Гипотеза Тейта

Гипотеза Тейта

Джон Тейт в 1993 году
Поле	Алгебраическая геометрия и теория чисел
Предполагается	Джон Тейт
Предполагается в	1963
Известные случаи	делители на абелевых многообразиях
Последствия	Стандартные гипотезы об алгебраических циклах

В теории чисел и алгебраической геометрии Тейта — 1963 года это гипотеза Джона Тейта , которая описывает алгебраические циклы многообразия гипотеза в терминах более вычислимого инварианта, представления Галуа об этальных когомологиях . Эта гипотеза является центральной проблемой теории алгебраических циклов. Ее можно считать арифметическим аналогом гипотезы Ходжа .

Формулировка гипотезы

Пусть V — гладкое проективное многообразие над полем k , конечно порожденным над своим простым полем . Пусть k _s — сепарабельное замыкание k G , и пусть — абсолютная группа Галуа Gal( k _s / k ) of k . Зафиксируйте простое число ℓ, обратимое по k . Рассмотрим ℓ-адические группы когомологий (коэффициенты в ℓ-адических целых числах Z _ℓ , скаляры, затем расширенные до ℓ-адических чисел Q _ℓ ) базового расширения V до k _s ; эти группы представлениями G являются . Для любого i ≥ 0 коразмерности - i подмногообразие в V (подразумевается, что оно определено над k ) определяет элемент группы когомологий

$H^{2i}(V_{k_{s}},\mathbf {Q} _{\ell }(i))=W$

фиксируется G. который Здесь Q _ℓ ( i ) обозначает i ^й Тейт твист , что означает, что это представление группы Галуа G тензорировано с i ^й сила кругового характера .

Гипотеза Тейта утверждает, что подпространство W ^Г пространства W, фиксированного группой Галуа G , натягивается как Q _ℓ -векторное пространство на классы подмногообразий i коразмерности V . Алгебраический цикл означает конечную линейную комбинацию подмногообразий; поэтому эквивалентное утверждение состоит в том, что каждый элемент W ^Г — класс алгебраического цикла на V с коэффициентами Q _ℓ .

Известные случаи

Гипотеза Тейта для дивизоров (алгебраических циклов коразмерности 1) является крупной открытой проблемой. Например, пусть f : X → C — морфизм гладкой проективной поверхности на гладкую проективную кривую над конечным полем. Предположим, что общий слой F функции f , который является кривой над функциональным полем k ( C ), является гладким над k ( C ). Тогда гипотеза Тейта для дивизоров на X эквивалентна гипотезе Суиннертона-Дайера для якобианского многообразия F Бёрча и . Напротив, известна гипотеза Ходжа для дивизоров на любом гладком комплексном проективном многообразии ( (1,1)-теорема Лефшеца ).

Вероятно, наиболее важным известным случаем является то, что гипотеза Тейта верна для дивизоров абелевых многообразий . Это теорема Тейта для абелевых многообразий над конечными полями и Фалтингса для абелевых многообразий над числовыми полями, часть решения Фалтингса гипотезы Морделла . Зархин распространил эти результаты на любое конечно порожденное базовое поле. Из гипотезы Тейта о дивизорах на абелевых многообразиях следует гипотеза Тейта о дивизорах на любом произведении кривых C ₁ × ... × C _n .

(Известная) гипотеза Тейта о дивизорах абелевых многообразий эквивалентна мощному утверждению о гомоморфизмах между абелевыми многообразиями. А именно, для любых абелевых многообразий A и B над конечно порожденным полем k естественное отображение

${\text{Hom}}(A,B)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} _{\ell }\to {\text{Hom}}_{G}\left(H_{1}\left(A_{k_{s}},\mathbf {Q} _{\ell }\right),H_{1}\left(B_{k_{s}},\mathbf {Q} _{\ell }\right)\right)$

является изоморфизмом. В частности, абелево многообразие A определяется с точностью до представлением Галуа на его модуле Тейта H ₁ ( Ak _{s изогении} , Z _ℓ ).

Гипотеза Тейта справедлива и для поверхностей К3 над конечно порожденными полями характеристики, отличной от 2. (На поверхности нетривиальная часть гипотезы касается дивизоров.) В нулевой характеристике гипотеза Тейта для поверхностей K3 была доказана Андре и Танкеевым. Для поверхностей K3 над конечными полями характеристики, отличной от 2, гипотеза Тейта была доказана Найгаардом, Огусом , Чарльзом, Мадапуси Пера и Моликом.

Тотаро (2017) исследует известные случаи гипотезы Тейта.

Связанные предположения

Пусть X — гладкое проективное многообразие над конечно порожденным полем k . Гипотеза о полупростоте предсказывает, что представление группы Галуа G = Gal( k _s / k ) на ℓ-адических когомологиях X полупросто (т. е. является прямой суммой неприводимых представлений ). Для k характеристики 0 Мунен (2017) показал, что из гипотезы Тейта (как указано выше) следует полупростота

$H^{i}\left(X\times _{k}{\overline {k}},\mathbf {Q} _{\ell }(n)\right).$

Для k конечного порядка q Тейт показал, что гипотеза Тейта плюс гипотеза полупростоты влечет за собой сильную гипотезу Тейта , а именно, что порядок полюса дзета -функции Z ( X , t ) при t = q ^{− j} равен рангу группы алгебраических циклов коразмерности j по модулю числовой эквивалентности .

Как и гипотеза Ходжа, гипотеза Тейта подразумевает большинство стандартных гипотез Гротендика об алгебраических циклах . А именно, это означало бы стандартную гипотезу Лефшеца (о том, что обратный изоморфизм Лефшеца определяется алгебраическим соответствием); что компоненты Кюннета диагонали алгебраичны; и что числовая эквивалентность и гомологическая эквивалентность алгебраических циклов одинаковы.

Ссылки

• Андре, Ив (1996), «О гипотезах Шафаревича и Тейта для гиперкелеровых многообразий», Mathematische Annalen , 305 : 205–248, doi : 10.1007/BF01444219 , MR   1391213 , S2CID   122949797
• Фальтингс, Герд (1983), «Теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями», Inventiones Mathematicae , 73 (3): 349–366, Bibcode : 1983InMat..73..349F , doi : 10.1007/BF01388432 , MR   0718935 , S2CID   1210 49418
• Мадапуси Пера, К. (2013), «Гипотеза Тейта для поверхностей K3 с нечетной характеристикой», Inventiones Mathematicae , 201 (2): 625–668, arXiv : 1301.6326 , Bibcode : 2013arXiv1301.6326M , doi : 10.1007/s00222-014 -0557-5 , S2CID   253746655
• Мунен, Бен (2017), Замечание о гипотезе Тейта , arXiv : 1709.04489v1
• Тейт, Джон (1965), «Алгебраические циклы и полюса дзета-функций», в Шиллинге, OFG (ред.), Арифметическая алгебраическая геометрия , Нью-Йорк: Харпер и Роу, стр. 93–110, MR   0225778.
• Тейт, Джон (1966), «Эндоморфизмы абелевых многообразий над конечными полями», Inventiones Mathematicae , 2 (2): 134–144, Bibcode : 1966InMat...2..134T , doi : 10.1007/bf01404549 , MR   0206004 , S2CID   245902
• Тейт, Джон (1994), «Гипотезы об алгебраических циклах в ℓ-адических когомологиях», Мотивы , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 55, Американское математическое общество, стр. 71–83, ISBN.  0-8218-1636-5 , МР   1265523
• Ульмер, Дуглас (2014), «Кривые и якобианы над функциональными полями», Арифметическая геометрия над глобальными функциональными полями , Продвинутые курсы по математике - CRM Barcelona, ​​Birkhäuser, стр. 283–337, doi : 10.1007/978-3-0348-0853 -8 , ISBN  978-3-0348-0852-1
• Тотаро, Берт (2017), «Недавний прогресс в гипотезе Тейта», Бюллетень Американского математического общества , New Series, 54 (4): 575–590, doi : 10.1090/bull/1588

Внешние ссылки

• Джеймс Милн , Гипотеза Тейта о конечных полях (доклад AIM) .