Локальная двойственность Тейта

В когомологиях Галуа локальная двойственность Тейта (или просто локальная двойственность ) — это двойственность модулей Галуа для абсолютной группы Галуа неархимедова локального поля . Оно названо в честь Джона Тейта, который первым это доказал. Это показывает, что двойственный модуль Галуа является подкруткой Тейта обычного линейного двойственного модуля. Этот новый двойник называется ( локальным ) двойником Тейта .

Тейта Локальная двойственность в сочетании с локальной характеристической формулой Эйлера обеспечивает универсальный набор инструментов для вычисления когомологий Галуа локальных полей.

Заявление

Пусть K — неархимедово локальное поле, пусть K ^с обозначим сепарабельное замыкание K Gal и пусть = _{G K} ( K ^с / K ) — абсолютная группа Галуа K. поля

Случай конечных модулей

Обозначим через µ модуль Галуа всех корней из единицы в K ^с . Для конечного GK _{-модуля} характеристикой A порядка, простого с K , определяется двойственный по Тейту модуль A как

$A^{\prime }=\mathrm {Hom} (A,\mu )$

(т.е. это поворот Тейта обычного двойственного A ^∗ ). Пусть Н ^я ( K , A ) обозначают групповые когомологии G K _с коэффициентами A. из Теорема утверждает, что спаривание

$H^{i}(K,A)\times H^{2-i}(K,A^{\prime })\rightarrow H^{2}(K,\mu )=\mathbf {Q} /\mathbf {Z}$

заданный продуктом чашки, устанавливает двойственность между H ^я ( К , А ) и Ч ^{2- я} ( К , А ^′ ) для i = 0, 1, 2. Поскольку G _K имеет когомологическую размерность, равную двум, высшие группы когомологий исчезают.

Случай p -адических представлений

Пусть p — простое число . Пусть Q _p (1) обозначает p -адический круговой характер группы G _K (т. е. модуль Тейта группы µ). p это -адическое представление группы G _K — непрерывное представление

$\rho :G_{K}\rightarrow \mathrm {GL} (V)$

где V — конечномерное векторное пространство над p-адическими числами p _, а GL( V ) обозначает группу обратимых линейных отображений V Q в себя. Тейт, двойственный к V, определяется как

$V^{\prime }=\mathrm {Hom} (V,\mathbf {Q} _{p}(1))$

(т.е. это поворот Тейта обычного двойного V ^∗ = Hom( V , Q _п )). В этом случае Х ^я ( K , V ) обозначает непрерывные групповые когомологии G K _с коэффициентами из V . Локальная двойственность Тейта, примененная к V , говорит, что произведение чашки индуцирует спаривание

$H^{i}(K,V)\times H^{2-i}(K,V^{\prime })\rightarrow H^{2}(K,\mathbf {Q} _{p}(1))=\mathbf {Q} _{p}$

что является двойственностью между H ^я ( К , В ) и Ч ^{2- я} ( K , V ′) для i = 0, 1, 2. Опять же, высшие группы когомологий исчезают.

См. также

• Двойственность Тейта , глобальная версия (т.е. для глобальных полей )

Ссылки

• Рубин, Карл (2000), Системы Эйлера , Лекции Германа Вейля, Анналы математических исследований, том. 147, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-05076-8 , МР   1749177
• Серр, Жан-Пьер (2002), когомологии Галуа , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-42192-4 , MR   1867431 , перевод Cohomologie Galoisienne , Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).