Модуль Тейт

В математике модуль Тейта абелевой группы, названный в честь Джона Тейта , — это модуль построенный на основе абелевой группы A. , Часто такая конструкция производится в следующей ситуации: G — коммутативная групповая схема над полем K , K ^с — замыкание K A и = ( G K сепарабельное ^с) ( К ^с-значные точки G ). В этом случае модуль Тейта группы A снабжен действием абсолютной группы Галуа группы K и называется модулем Тейта G. группы

Определение [ править ]

Для абелевой группы A и простого числа p p -адический модуль Тейта группы A равен

T_{p}(A)={\underset {\longleftarrow }{\lim }}A[p^{n}]

где А [ р ^н] — это п ^н кручение A ( т.е. ядро умножения на p ^н map), а обратный предел распространяется на положительные целые числа n с морфизмами перехода умножения на p , заданными картой A [ p ^{п +1}] → А [ п ^н]. Таким образом, модуль Тейта кодирует все p -степенное кручение A . Он оснащен структурой Z _p -модуля через

z(a_{n})_{n}=((z{\text{ mod }}p^{n})a_{n})_{n}.

Примеры [ править ]

Модуль Тейт [ править ]

Когда абелева группа A является группой корней из единицы в сепарабельном замыкании K ^сиз K p -адический модуль Тейта A иногда называют модулем Тейта (где выбор p и K подразумевается молчаливо). Это свободный модуль ранга один над Z _p с линейным действием абсолютной группы Галуа G _K группы K . Таким образом, это представление Галуа, называемое p -адическим круговым характером K также . Его также можно рассматривать как модуль Тейта мультипликативной групповой схемы G _{m , K} над K .

многообразия абелева Модуль Тейта

Для абелева многообразия G полем K K над ^с-значные точки группы G являются абелевой группой. p -адический модуль Тейта Tp _G ( G ) группы является абсолютной группы Галуа GK _группы K представлением Галуа ( ).

Классические результаты об абелевых многообразиях показывают, что если имеет нулевую характеристику или характеристику ℓ, где простое число p ≠ ℓ, то T _p ( G ) — свободный модуль над Z _p ранга 2 d , где d — размерность G. K ^[1] В другом случае он по-прежнему свободен, но ранг может принимать любое значение от 0 до d (см., например, матрицу Хассе–Витта ).

В случае, когда p не равно характеристике K , p -адический модуль Тейта группы G является двойственным этальным когомологиям. $H_{\text{et}}^{1}(G\times _{K}K^{s},\mathbf {Z} _{p})$ .

Частный случай гипотезы Тейта можно сформулировать в терминах модулей Тейта. ^[2]Предположим, что конечно над порождено своим простым полем (например, конечным полем , полем алгебраических чисел , полем глобальных функций ) характеристики, отличной от p , и A и B — два абелевых многообразия над K. K Гипотеза Тейта тогда предсказывает, что

\mathrm {Hom} _{K}(A,B)\otimes \mathbf {Z} _{p}\cong \mathrm {Hom} _{G_{K}}(T_{p}(A),T_{p}(B))

где Hom _K ( A , B ) — группа морфизмов абелевых многообразий из A в B , а правая часть — группа GK _- из Tp ₍ ( A ) в Tp _{линейных отображений} B ) . Случай, когда K — конечное поле, был доказан самим Тейтом в 1960-х годах. ^[3] Герд Фалтингс доказал случай, когда K — числовое поле, в своей знаменитой «статье Морделла». ^[4]

В случае якобиана над кривой C над конечным полем k характеристики, простой с p , модуль Тейта можно отождествить с группой Галуа составного расширения

k(C)\subset {\hat {k}}(C)\subset A^{(p)}\

где ${\hat {k}}$ является расширением k , содержащим все корни p -степени из единицы и A ^{( п )} является максимальным неразветвленным абелевым p -расширением ${\hat {k}}(C)$ . ^[5]

Модуль Тейта числового поля [ править ]

Описание модуля Тейта для функционального поля кривой над конечным полем предлагает определение модуля Тейта поля алгебраических чисел , другого класса глобального поля , введенного Кенкичи Ивасавой . Для числового поля K обозначим через K _m расширение через p ^м-силовые корни единства, ${\hat {K}}$ объединение К _м и А ^{( п )} максимальное неразветвленное абелево p -расширение ${\hat {K}}$ . Позволять

T_{p}(K)=\mathrm {Gal} (A^{(p)}/{\hat {K}})\ .

Тогда Tp _Zp ( K ) — про- p -группа и, следовательно, - _модуль . Используя теорию полей классов, можно описать T _p ( K ) как изоморфное обратному пределу групп классов C _m группы K _m при норме. ^[5]

Ивасава представил T _p ( K ) как модуль над пополнением Z _p [[ T ]] и отсюда следует формула для показателя степени p в порядке групп классов C _m вида

\lambda m+\mu p^{m}+\kappa \ .

Теорема Ферреро –Вашингтона утверждает, что µ равно нулю. ^[6]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Мурти 2000 , Предложение 13.4.
^ Мурти 2000 , §13.8
^ Тейт 1966
^ Фальтингс 1983 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Манин и Панчишкин 2007 , с. 245
^ Манин и Панчишкин 2007 , с. 246

Ссылки [ править ]

Фальтингс, Герд (1983), «Теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями», Inventiones Mathematicae , 73 (3): 349–366, Bibcode : 1983InMat..73..349F , doi : 10.1007/BF01388432 , S2CID 121049418
«Модуль Тейта» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Манин, Ю. Я .; Панчишкин А.А. (2007), Введение в современную теорию чисел , Энциклопедия математических наук, том. 49 (второе изд.), ISBN 978-3-540-20364-3 , ISSN 0938-0396 , Збл 1079.11002
Мурти, В. Кумар (2000), Введение в абелевы многообразия , Серия монографий CRM, том. 3, Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-1179-5
Раздел 13 Рорлих, Дэвид (1994), «Эллиптические кривые и группа Вейля – Делиня», в Кисилевском, Херши; Мурти, М. Рам (ред.), Эллиптические кривые и связанные с ними темы , CRM Proceedings and Lecture Notes, vol. 4, Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-6994-9
Тейт, Джон (1966), «Эндоморфизмы абелевых многообразий над конечными полями», Inventiones Mathematicae , 2 (2): 134–144, Bibcode : 1966InMat...2..134T , doi : 10.1007/bf01404549 , MR 0206004 , S2CID 245902

[1] Мурти 2000 , Предложение 13.4.

[2] Мурти 2000 , §13.8

[3] Тейт 1966

[4] Фальтингс 1983 г.

[MP245-5] Перейти обратно: ^а ^б Манин и Панчишкин 2007 , с. 245

[MP246-6] Манин и Панчишкин 2007 , с. 246

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]