Локальная двойственность Тейта

В когомологиях Галуа локальная двойственность Тейта (или просто локальная двойственность ) — это двойственность модулей Галуа для абсолютной группы Галуа неархимедова локального поля . Оно названо в честь Джона Тейта , который первым это доказал. Это показывает, что двойственный к такому модулю Галуа является подкруткой Тейта к обычному линейному двойственному модулю. Этот новый двойник называется ( локальным ) двойником Тейта .

Тейта Локальная двойственность в сочетании с локальной характеристической формулой Эйлера обеспечивает универсальный набор инструментов для вычисления когомологий Галуа локальных полей.

Заявление [ править ]

Пусть K — неархимедово локальное поле, пусть K ^с обозначим сепарабельное замыкание K = и пусть G _K Gal( K ^с/ K ) — абсолютная группа Галуа K. поля

Случай конечных модулей [ править ]

Обозначим через µ модуль Галуа всех корней из единицы в K ^с. Для конечного GK _{-модуля} характеристикой A порядка, простого с K , A двойственный по Тейту модуль определяется как

A^{\prime }=\mathrm {Hom} (A,\mu )

(т.е. это поворот Тейта обычного двойственного A ^∗). Пусть Н ^я( K , A обозначают групповые когомологии G K ₎ с коэффициентами из A . Теорема утверждает, что спаривание

H^{i}(K,A)\times H^{2-i}(K,A^{\prime })\rightarrow H^{2}(K,\mu )=\mathbf {Q} /\mathbf {Z}

заданный продуктом чашки, устанавливает двойственность между H ^я( К , А ) и Ч ^{2- я}( К , А ^′) для i = 0, 1, 2. ^[1] Поскольку G _K имеет когомологическую размерность, равную двум, высшие группы когомологий исчезают. ^[2]

Случай p -адических представлений [ править ]

Пусть p — простое число . Пусть Q _p (1) обозначает p -адический круговой характер группы G _K (т. е. модуль Тейта группы µ). p -адическое представление группы G _K — это непрерывное представление

\rho :G_{K}\rightarrow \mathrm {GL} (V)

где V — конечномерное векторное пространство над p-адическими числами Q _p а GL( V ) обозначает группу обратимых линейных отображений V , в себя. ^[3] Тейт, двойственный к V , определяется как

V^{\prime }=\mathrm {Hom} (V,\mathbf {Q} _{p}(1))

(т.е. это поворот Тейта обычного двойного V ^∗= Hom( V , Q _п )). В этом случае Х ^я( K , V обозначает непрерывные групповые когомологии G K ₎ с коэффициентами из V . Локальная двойственность Тейта, примененная к V , говорит, что произведение чашки индуцирует спаривание

H^{i}(K,V)\times H^{2-i}(K,V^{\prime })\rightarrow H^{2}(K,\mathbf {Q} _{p}(1))=\mathbf {Q} _{p}

что является двойственностью между H ^я( К , В ) и Ч ^{2- я}( K , V ′) для i = 0, 1, 2. ^[4] Опять же, высшие группы когомологий исчезают.

См. также [ править ]

Двойственность Тейта , глобальная версия (т.е. для глобальных полей )

Примечания [ править ]

^ Серр 2002 , Теорема II.5.2
^ Теплица 2002 , §II.4.3
^ Некоторые авторы используют термин p -адическое представление для обозначения более общих модулей Галуа.
^ Рубин 2000 , Теорема 1.4.1.

Ссылки [ править ]

Рубин, Карл (2000), Системы Эйлера , Лекции Германа Вейля, Анналы математических исследований, том. 147, Издательство Принстонского университета , ISBN 978-0-691-05076-8 , МР 1749177
Серр, Жан-Пьер (2002), когомологии Галуа , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42192-4 , MR 1867431 , перевод Cohomologie Galoisienne , Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).

[1] Серр 2002 , Теорема II.5.2

[2] Теплица 2002 , §II.4.3

[3] Некоторые авторы используют термин p -адическое представление для обозначения более общих модулей Галуа.

[4] Рубин 2000 , Теорема 1.4.1.

[1]

[2]

[3]

[4]