Группа Тейт – Шафаревича

В арифметической геометрии группа Тейта –Шафаревича Ш( A / K ) абелева многообразия A (или, в более общем смысле, групповой схемы ), определенного над числовым полем K, состоит из элементов группы Вейля–Шатле. $\mathrm {WC} (A/K)=H^{1}(G_{K},A)$, где $G_{K}=\mathrm {Gal} (K^{alg}/K)$ — абсолютная группа Галуа группы K , которая становится тривиальной во всех пополнениях K (т. е. вещественных и комплексных пополнениях, а также p -адических полях, полученных из K путем пополнения относительно всех его архимедовых и неархимедовых нормирований v ). Таким образом, в терминах когомологий Галуа Ш ( A / K ) можно определить как

$\bigcap _{v}\mathrm {ker} \left(H^{1}\left(G_{K},A\right)\rightarrow H^{1}\left(G_{K_{v}},A_{v}\right)\right).$

Эту группу представили Серж Ланг и Джон Тейт. и Игорь Шафаревич . Кассельс ввел обозначение Ш( А / К ) , где Ш — кириллическая буква « Ша », для Шафаревича, заменив старые обозначения TS или TŠ .

Элементы группы Тейта–Шафаревича.

Геометрически нетривиальные элементы группы Тейта–Шафаревича можно рассматривать как однородные пространства A , которые имеют K _v - рациональные точки для каждого места v в K , но не имеют K -рациональных точек. Таким образом, группа измеряет степень принципа Хассе несоблюдения K. для рациональных уравнений с коэффициентами в поле Карл-Эрик Линд привел пример такого однородного пространства, показав, что кривая x рода 1 ⁴ − 17 = 2 года ² имеет решения над действительными числами и всеми p -адическими полями, но не имеет рациональных точек. Эрнст С. Зельмер привел еще много примеров, таких как 3 x ³ + 4 года ³ + 5 з ³ = 0 .

Частный случай группы Тейта–Шафаревича для конечной групповой схемы, состоящей из точек некоторого заданного конечного порядка n абелева многообразия, тесно связан с группой Сельмера .

Гипотеза Тейта-Шафаревича

Гипотеза Тейта–Шафаревича утверждает, что группа Тейта–Шафаревича конечна. Карл Рубин доказал это для некоторых эллиптических кривых ранга не выше 1 с комплексным умножением . Виктор А. Колывагин распространил это на модулярные эллиптические кривые над рациональными числами аналитического ранга не выше 1 ( теорема о модулярности позже показала, что предположение о модулярности всегда выполняется).

Пара Кассельс-Тейт

Спаривание Касселса–Тейта — это билинейное спаривание Ø( A ) × Ø( Â ) → Q / Z , где A — абелево многообразие, а Â — двойственное ему многообразие. Кассельс ввел это для эллиптических кривых , когда A можно отождествить с Â и спаривание представляет собой чередующуюся форму. Ядром этой формы является подгруппа делящихся элементов, что тривиально, если верна гипотеза Тейта–Шафаревича. Тейт распространил спаривание на общие абелевы многообразия как разновидность двойственности Тейта . Выбор поляризации на A дает отображение от A до Â , которое вызывает билинейное спаривание на Ø( A ) со значениями в Q / Z , но в отличие от случая эллиптических кривых оно не обязательно должно быть чередующимся или даже кососимметричным.

Для эллиптической кривой Кассельс показал, что спаривание является попеременным, и следствием этого является то, что если порядок Ш конечен, то это квадрат. Для более общих абелевых многообразий в течение многих лет иногда ошибочно полагали, что порядок Ш является квадратом, если он конечен; эта ошибка возникла в статье Суиннертона-Дайера, который неверно процитировал один из результатов Тейта. Пунен и Столл привели несколько примеров, где порядок равен дважды квадрату, например, якобиан некоторой кривой рода 2 над рациональными числами, группа Тейта – Шафаревича имеет порядок 2, и Штейн привел несколько примеров, когда степень нечетного простого числа, делящего порядок, нечетна. Если абелево многообразие имеет главную поляризацию, то форма на Ш является кососимметричной, что означает, что порядок Ш равен квадрату или дважды квадрату (если оно конечно), и если, кроме того, главная поляризация исходит от рационального делителя ( как и в случае эллиптических кривых), то форма знакопеременная, а порядок Ш — квадрат (если он конечен). С другой стороны, основываясь на только что представленных результатах, Константинус показал, что для любого бесквадратного числа n существует абелевое многообразие A, определенное над Q , и целое число m с | Ш | = п ⋅ м ² . В частности, Ш конечен в примерах Константиноуса, и эти примеры подтверждают гипотезу Штейна. Таким образом, по модулю квадратов любое целое число может быть порядка Ø .

См. также

• Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Ссылки

• Касселс, Джон Уильям Скотт (1962), «Арифметика на кривых рода 1. III. Группы Тейта – Шафаревича и Сельмера», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 12 : 259–296, doi : 10.1112/plms/ с3-12.1.259 , ISSN   0024-6115 , МР   0163913
• Касселс, Джон Уильям Скотт (1962b), «Арифметика на кривых рода 1. IV. Доказательство основной гипотезы» , Журнал чистой и прикладной математики , 211 (211): 95–112, doi : 10.1515/crll.1962.211. 95 , ISSN   0075-4102 , МР   0163915
• Кассельс, Джон Уильям Скотт (1991), Лекции по эллиптическим кривым , Тексты для студентов Лондонского математического общества, том. 24, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9781139172530 , ISBN.  978-0-521-41517-0 , МР   1144763
• Хиндри, Марк ; Сильверман, Джозеф Х. (2000), Диофантова геометрия: введение , Тексты для выпускников по математике, том. 201, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-98981-5
• Гринберг, Ральф (1994), «Теория Ивасавы и p-адическая деформация мотивов», в Серре, Жан-Пьер ; Яннсен, Уве; Клейман, Стивен Л. (ред.), Мотивы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-1637-0
• Колывагин В.А. (1988), "Конечность E(Q) и SH(E,Q) для подкласса кривых Вейля", Известия Академии наук СССР. Серия Математическая , 52 (3): 522–540, 670–671, ISSN   0373-2436 , 954295
• Ланг, Серж ; Тейт, Джон (1958), «Основные однородные пространства над абелевыми многообразиями», American Journal of Mathematics , 80 (3): 659–684, doi : 10.2307/2372778 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2372778 , MR   0106226
• Линд, Карл Эрик (1940). Исследования о рациональных точках плоских кубических кривых рода один (Диссертация). Том 1940. Уппсальский университет. 97 стр. МР   0022563 .
• Пунен, Бьёрн; Столл, Майкл (1999), «Спаривание Касселса-Тейта на поляризованных абелевых многообразиях», Annals of Mathematics , Second Series, 150 (3): 1109–1149, arXiv : math/9911267 , doi : 10.2307/121064 , ISSN   0003- 486С , ДЖСТОР   121064 , Г-Н   1740984
• Рубин, Карл (1987), «Группы Тейта – Шафаревича и L-функции эллиптических кривых с комплексным умножением», Inventiones Mathematicae , 89 (3): 527–559, Bibcode : 1987InMat..89..527R , doi : 10.1007/ БФ01388984 , ISSN   0020-9910 , МР   0903383
• Зельмер, Эрнст С. (1951), «Диофантово уравнение ax³+by³+cz³=0», Acta Mathematica , 85 : 203–362, doi : 10.1007/BF02395746 , ISSN   0001-5962 , 4 MR   8710
• Шафаревич И.Р. (1959), "Группа главных однородных алгебраических многообразий", Доклады Академии наук СССР (на русском языке), 124 : 42–43, ISSN   0002-3264 , MR   0106227 Английский перевод в его сборнике математических статей.
• Стейн, Уильям А. (2004), «Группы Шафаревича – Тейта неквадратного порядка» (PDF) , Модульные кривые и абелевы многообразия , Progr. Матем., вып. 224, Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, стр. 277–289, MR   2058655.
• Суиннертон-Дайер, П. (1967), «Гипотезы Берча, Суиннертона-Дайера и Тейта» , в Спрингере, Тонни А. (редактор), Труды конференции по локальным полям (Дриберген, 1966) , Берлин , Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 132–157, MR   0230727.
• Тейт, Джон (1958), WC-группы над p-адическими полями , Семинар Бурбаки; 10 класс: 1957/1958, вып. 13, Париж: Секретариат математики, MR   0105420.
• Тейт, Джон (1963), «Теоремы двойственности в когомологиях Галуа над числовыми полями» , Труды Международного конгресса математиков (Стокгольм, 1962) , Дюрсхольм: Inst. Миттаг-Леффлер, стр. 288–295, MR   0175892 , заархивировано из оригинала 17 июля 2011 г.
• Вейль, Андре (1955), «Об алгебраических группах и однородных пространствах», American Journal of Mathematics , 77 (3): 493–512, doi : 10.2307/2372637 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2372637 , MR   0074084
• Константинус, Александрос (25 апреля 2024 г.). «Заметка о порядке группы Тате-Шафаревича по модулю квадратов». arXiv : 2404.16785 [ math.NT ].