Двойственность Тейта
В математике или двойственность Тейта двойственность Пуату-Тейта — это теорема двойственности для групп когомологий Галуа модулей над группой Галуа поля алгебраических чисел или локального поля , введенная Джоном Тейтом ( 1962 ) и Жоржем Пуату ( 1967 ).
Локальная двойственность Тейта [ править ]
Для p -адического локального поля , локальная двойственность Тейта говорит, что существует идеальное спаривание конечных групп, возникающее из когомологий Галуа:
где является конечной групповой схемой, это двойной , и является мультипликативной группой .Для локального поля характеристики , утверждение аналогично, за исключением того, что спаривание принимает значения в . [1] Это утверждение справедливо и тогда, когда является архимедовым полем , хотя определение групп когомологий в этом случае выглядит несколько иначе.
Тейта двойственность Глобальная
Учитывая конечную групповую схему над глобальным полем , глобальная двойственность Тейта связывает когомологии с этим из используя локальные пары, построенные выше. Это делается с помощью карт локализации.
где варьируется во всех местах , и где обозначает ограниченное произведение относительно неразветвленных групп когомологий. Суммирование локальных пар дает каноническое идеальное сочетание.
Одна часть двойственности Пуату-Тейт утверждает, что в этом сочетании образ имеет аннулятор, равный образу для .
Карта имеет конечное ядро для всех , а Тейт также строит каноническое совершенное спаривание
Эти двойственности часто представляются в виде точной последовательности из девяти членов.
Здесь звездочкой обозначена двойственная по Понтрягину данная локально компактная абелева группа.
Все эти утверждения были представлены Тейтом в более общем виде в зависимости от набора мест. из , причем приведенные выше утверждения являются формой его теорем для случая, когда содержит все места . Более общий результат см., например, Нойкирх, Шмидт и Вингберг (2000 , теорема 8.4.4).
- Тейта Двойственность Пуату
Среди других утверждений, двойственность Пуату-Тейта устанавливает идеальное спаривание между некоторыми группами Шафаревича . Учитывая глобальное поле , множество S простых чисел и максимальное расширение которая неразветвлена вне S , группы Шафаревича захватывают, вообще говоря, эти элементы в когомологиях которые исчезают в когомологиях Галуа локальных полей, принадлежащих простым числам в S . [2]
Расширение случая, когда кольцо S -целых чисел заменяется регулярной схемой конечного типа над было показано Geisser & Schmidt (2018) .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Нойкирх, Шмидт и Вингберг (2000 , теорема 7.2.6)
- ^ См Нойкирха, Шмидта и Вингберга (2000 , теорема 8.6.8). . точное утверждение
- Гейссер, Томас Х.; Шмидт, Александр (2018), «Двойственность Пуату-Тейта для арифметических схем», Compositio Mathematica , 154 (9): 2020–2044, arXiv : 1709.06913 , Bibcode : 2017arXiv170906913G , doi : 10.1112/S0010437X 18007340 , S2CID 119735104
- Хаберланд, Клаус (1978), когомологии Галуа полей алгебраических чисел , VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , ISBN 9780685872048 , МР 0519872
- Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Springer, ISBN 3-540-66671-0 , МР 1737196
- Пуату, Жорж (1967), «Глобальные свойства конечных модулей», когомологии Галуа конечных модулей , семинар Института математики Лилля под руководством Ж. Пуату. Математические труды и исследования, вып. 13, Париж: Дюно, стр. 255–277, МР 0219591
- Тейт, Джон (1962), «Теоремы двойственности в когомологиях Галуа над числовыми полями» , Труды Международного конгресса математиков (Стокгольм, 1962) , Дюрсхольм: Inst. Миттаг-Леффлер, стр. 288–295, MR 0175892 , заархивировано из оригинала 17 июля 2011 г.