Локальная характеристическая формула Эйлера

В математической области когомологий Галуа формула локальной характеристики Эйлера является результатом Джона Тейта который вычисляет эйлерову характеристику групповых когомологий абсолютной группы Галуа G _K неархимедова локального поля K. ,

Заявление

Пусть K — неархимедово локальное поле, пусть K ^с обозначим сепарабельное замыкание K = , пусть G _K Gal( K ^с / K ) — абсолютная группа Галуа группы K , и пусть H ^я ( K , M ) обозначают групповые когомологии G _K с коэффициентами из M . Поскольку когомологическая размерность равна двум _{G K} , ЧАС ^я ( K , M ) = 0 для i ≥ 3. Следовательно, в эйлерову характеристику входят только группы с i = 0, 1, 2.

Случай конечных модулей

Пусть M — GK _модуль - конечного порядка m . Эйлерова характеристика M определяется как

$\chi (G_{K},M)={\frac {\#H^{0}(K,M)\cdot \#H^{2}(K,M)}{\#H^{1}(K,M)}}$

( i -е группы когомологий для i ≥ 3 появляются молчаливо, поскольку все их размеры равны).

Пусть R обозначает кольцо целых K чисел . Тейта затем утверждает, что если m относительно просто с характеристикой K Результат , то

$\chi (G_{K},M)=\left(\#R/mR\right)^{-1},$

т.е. обратный порядку факторкольца R / mR .

Стоит выделить два особых случая. Если порядок M относительно прост с характеристикой вычетов поля K , то эйлерова характеристика равна единице. Если K — конечное расширение Qp p адических чисел и _vp если - _{- адическое} обозначает p нормирование , то

$\chi (G_{K},M)=p^{-[K:\mathbf {Q} _{p}]v_{p}(m)}$

[ K : Qp _​ ] степень K где над Qp _. —

Характеристику Эйлера можно переписать, используя локальную двойственность Тейта , как

$\chi (G_{K},M)={\frac {\#H^{0}(K,M)\cdot \#H^{0}(K,M^{\prime })}{\#H^{1}(K,M)}}$

где М ^′ является локальным двойником Тейта к M .

Ссылки

• Милн, Джеймс С. (2006), Теоремы арифметической двойственности (второе изд.), Чарльстон, Южная Каролина: BookSurge, LLC, ISBN  1-4196-4274-Х , MR   2261462 , получено 27 марта 2010 г.
• Серр, Жан-Пьер (2002), когомологии Галуа , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-42192-4 , MR   1867431 , перевод Cohomologie Galoisienne , Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).