся. Наши примеры, и не разделены закрытыми кварталами. Вы можете сделать либо или замкнуты, включив в нее точку 1, но вы не можете сделать их обе замкнутыми, сохраняя при этом их непересекаемость. Заметим, что если любые два множества разделены замкнутыми окрестностями, то, конечно, они разделены окрестностями .
Наборы и являются разделенные непрерывной функцией, если существует непрерывная функция из космоса к реальной линии такой, что и , то есть члены отобразить на 0 и членов отобразить на 1. (Иногда единичный интервал используется вместо в этом определении, но это не имеет значения.) В нашем примере и не разделены функцией, поскольку нет возможности непрерывно определять в точке 1. [2] Если два множества разделены непрерывной функцией, то они также разделены замкнутыми окрестностями ; можно задать через прообраз окрестности как и где любое положительное действительное число меньше
Наборы и являются точно разделены непрерывной функцией, если существует непрерывная функция такой, что и (Опять же, вы также можете увидеть единичный интервал вместо и опять же это не имеет значения.) Обратите внимание, что если любые два множества точно разделены функцией, то они разделены функцией . С и закрыты в только закрытые множества могут быть точно разделены функцией, но то, что два множества замкнуты и разделены функцией, не означает, что они автоматически точно разделяются функцией (даже другой функцией).
и разделенными с аксиомами разделения Связь пространствами
Аксиомы разделения — это различные условия, которые иногда накладываются на топологические пространства, многие из которых можно описать в терминах различных типов разделенных множеств. В качестве примера мы определим аксиому T 2 , которая представляет собой условие, налагаемое на разделенные пространства. В частности, топологическое пространство является разделенным , если для любых двух различных точек x и y одноэлементные множества { x } и { y } разделены окрестностями.
Разделенные пространства обычно называют пространствами Хаусдорфа или Т 2 пространствами .
Связь с подключенными пространствами [ править ]
Учитывая топологическое пространство X , иногда полезно рассмотреть вопрос о том, возможно ли подмножество A отделить от его дополнения . Это, конечно, верно, если A — это либо пустое множество, либо все пространство X , но могут быть и другие возможности. Топологическое пространство X связно , если это единственные две возможности. И наоборот, если непустое подмножество A отделено от своего собственного дополнения и если единственным подмножеством A , обладающим этим свойством, является пустое множество, то является компонентом открытой связности X A . (В вырожденном случае, когда X само является пустым множеством , власти расходятся во мнениях относительно того, является ли подключено и есть ли является открыто-связным компонентом самого себя.)
Отношение к топологически различимым точкам
В топологическом пространстве X две точки x и y если топологически различимы, существует открытое множество , которому одна точка принадлежит, а другая нет. Если x и y топологически различимы, то одноэлементные множества { x } и { y } должны быть непересекающимися. С другой стороны, если синглтоны { x } и { y } разделены, то точки x и y должны быть топологически различимы. Таким образом, для синглтонов топологическая различимость является промежуточным состоянием между дизъюнктностью и разделенностью.
См. также [ править ]
- Пространство Хаусдорфа - Тип топологического пространства.
- Локально Хаусдорфово пространство
- Аксиома разделения - аксиомы топологии, определяющие понятие «разделения».
Цитаты [ править ]
- ^ Первин 1964 , с. 51
- ^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл. п. 211. ИСБН 0-13-181629-2 .
Источники [ править ]
- Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология . Прентис-Холл . ISBN 0-13-181629-2 .
- Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Аддисон-Уэсли . ISBN 0-486-43479-6 .
- Первин, Уильям Дж. (1964), Основы общей топологии , Academic Press