Двойственность Тейта

В математике модулей двойственность Тейта или двойственность Пуату-Тейта — это теорема двойственности для групп когомологий Галуа над группой Галуа поля алгебраических чисел или локального поля , введенная Джоном Тейтом ( 1962 ) и Жоржем Пуату ( 1967 ).

Локальная двойственность Тейта

Основная статья: локальная двойственность Тейта

Для p -адического локального поля $k$, локальная двойственность Тейта говорит, что существует идеальное спаривание конечных групп, возникающее из когомологий Галуа:

$\displaystyle H^{r}(k,M)\times H^{2-r}(k,M')\rightarrow H^{2}(k,\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$

где $M$ является конечной групповой схемой, $M'$ это двойной $\operatorname {Hom} (M,G_{m})$, и $\mathbb {G} _{m}$является мультипликативной группой . Для локального поля характеристики $p>0$, утверждение аналогично, за исключением того, что спаривание принимает значения в $H^{2}(k,\mu )=\bigcup _{p\nmid n}{\tfrac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z}$. Это утверждение справедливо и тогда, когда $k$ является архимедовым полем , хотя определение групп когомологий в этом случае выглядит несколько иначе.

Тейта

Учитывая конечную групповую схему $M$ над глобальным полем $k$, глобальная двойственность Тейта связывает когомологии $M$ с этим из $M'=\operatorname {Hom} (M,G_{m})$используя локальные пары, построенные выше. Это делается с помощью карт локализации.

$\alpha _{r,M}:H^{r}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M),$

где $v$ варьируется во всех местах $k$, и где $\prod '$обозначает ограниченное произведение относительно неразветвленных групп когомологий. Суммирование локальных пар дает каноническое идеальное сочетание.

${\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M)\times {\prod _{v}}'H^{2-r}(k_{v},M')\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .$

Одна часть двойственности Пуату-Тейт утверждает, что в этом сочетании образ $H^{r}(k,M)$ имеет аннулятор, равный образу $H^{2-r}(k,M')$ для $r=0,1,2$.

Карта $\alpha _{r,M}$ имеет конечное ядро ​​для всех $r$, а Тейт также строит каноническое совершенное спаривание

${\text{ker}}(\alpha _{1,M})\times \ker(\alpha _{2,M'})\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .$

Эти двойственности часто представляются в виде точной последовательности из девяти членов.

$0\rightarrow H^{0}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{0}(k_{v},M)\rightarrow H^{2}(k,M')^{*}$

$\rightarrow H^{1}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{1}(k_{v},M)\rightarrow H^{1}(k,M')^{*}$

$\rightarrow H^{2}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{2}(k_{v},M)\rightarrow H^{0}(k,M')^{*}\rightarrow 0.$

Здесь звездочкой обозначена двойственная по Понтрягину данная локально компактная абелева группа.

Все эти утверждения были представлены Тейтом в более общем виде в зависимости от набора мест. $S$ из $k$, причем приведенные выше утверждения являются формой его теорем для случая, когда $S$ содержит все места $k$. Более общий результат см., например, Нойкирх, Шмидт и Вингберг (2000 , теорема 8.4.4).

-

Среди других утверждений, двойственность Пуату-Тейта устанавливает идеальное спаривание между некоторыми группами Шафаревича . Учитывая глобальное поле $k$, множество S простых чисел и максимальное расширение $k_{S}$ которая неразветвлена ​​вне S , группы Шафаревича захватывают, вообще говоря, эти элементы в когомологиях $\operatorname {Gal} (k_{S}/k)$ которые исчезают в когомологиях Галуа локальных полей, принадлежащих простым числам в S .

Расширение случая, когда кольцо S -целых чисел ${\mathcal {O}}_{S}$ заменяется регулярной схемой конечного типа над $\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{S}$ было показано Geisser & Schmidt (2018) .

См. также

• Двойственность Артина-Вердье
• Тейт в паре

Ссылки

• Гейссер, Томас Х.; Шмидт, Александр (2018), «Двойственность Пуату-Тейта для арифметических схем», Compositio Mathematica , 154 (9): 2020–2044, arXiv : 1709.06913 , Bibcode : 2017arXiv170906913G , doi : 10.1112/S0010437X 18007340 , S2CID   119735104
• Хаберланд, Клаус (1978), когомологии Галуа полей алгебраических чисел , VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , ISBN  9780685872048 , МР   0519872
• Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Springer, ISBN  3-540-66671-0 , МР   1737196
• Пуату, Жорж (1967), «Глобальные свойства конечных модулей», когомологии Галуа конечных модулей , семинар Лилльского института математики под руководством Ж. Пуату. Математические труды и исследования, вып. 13, Париж: Дюно, стр. 255–277, МР   0219591
• Тейт, Джон (1962), «Теоремы двойственности в когомологиях Галуа над числовыми полями» , Труды Международного конгресса математиков (Стокгольм, 1962) , Дюрсхольм: Inst. Миттаг-Леффлер, стр. 288–295, MR   0175892 , заархивировано из оригинала 17 июля 2011 г.